江西乐安一中高二数学 13 利用平移化简二元二次方程培优教案.doc

利用平移化简二元二次方程本讲主要内容 1了解平移变换的意义和变换方法.2能够利用平移变换化简圆锥曲线方程.(1)能够利用平移化简形如(其中a、c不同时为0)的二元二次方程,并判定它们是什么曲线.(2)能够求上述二元二次方程所表示的曲线的中心、焦点坐标、顶点坐标及准线、渐近线的方程,会求曲线的离心率,并画出曲线的图形.学习指导 1本讲的重点和学好本讲的关键是什么？重点：用配方法化简形如的二元二次方程,并判断它是什么曲线,并求出其几何要素.关键：熟练掌握配方法和平移公式.2在学习利用平移化简圆锥曲线方程时,要注意些什么？这里要考虑化简的方向,这是处理这类问题的关键所在.一般地,在二元二次方程(a、c不同时为0)中：(1)当a0且c0时,化简的方向是消去一次项,将方程化为的形式.(2)当a=0或c=0时,化简的方向是消去y(或x)的一次项与常数项,将方程化为(或)的形式.化简的方法是待定系数法或配方法,其中配方法较为简单.这两种方法可以互换.3如何将方程进行分类？(1)当且仅当时,方程的曲线是椭圆(或圆),特殊情况下是点,或者没有轨迹,此时称方程为椭圆型方程.(2)当且仅当时,方程的曲线是双曲线,特殊情况下是两条相交直线,此时称方程为双曲线型方程.(3)当且仅当时,方程的曲线是抛物线,特殊情况下是两条平行线,或一条直线,或者没有轨迹,此时称方程为抛物线型方程.例题精讲 例1利用平移化简方程,并判断它表示什么曲线.分析解这种题应先用配方法将其整理,然后借助平移公式将其化简,从而判断其为什么曲线.解由配方法,得,即 利用平移公式,将方程表示的曲线按向量平移,得到曲线的方程为. 由于方程的曲线是双曲线,且为等轴双曲线,故原方程的曲线也是等轴双曲线.解题后的点拨解这种题应利用配方法和平移公式将其化简为我们学过的圆锥曲线的标准方程,再加以判断.例2抛物线的方程为,求它的对称轴方程、准线方程、顶点坐标和焦点坐标.分析本例应先像例1一样,借助配方法和平移公式将其化简,先求出化简后的标准方程的对称轴方法、准线方程、顶点坐标和焦点坐标,再借助平移公式求此方程的对称轴方程、准线方程、顶点坐标和焦点坐标.解将原方程配方后,得 利用平移公式将方程表示的曲线按向量平移,得到曲线的方程 ,方程所表示的曲线是抛物线,其顶点为(0,0),对称轴为y=0,焦点为(2,0),准线方程为x=-2.利用平移公式得即可得方程表示的抛物线的顶点为(1,-3),焦点坐标为(3,-3),对称轴方程为y=-3,准线方程为x=-1.解题后的点拨将圆锥曲线的方程进行平移化简,可研究非标准方程的图锥曲线的几何性质.例3已知双曲线的两条准线的方程分别为,一条渐近线方程为,求此双曲线的方程.分析本例有两种解法,其一是借助准线方程求出双曲线中心的横坐标,再由渐近线方程求出中心的纵坐标,从而写出所求双曲线的方程,再待定从而求出双曲线方程；其二是利用平移圆锥曲线后的不变元素,求出,的值,再借助,从而求得的值,再借助对称性,求双曲线的中心坐标,从而求出双曲线方程.解法一双曲线两条准线方程为,双曲线的中心的横坐标.又双曲线的中心在渐近线上,将x=2代入渐近线方程,得y=3,即双曲线的中心为(2,3),且实轴与x轴平行,故双曲线的方程为.将双曲线按向量平移,所得双曲线方程为,原来的准线方程化为,即.又由渐近线方程知其斜率是,故由,得,.所求双曲线方程为.解法二双曲线的两条准线分别为和,两准线间的距离为,.又双曲线渐近线的斜率为,由,得,.再由对称性,可知双曲线的中心为渐近线与两准线的交点的中点.由方程组 解得两定点为(),(),双曲线的中心为(2,3),所求双曲线的方程为.解题后的点拨这两种解法难易程度差不多,希望大家都能掌握,在今后的解题中注意使用本例的解法.基础训练题 一选择题：1双曲线按向量(-1,2)平移,平移后的曲线方程为( ).(a)(b)(c)(d)2将抛物线按向量平移得,则向量的坐标为( ).(a)(1,-1)(b)(-1,1)(c)(-1,-1)(d)(1,1)3抛物线的焦点坐标是( ).(a)(0,-1)(b)(2,2)(c)(1,-2)(d)(3,2)(92年上海高考试题)4焦点在(-1,0),顶点在(1,0)的抛物线方程是( ).(a)(b)(c)(d)(91年全国高考试题)5椭圆两焦点坐标是( ).(a)(-3,5),(-3,-3)(b)(3,3),(3,-5)(c)(1,1),(-7,1)(d)(7,-1),(-1,-1)(96年全国高考试题)6圆锥曲线有一条准线是x=5,则m的值等于( ).(a)3(b)-3(c)2(d)3二解答题：7求双曲线的中心、顶点、焦点、离心率、准线和渐近线方程.8已知椭圆的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点,求这个椭圆的方程及其焦点坐标和准线方程.9已知椭圆中心在(1,-2),左焦点为(-3,-2),右准线方程是,求椭圆的方程.10把抛物线按向量平移,使其焦点与椭圆的右焦点重合,求向量的坐标.基础训练题点拨与解答： 一选择题： 1答案：(c)解,按向量(-1,2)平移得,故选(c).2答案：(b)解由题意,故选(b).3答案：(a)解设,原方程化为,其焦点为,原焦点f(0,-1),故选(a).4答案：(d)解由题意可知,抛物线开口方向向左,顶点和焦点却在x轴上,而顶点到焦点的距离为,p=4.5答案：(b)解把已知方程化为标准方程.a=5,b=3,c=4.焦点在y轴上,椭圆的中心是(3,-1),两焦点在新系中的坐标是(0,4),(0,-4),它们在原系的坐标是(3,3)和(3,-5).故选(b).6答案：(d)解平移曲线,方程化为,其准线仅为x=4,当m0时,为长轴在x轴上椭圆,得m=3,当m0,a=4.5答案：x=3;.解,将方程的曲线按向量平移,平移后的曲线的方程为：(其中),其准线方程为,顶点,顶点与准线间距离.逆用平移公式即可求得原方程所表示的抛物线的准线方程为：,顶点坐标为(2,0),圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程为：.6答案：.解两渐近线交点为双曲线的中心(-2,).再将点(1,5)的横坐标x=1代入渐近线方程,得0,且m1,方程表示椭圆；若m0,由得,而判别式,又p0及4m+p+40,可见0,因此,直线与抛物线总有两个交点.(2)设q、r两