原子核壳层模型_各主量子数最低能级的数学表示和核结构的幻数公式.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 第7卷第1期 2008年1月 杭州师范学院学报 自然科学版 Journal of Hangzhou Teachers College Natural Science Edition Vol 7 No 1 Jan 2008 收稿日期 2007211213 作者简介 朱 临 1947 男 浙江义乌人 政工师 主要从事核物理和热力学等研究 文章编号 1008 9403 2008 01 0045 05 原子核壳层模型 各主量子数最低能级的 数学表示和核结构的幻数公式 朱 临 浙江铁道学会 浙江 杭州310007 摘 要 从原子核的幻数和壳层的理论出发 探求各主量子数最低能级的数学表示 得出了核结构的幻数 公式 经比较 由幻数公式得出的各个幻数和实验结果相一致 关键词 原子核 壳层模型 主量子数 最低能级 幻数公式 中图分类号 O571 5 文献标志码 A 0 引 言 原子核结构问题是核物理研究的重要内容 对此 核物理界曾提出过多种理论和模型 1984年 文 1 探讨了核比结合能对核大小和核结构的影响 物理学界也对诸如气体模型 液滴模型 粒子模型和集体 运动模型等多种原子核结构模型进行了深入的研究 结果发现 当核素的质子或中子为某些特定数值时 核素显得特别稳定 由此提出了核结构的壳层模型 壳层模型是核结构的一个重要模型 2005年6月16 日 Fridmann J等发现了核素4214Si28 2 由于这个核素显得特别稳定 从而发现了14这个新的幻数 结合原 子核的幻数与壳层理论以及新幻数14 可以得出原子核结构的幻数公式Np N n 1 3 n3 n2 2 2 3 n 2 n 0 1 2 其中Np和Nn分别为质子幻数与中子幻数 n为原子核三维谐振子势中的主量子数 1 观测发现的幻数和原子核壳层模型 1932年 美国物理学家M G 巴特勒特和W M 埃尔萨塞在观测中发现 当核素的质子或中子为2 8 20 28 50 82 126这些特定的数值和两者均符合这些特定的数值时 其丰度特别高 这些特定的数值被 称为幻数 具有这些幻数之一的原子核称为幻数核 特别的 当质子和中子都是幻数时 该原子核被称为双 幻数核 由于这些原子核中的质子和中子都以集体的形式充满某个能级 因此它们就显得十分稳定 如所 知 当原子序数等于某些特定数值时 原子会显得特别稳定 并形成壳层结构 同样 在原子核中那些丰度 特别高且特别稳定的核素也应形成类似的壳层 1949年 德国物理学家M G 迈耶和J H D 詹森指出 在原子核中质子和中子可以形成一定的壳层结构 而以上提到的2 8 20 28 50 82 126这些幻数 则是质 子或中子形成一定壳层结构的表现 并且他们从理论上对之进行了解释 对于原子核内的某个核子 可以看成处于其余A21核子所产生的平均场之中 这里的平均场是一种 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 有心场 可以发现 采用各种势函数来代表球形对称的力场后 所设势函数的形状对推得核子态次序的影 响是极小的 因此 采用较为简单的势阱 即可代表核力这种短程力的力场 也因为此 在这种场中运动的 单个核子 质子和中子总称为核子 可采用直角势阱加以描述 且当r R时 V r V0 当r R时 V r 0 其中r为有心场的径向分量 即某核子到力场中心的距离 V0为势阱深度 R为原子核半径 R r0A 1 3 通常用三维各向同性的谐振子势加以描述 V r V0 1 2 m 2 r2 1 其中m为核子质量 2V0 mR2 1 2 利用式 1 可得单核子运动的薛定谔方程 H h 2m 2 V r h 2m 2 V0 1 2 m 2 r2 2 解得 3 1582159 E l 2 1 l 3 2 h n 3 2 h n 2 1 l 1 2 3 l 0 1 2 3 其中n为谐振子量子数 亦称主量子数 为径向量子数 l为轨道量子数 在上式中 谐振子能级是均匀分 布的 相邻能级的间距为h 当n 0时 E l 3 2 h 为零级振动能量 对于三维各向同性的谐振子 能级 E l是简并的 简并度为n l 在式 3 中 对 n l取不同的数值 可以得到原子核各个能级的能量 同时 核子有着自旋角动量s 自旋s 轨道角动量l合成为总角动量j 核子间存在很强的自旋 2轨道角 动量的耦合作用 自旋 2轨道角动量耦合的结果是将同一l的能级分裂为两条能级j l 1 2 这两条能级 的间隔是很大的 而且j l 1 2 的能级比j l 1 2 的能级低 4 两条能级的间隔为 5 E l Ej l 1 2 Ej l 1 2 Cl s 1 2 C 2l 1 4 根据实验结果 一般选用C 20A 2 3 MeV 从而可得 E l 10 2l 1 5 据上 对于某一特定的轨道量子数l 其两侧能量分裂的数值各为 1 2 E l 5 2l 1 结合式 3 5 得到 E l n 3 2 h 5 2l 1 6 在核势场的基础上 在引入自旋 2轨道角动量的耦合后 M G 迈耶和J H D 詹森提出了原子核结 构的壳层模型 2 各主量子数最低能级的数学表示和核结构的幻数公式 2 1 各主量子数最低能级的数学表示 先由谐振子势阱和直角势阱的能级进行内插 得出相应的能级 再考虑自旋 2轨道角动量的耦合 可 以得到原子核壳层结构的各个能级 根据式 3 和式 6 M G 迈耶和J H D 詹森 6 算得各主量子数最 低能级j l 1 2 的核子数为 Np N n 2 6 14 28 50 82 126 184 7 令n 0 1 2 3 4 5 6 7 并使n值依次与Np N n 的每个数值相对应 在分析上述数列后 可以发现它们 存在着某种规律性 现选取28 50 82 126 184这组数值 也可选取2 6 14 28 50 在数列28 50 82 126 184中 依次用后一个数值减去前面一个数值 可得新数列22 32 44 58 再在新数列中 依次用后一 64杭州师范学院学报 自然科学版 2008年 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 个数值减去前一个数值 得到数列10 12 14 最后得到的数列可表示为 an a1 nd 8 由此得到一个等差数列 其中d为公差 假设式 7 的数列是一个一元三次方程 令 Np N n an 3 bn2 cn d 9 其中a b c d为常数 n为变数 n 0 1 2 3 4 5 6 7 令n 0 由式 9 可得 N0 d 2 10 亦即式 7 中的第一个数值 将式 10 中的d值代入式 9 再任取28到184中的三个数 记为N1 N2 N3 和与之对应的三个n值 记为n1 n2 n3 代入式 9 得到以下方程组 n31a n21b n1c 2 N1 n32a n22b n2c 2 N2 n33a n23b n3c 2 N3 11 将以上选取的N1 N2 N3以及n1 n2 n3的具体数值代入式 11 解得 a 1 3 b 1 c 2 2 3 12 再将a b c的值代入式 11 可得 Np N n 1 3 n3 n2 2 2 3 n 2 13 式 13 即为各主量子数最低能级的数学表示 将n 0 1 2 分别代入式 13 有 Np N n 2 6 14 28 50 82 126 184 14 可以看出 式 14 数列的各数值和式 7 的各主量子数最低能级j l 1 2 的核子数完全相同 并分 别对应 即为式 7 各主量子数最低能级j l 1 2 的核子数2 6 14 28 50 82 126 184 2 2 关于公式中6的问题 在式 14 里各主量子数最低能级的数学表示中有6 但在先前发现的观测幻数中却没有6 在式 7 数列的各数值或式 14 各主量子数最低能级j l 1 2 的核子数2 6 14 28 50 82 126 184之中的6 并 不是先前发现的幻数 对于6的情况 可以作如下解释 在理论上 从原子核的能级结构可以看出 由于自旋 2轨道角动量耦合的结果 主量子数为1中轨道 角动量为p的能级 将分裂为总角动量j 1 1 2 两条 公式幻数6处于主量子数为1的最低能级1p3 2 的 能级上 1p3 2 能级和下面相邻的主量子数为0的能级1s1 2 即幻数2所处能级的间隔较大 因此 1p3 2 为质 子或中子的满壳层能级 实验发现 对于核子为6的核素 其相对丰度也特别的高 原子核的比结合能同邻近的原子核相比 也 特别的大 7 这就是说 6的确是质子或中子的幻数 2 3 关于近期发现的幻数14 实验表明 在总体上 原子核的稳定线是一条逐步上升的曲线 对于原子质量数A 40的原子核 稳 定线的中子数N和质子数Z之比 N Z 1 其中 N Z 称为中质比 越重的原子核 其中质比 N Z 越大 而对于A 40的原子核 稳定线则近似于直线 中质比 N Z 1 3 46247 然而 近来却发现 在核子数A为40左右的核 素中 其中质比 N Z 出现了比1大得多的情况 2005年 英国萨里大学和美国佛罗里达州立大学的J 弗列德 74 第1期 朱 临 原子核壳层模型 各主量子数最低能级的数学表示和核结构的幻数公式 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 曼 I 韦登霍缶等21位科学家发现 人造放射性14Si的同位素4214Si28具有14个质子和28个中子 42 14Si28的质 量数A在40附近 它的中质比 N Z 2 远远超出通常的中质比 但却异常的稳定 据此 4214Si28似乎具有14 和28的双幻数 可以看出 在式 7 数列的各数值或式 14 各主量子数最低能级j l 1 2 的核子数2 6 14 28 50 82 126 184中 14也不是先前发现的幻数 但是 英国萨里大学和美国佛罗里达州立大学的科 学家认为 4214Si28的这种性质表明14和先前发现的幻数2 8 20 28 50 82 126一样 也是一个奇妙的幻数 2 4 核结构的幻数公式 在式 7 和 14 中 有6这个幻数 也有新近观测所得的14这个幻数 也就是说2 6 14 28 50 82 126 184都是原子核的幻数 因此 式 13 所述的各主量子数最低能级的数学表示 即为核结构的幻数公 式 原子核的幻数公式亦可称之为原子核的壳层结构定律 从式 13 的幻数公式 可以得出原子核的各个 幻数 因为核电荷的下限为Z 132 8 故对于质子幻数 有Np 2 6 14 28 50 82 126 对于中子幻数 则有Nn 2 6 14 28 50 82 126 184 从原子核的幻数公式所反映的幻数的分布情况可以看出 公式幻数有以下基本特点 1 原子核结构幻数公式中的各幻数 都在各主量子数n上 2 各公式幻数都处在其所处主量子数范围内最低的能级j l 1 2 上 3 28与其以下的14 6 2等处于较低能级的公式幻数所处的能级 同其下面最相邻近能级的间距较大 4 50与其以上的82 126 184等处于较高能态的公式幻数所处的能级 同其上面最相邻近能级的间 距较大 以上原子核幻数公式的基本特点显示 原子核的幻数公式和核的各主量子数的最低能级相符合 也和 观测结果相符合 是一个反映核结构实际情况的物理公式 3 对和公式幻数不一致的观测幻数8 20的解释 从上可见 先前发现的观测幻数为 Np N n 2 8 20 28 50 82 126 184 15 对式 14 和式 15 进行比较后 可以看出 除了6 8 14 20这四个幻数外 其余的完全相同 在式 15 的 观测公式中 没有6 14这两个公式幻数 同时 在式 14 的公式幻数中 也没有式 15 中8 20这两个观测 幻数 但在观测结果中 却存在8 20这两个幻数 下面对6 14和8 20这两种情况进行比较 实验表明 质量数在中等数值 A 40 120 的原子核中 核子的比结合能较大 在轻原子核和重原子核中则较小 在轻原子核 A 40 的原子核中 核子的比结合 能呈递增的趋势 在重原子核 A 120 的原子核中 核子的比结合能呈递减的趋势 同时 在同位素 质 子数相同 中子数不同的核素 和同中子数 中子数相同 质子数不同的核素 中 存在多个公式幻数和观 测幻数的情况 在此选取稳定线上轻原子核中一些典型的核素进行比较 结果发现 对于幻数公式中的6 和观测幻数中的8 其公式幻数为6原子核的相对丰度和观测幻数为8原子核的相对丰度相接近 而其天 然丰度则更为接近 同时 公式幻数为6原子核的比结合能同前面邻近的 除幻数核外最稳定原子核的比 结合能的差距 与观测幻数为8原子核的比结合能同前面邻近的 除幻数核外最稳定原子核的比结合能的 差距相比 要大得多 而公式幻数为6原子核的比结合能同后面邻近的 除幻数核外最稳定原子核的比结 合能的差距 与观测幻数为8原子核的比结合能同后面邻近的 除幻数核外最稳定原子核的比结合能的差 距相比 则相近或差距较小 此外 它们的电四极矩则均为零 9 表1 对于公式幻数和与其一致的观测幻数14 同观测幻数中的20 也有类似的情况 由此可见 6 14的确 是原子核结构中的幻数 84杭州师范学院学报 自然科学版 2008年 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 表1 幻数为6和观测幻数为8若干数据的比较 元素 相对丰度 14Si 106 稳定线上核素原子质量 天然丰度 或半衰期 T 1 2 结合能 MeV 比结合能 MeV 电四极矩 Q 5B6 2 10 5B10 012 93919 8062 196 660 074 6C1 35 107 12 6C12 000 00098 9092 167 68 7N2 44 106 14 7N14 003 07499 64104 667 48 16 8O2 36 107 16 8O15 994 91599 76127 617 98 9F3 63 103 18 9F18 000 9371 83 h132 947 39 19 9F18 998 405100147 807 78 再对观测幻数8 20进行一些分析 可以看出 同Np或Nn等于6或14相类似 对于Np或Nn等于8 或20时 其原子核的丰度也相当高 比结合能也相当大 电四极矩也接近于0 怎样看待这两个观测幻数 呢 在原子核结构的幻数公式中 2 6为前面的两个幻数 考虑到自旋 2轨道耦合后能级中核子的情况 可以 把8这个观测幻数看成是它前面的原子核结构的幻数公式里 幻数6和观测幻数8所在能级中核子所形成的 幻数2的结合 简称两幻数 之所以这样定义 是因为它是两个质子幻数或两个中子幻数的结合 这与通常所 讲的一个质子幻数和一个中子幻数结合的双幻数 是不相同的 对于观测所得20这个幻数 也可以看成是它 前面的原子核公式幻数14和20所在能级中的核子与它同14两者之间能级中的核子所形成的幻数6 6 58 这 两个幻数的结合 由此可见 8 20这两个观测幻数 是由6 2和14 6这两组公式幻数分别结合所形成 以上结果 特别是原子核结构的幻数公式 符合M G 迈耶和J H D 詹森壳层结构的理论 也符合 J 弗列德曼 I 韦登霍缶等最新的实验数据 核结构的幻数公式等对于原子核的理论研究和实验探索将会 产生相应的作用 参考文献 1 朱 临 测度原子核大小的定量公式 J 原子能科学技术 1984 18 1 1012105 2 Fridmann J Wiedenhover I Magic nucleus 42S J Nature 2005 435 7044 9222924 3 卢希庭 原子核物理 M 北京 原子能出版社 1982 4 褚圣麟 原子核物理导论 M 第2版 北京 高等教育出版社 1987 206 5 胡济民 原子核理论 第一卷 M 北京 原子能出版社 1987 48 6 Mayer M G Jensen J H D Elementary theory of nuclear shell structure M New York Wiley 1955 58 7 Ahrens L H ed Origin and distribution of the elements M New York Pergamon Press 1968 130 8 朱 临 关于原子核的稳定线 液滴模型和核电荷的上限 J 杭州师范学院学报 自然