量子力学第三章习题.doc

第三章 量子力学中的力学量3.1 一维谐振子处在基态 ,求(1) 势能的平均值 ;(2) 动量的几率分布函数;(3) 动能的平均值 .解: (1) 势能的平均值:(2) 动量的几率分布函数所以(3) 动能的平均值计算可知,这一状态中的振子的势能和动能的平均值相等,都是零点能的一半.以上计算中,用到积分公式:费曼方法介绍:设某系统的能量本征值方程为其中含有一参数, 那么, 便有于是有再根据, 得到.这个公式对于求某些力学量本征态下的平均值问题会非常有用.具体到这里的(1)、(3)小题,有(1) .因而.这样便有这里, 用到了, 因此, 有(3) .因而.根据费曼方法, 有这样, 便有从以上两例, 可以看到:利用费曼方法,可以非常简捷地得到所要的结果.这种方法,在后面还会用到.此外,根据(1)与(3)两道小题,有3.2. 氢原子处在基态,求:(1) 的平均值;(2) 势能的平均值;(3) 最可几半径;(4) 动能的平均值;(5) 动量的几率分布函数.解: (1) 的平均值:(2) 求势能的平均值:(3) 求最可几半径:电子在半径为的球面上的几率为求上式对的导数令上式等于零, 则可求得最可几半径为:(4) 动能的平均值(5) 动量的几率分布函数欲求动量的几率分布,必须先将波函数按动量的本征函数展开.即 其中 将氢原子的基态波函数代入得:因为在积分过程中不变,我们选沿轴方向,即对的积分已经完成,以下作对的积分:将上式的结果代入中,最后对积分:这就是当氢原子处在基态时,电子动量的绝对值取的几率.电子动量的绝对值在范围内的几率,等于乘以动量空间的体积元.此题中势能动能平均值可用费曼方法求解.费曼方法求动能势能平均值.动能平均值:于是有:这样根据费曼的方法,有同样地,有这样根据费曼的方法,有当然有是自洽的.*3.3. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标系中的分量是解: 电流密度而为电子的几率流密度 在球坐标系中电子运动状态函数为其中均为实数，是实数，只有是非实数，而另外球坐标中的梯度算符为则电流密度的径向分量为：电流密度方向的分量为其实是很显然的，因为和对不起作用，所以状态函数与实函数的情况相同.电流密度方向的分量为综上所述： 3.4. 由上题知,氢原子中的电流可以看作是由许多圆电流组成的.(1) 求一圆电流的磁矩;(2) 证明氢原子磁矩为 原子磁矩与角动量之比 这个比值,称为回转比磁比率.解: (1) 一个微分的园环中通过电流所产生的磁矩在球极坐标中(核处于原点),某一的圆环附近流过电流面积的微分圆面积电流为该圆电流的磁矩为 式中是环子的所围成的面积.将代入得是一圆周电流的磁矩.(2) 氢原子的磁矩为: (SI)若用CGS单位制, ,则 (CGS)注意到,则立即可以得到回转磁比率: 3.5. 一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是,为角动量, 求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:(1) 转子绕一固定点转动;(2) 转子绕一固定轴转动.解: 空间转子是在中心力场中运动的特例,即它是被约束在球面上运动的体系.这种情况下,体系的哈密顿为(1) 对于定点转动,状态与都有关,设能量的本征函数为,有即 而 比较上两式,我们得到:当时，则此时我们同时求得能量的本征值和本征函数.(2) 转子绕一固定轴转动.对于定轴转动,即转子被约束在某个平面内的圆周上转动,我们可以假设,波函数与无关.此时体系的哈密顿算符亦与无关,写作波函数与无关,只取决于中的即 将哈密顿算符作用于上式得到能量的本征值为或直接解本征值方程 其中 其解考虑单值条件, 即, 得由此得也可以将本征函数改写为即可归一化为:最后得因此本征值为3.6. 设粒子的状态为求此时的平均动量和平均动能.解: 方法I:将上式代入中得可见动量可以取5个值,依次是:和由归一化条件:得所以归一化系数为 它们出现的几率分别为是:和动量的平均值:动能的平均值:方法II:上面利用欧拉公式直接展开,结果与方法I一样,以下运算与方法I完全相同.3.7. 一维运动粒子的状态是其中,求(1) 粒子的动量的几率分布函数;(2) 粒子的平均动量.解: (1) 按照波叠加原理，任一波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的叠加.叠加系数为用到积分公式积分再求出所给波函数的归一化常数A：即最后得到动量的几率分布：(2) 求粒子动量的平均值：由上式已经看出，粒子在状态中取和几率相等，所以动量的平均值为零，实际上：或 3.8. 在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为,如果粒子状态的波函数为,A为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值.解: 首先将波函数归一化：所以 将给定的波函数视为能量本征函数的线性叠加,即 其中系数 其中 而 将两式结果代入得因此，能量的几率分布函数粒子的能量平均值：能量还可以方便的由平均值的积分公式求得 3.9. 设氢原子处于状态求氢原子的能量、角动量的平方及角动量分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值.解: (1) 能量能量的本征值方程为 其能量为 可见所给的波函数是能量的本征函数，本征值为，即(2) 角动量的平方角动量平方的本征值方程为 其 可见所给的波函数是角动量平方的本征函态，角动量平方有确定的值(对应于)(3)角动量分量的本征值方程为它是的一个因子。的值取决于量子数，题给定的状态不是的本征态，而是本征态的线性叠加。在态中，而在态中，故在所给的态中，的可能值为和，出现和的几率分别为和，即和。的平均值 3.10. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为求粒子的能级和定态波函数。解: 这是一个无限深方势阱的问题,它只存在束缚态解.当,.设粒子的质量为,因此,系统的哈密顿算符为考虑到的球对称性,采用球坐标系,此时,有 (1)在中心势中,角动量是守恒量.因此它的各分量都是守恒量.选体系的守恒量完全集为,本征值方程(1)的解为的本征态.代入方程(1),便得到径向波函数满足的方程 (2)令 则 (3)首先考虑，态即的状态波函数与角度无关，则薛定谔方程变为 (4)它的解为 即 要求在时有限，所以，故因为在处是硬壁，粒子绝不可能透出外面，所以于是有即 即 与 联立求解得到粒子的能级为 (5)这一量子化的能级与一维无限深势阱能级结果类似。波函数中常数由归一条件求得所以 最后得到一化的波函数为: (6) (7)再考虑的一般情况, 径向方程(2)化为 (8)边界条件为 令,则(8)式化为这正是球贝塞尔方程,它的解可取为球贝塞尔函数或球诺伊曼函数.由于解要求在有限,所以只取球贝塞尔函数为本方程的解由边界条件确定.由于取有限值,只能取一系列分立值.把的根记为,其中,则粒子的本征值为本征函数为根据有其中归一化系数为此时3.11. 求3.6题中粒子位置和动量的不确定性解: 根据3.6的结果以及对任何一个力学量有便有由3.6题知:动量的平均值:动能的平均值:因此有此外,有由于是关于的偶函数,因此另外,我们有故我们有最终有3.12. 粒子处于状态式中为常量.求粒子的动量平均值, 并计算测不准关系解: 是不归一的，因此令归一化常数为,则有因此得: 最后得归一化波函数为(1) 求粒子动量的平均值(2) 计算测不准关系因另解:所以 最后得：3.13. 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。解: 假设氢原子中电子的运动出现在一个具有半径的区域，电子位置的不准确量可取成，根据测不准关系式。 (1)电子动量的值的最小不准确量，为明确起见，假定， (2)动量值不能比它的值的不准确量更小是显而易见的。所以最小可能动量值是。把核看作静止不动。电子绕核运动的能量等于它的动能()和它的势能(处于距核处， )的总和。为了进行估算。假定电子总能量的经典表达式仍然是有意义的。将方程代入动能表达式，得到氢原子中电子的总能量。 (3)图1表示电子能量对于的依赖关系。由图可见曲线有一个最小值； 从对应于最小值的点满足。可以很容易地求出的值，记为。换句话说，氢原子的电子在距核的距离等于处，出现的几率最大(能量最低状态)。将式(3)对求导，并令其等于零，得到：