高中数学 第二章 空间向量与立体几何 6 距离的计算课件 北师大版选修21.ppt

第二章空间向量与立体几何 6距离的计算 学习目标1 理解点到直线的距离 点到平面的距离的概念 2 掌握点到直线的距离 点到平面的距离的计算 3 体会空间向量解决立体几何问题的三步曲 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一点到直线的距离 1 点到直线的距离因为直线和直线外一点确定一个平面 所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一平面内点到直线的距离问题 如图 设l是过点p平行于向量s的直线 a是直线l外一定点 2 点到直线的距离的算法框图空间一点a到直线l的距离的算法框图 如图 知识点二点到平面的距离 1 求点到平面的距离如图 设 是过点p垂直于向量n的平面 a是平面 外一定点 作aa 垂足为a 则点a到平面 的距离d等于线段aa 的长度 长度 2 点到平面的距离的算法框图空间一点a到平面 的距离的算法框图 如图所示 知识点三直线到与它平行的平面的距离 如果一条直线平行于平面 那么直线上的各点向平面 所作的垂线段均相等 即直线上各点到平面 的距离均 一条直线上的任一点到与该直线平行的平面的距离 叫作直线与平面的距离 相等 知识点四两个平行平面的距离 和两个平行平面同时垂直的直线 叫作两个平面的 公垂线夹在两个平行平面之间的部分 叫作两个平面的 两个平行平面的公垂线段的长度 叫作两个平行平面的 公垂线 公垂线段 距离 题型探究 类型一求点到直线的距离 例1如图 在空间直角坐标系中有棱长为2的正方体abcd a1b1c1d1 e f分别是棱c1c和d1a1的中点 求点a到直线ef的距离 解答 如图 连接af 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 a 2 0 0 e 0 2 1 f 1 0 2 取直线ef上一点f 1 0 2 已知一点p和一个向量s确定的直线l 那么空间一点a到直线l的距离的算法步骤 反思与感悟 求平行直线间的距离通常转化为求点到直线的距离 跟踪训练1如图 在直三棱柱abc a1b1c1中 过a1 b c1三点的平面和平面abc的交线为l 1 判断直线a1c1和l的位置关系 并加以证明 解答 a1c1 l 证明如下 a1c1 ac a1c1 平面abc ac 平面abc a1c1 平面abc 又 平面a1c1b 平面abc l l a1c1 2 如果aa1 1 ab 4 bc 3 abc 90 求点a1到直线l的距离 解答 如图 建立空间直角坐标系 则b 4 0 0 c 4 3 0 a1 0 0 1 c1 4 3 1 过点b作bh a1c1 垂足为点h 由 1 知 l a1c1 bh即为点a1到直线l的距离 类型二求点到平面的距离 例2已知四边形abcd是边长为4的正方形 e f分别是ab ad的中点 cg垂直于正方形abcd所在的平面 且cg 2 求点b到平面efg的距离 解答 建立如图所示的空间直角坐标系 由题意可知g 0 0 2 e 4 2 0 f 2 4 0 b 4 0 0 设平面efg的一个法向量为n x y z 令y 1 则n 1 1 3 反思与感悟 利用向量求点到平面的距离的一般步骤 1 求出该平面的一个法向量 2 求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量 3 求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值 再除以法向量的模 即可求出点到平面的距离 跟踪训练2已知点a 1 1 1 平面 经过原点o 且垂直于向量n 1 1 1 求点a到平面 的距离 解答 类型三求直线到与它平行的平面的距离 例3在棱长为a的正方体abcd a b c d 中 e f分别是bb cc 的中点 1 求证 ad 平面a efd 证明 以d为坐标原点 分别以da dc dd 所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图 da d a d a 平面a efd ad平面a efd ad 平面a efd 2 求直线ad到平面a efd 的距离 解答 设平面a efd 的一个法向量为n x y z 反思与感悟 求线面距离常转化为直线上的点到平面的距离 跟踪训练3在直棱柱abcd a1b1c1d1中 底面为直角梯形 ab cd且 adc 90 ad 1 cd bc 2 aa1 2 e是cc1的中点 求直线a1b1与平面abe的距离 解答 如图 以点d为坐标原点 分别以da dc dd1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 令z 1 得n 1 0 1 类型四求两平行平面间的距离 例4如图 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为4 m n e f分别为a1d1 a1b1 c1d1 b1c1的中点 求平面amn与平面efbd间的距离 解答 如图 以点d为坐标原点 分别以da dc dd1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则d 0 0 0 m 2 0 4 a 4 0 0 b 4 4 0 e 0 2 4 f 2 4 4 n 4 2 4 ef mn am bf 平面amn 平面efbd 设n x y z 是平面amn的一个法向量 令z 1 得x 2 y 2 则n 2 2 1 反思与感悟 求平行平面之间的距离常转化为求点到平面的距离 跟踪训练4已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 求平面a1bd与平面b1cd1间的距离 解答 以d为坐标原点 分别以da dc dd1所在直线为x轴 y轴 z轴 建立如图所示的空间直角坐标系 设平面a1bd的一个法向量为n x y z 令z 1 得y 1 x 1 n 1 1 1 平面a1bd与平面b1cd1间的距离等于点d1到平面a1bd的距离 当堂训练 1 在棱长为a的正方体abcd a1b1c1d1中 m是aa1的中点 则点a1到平面mbd的距离是 答案 解析 2 3 4 5 1 如图 以点d为坐标原点 分别以da dc dd1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则d 0 0 0 a1 a 0 a a a 0 0 m a 0 a b a a 0 设n x y z 为平面mbd的一个法向量 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 令y 1 得n 1 1 2 2 两平行平面 分别经过坐标原点o和点a 2 1 1 且两平面的一个法向量为n 1 0 1 则两平面间的距离是 答案 解析 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 3 已知平面 的一个法向量为n 2 2 1 点a 1 3 0 在 内 则p 2 1 4 到 的距离为 答案 解析 2 3 4 5 1 4 在长方体abcd a1b1c1d1中 底面abcd是边长为2的正方形 高aa1为4 则点a1到截面ab1d1的距离是 答案 解析 2 3 4 5 1 如图 以a为原点 分别以ab ad aa1所在直线为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则a1 0 0 4 b1 2 0 4 d1 0 2 4 设平面ab1d1的一个法向量为n x y z 令z 1 得n 2 2 1 5 如图 多面体是由底面为abcd的长方体被截面aec1f所截而得到的 其中ab 4 bc 2 cc1 3 be 1 1 求bf的长 解答 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 建立如图所示的空间直角坐标系 则d 0 0 0 b 2 4 0 a 2 0 0 c 0 4 0 e 2 4 1 c1 0 4 3 设点f 0 0 z 截面aec1f为平行四边形 z 2 f 0 0 2 2 3 4 5 1 2 求点c到平面aec1f的距离 解答 设平面aec1f的一个法向量为n1 x y 1 点c到