数学建模合理安排问题.pdf

1 合理安排问题合理安排问题 摘摘要要 公司合理安排生产计划 是利用公司本身所拥有的资源合理生产 根据企业对产品 订量合理分配生产任务 使生产成本最小 达到利润最大化目的 如今社会处于可持续 发展的趋势下 节约能源是一个国际化问题 本模型根据某公司的四个工厂的实际情况进行详细分析 即根据四个工厂生产能力 单 位成本和材料单耗 确定各厂的材料最佳分配方案以及生产任务 根据各公司拥有的材 料数量 按照利润最大建立生产任务分配模型原则 确定最佳生产安排 根据工厂与订货 企业之间的距离 按照运费最少原则 确定最佳安排运输方案 在每个环节上都作出详 细的表格分析 化繁为简 思路清晰明了 在有利于解题的同时 也方便读者的浏览 把一个大问题分成几个小问题来讨论解决 把复杂问题抽丝剥茧细化成几个小问题 最 后总成起来成为 对于问题一 需要求解最小成本 根据工厂的生产能力以及表一中的资料 使用非 线性规划解决问题 生产任务及材料分配见下表 工厂 钢梁 钢架 A 型钢材 B 型钢材 1 1000 1000 6000000 1600000 2 800 500 4265000 1095000 3 500 800 3673000 923000 4 200 1200 3188000 816000 合计 2500 3500 17126000 4434000 对于问题二 在问题一的基础上 增加了一个条件 即工厂钢型的拥有量 根据利润 最大 合理安排生产任务 与问题一类似求解 生产安排见下表 工厂 钢梁 钢架 1 900 1000 2 709 500 3 441 800 4 450 1200 对于问题三 在问题二的基础上 求解合理安排运输问题 使用非线性规划 建立最 优化模型求解 其运输安排结果见下表 1 2 3 4 5 产量 钢梁 1 250 50 0 0 400 900 2 250 0 459 0 0 709 3 0 0 41 400 0 441 4 0 450 0 0 0 450 订量 500 500 500 400 400 钢架 1 550 0 0 0 400 1000 2 250 0 250 0 00 500 3 0 0 700 100 0 800 4 0 900 0 300 0 1200 订量 800 900 950 400 400 关键词关键词 lingo 软件 合理安排 非线性规划 最小成本 2 一 模型假设 模型假设 假设一 四个工厂与公司在同一个地区 假设二 生产的产品均为合格品 假设三 每个厂生产的钢梁 钢架质量均相同 二 符号说明 符号 符号说明 i m i 工厂生产钢梁的数量 件 i n i 工厂生产钢架的数量 件 i d i 工厂生产钢梁的生产能力 件 i f i 工厂生产钢架的生产能力 件 i l i 工厂生产钢梁的单位成本 元 件 i g i 工厂生产钢架的单位成本 元 件 i q i 工厂生产一件钢梁所需 A 型钢材的量 kg i r i 工厂生产一件钢架所需 A 型钢材的量 kg i s i 工厂生产一件钢梁所需 B 型钢材的量 kg i t i 工厂生产一件钢架所需 B 型钢材的量 kg i h i 工厂 A 型钢材的分配量 kg i k i 工厂 A 型钢材的分配量 kg i a i 工厂 A 型钢材的拥有量 kg i b i 工厂 B 型钢材的拥有量 kg j e j 企业钢梁的订量 件 j c j 企业钢架的订量 件 ij x i 工厂到 j 企业的距离 公里 ij y i 工厂运向 j 企业的钢梁数量 件 ij z i 工厂运向 j 企业的钢架数量 件 三 问题重述 某公司有四个工厂 现接受五个企业钢梁和钢架的订货 订货量分别为 2500 件和 3500 件 单价分别是 1 2 万元和 1 万元 各工厂生产能力 单位成本 材料单耗等资料见表 1 表 1 各工厂生产能力 单位成本 材料单耗资料 项 目 工 生产能力 件 单位成本 元 材料单耗 钢梁 钢架 钢梁 钢架 A 型钢材 B 型钢材 钢梁 钢架 钢梁 钢架 3 厂 1 1000 1000 8600 6000 4000 2000 1000 600 2 800 700 8700 6500 4050 2050 1050 510 3 500 800 8750 6400 4050 2060 1030 510 4 450 1200 8750 5950 4000 1990 990 515 问题一 如果公司现有 A 型钢材 20000 吨 B 型钢材 5000 吨 各工厂所需材料由公司供 应 试建立生产任务和材料分配模型 确定各厂的材料最佳分配方案以及生产任务 问题二 如果各工厂拥有的材料如表 2 按公司利润最大建立生产任务分配模型 求出 最佳生产安排 并与第一问结果进行对比 表 2 各公司拥有的材料数量 工厂 材料 1 2 3 4 合计 A 型钢材 吨 6000 4000 4000 6000 20000 B 型钢材 吨 1500 1000 1000 1500 5000 问题三 订货企业与各工厂的距离见表 3 钢梁单件重 8 吨 钢架单件重 3 吨 每吨每 公里运费 1 元 试根据第二问的计算结果建立模型 合理的安排运输方案 使公司的运 费支出最少 表 3 工厂与订货企业之间的距离 公里 订货企业 工厂 1 2 3 4 5 1 15 12 19 25 9 2 12 18 15 18 17 3 17 10 14 11 15 4 16 9 18 13 20 钢架订货量 件 800 900 950 400 400 钢梁订货量 件 500 500 500 400 400 四 问题一的求解 1 问题分析 要求建立生产任务及材料分配模型 即生产任务是由公司安排各工厂生产钢梁 钢架的 数量和分配到每个工厂 A B 钢型的量 其中 材料分配与生产钢梁 钢架的数量有关 故设钢梁 钢架为未知量 最佳分配及生产任务 只要生产成本最小 故设生产成本为 目标函数 2 模型建立 在建立模型时 i 表示工厂序号 j 表示企业序号 最佳分配方案以及生产任务由各工 厂生产能力 单位成本 材料单耗组成 针对问题一 该问题是求解最佳分配方案以及各工厂的生产任务 换句话说就是在 4 完成任务的情况下 使得成本最小 在各工厂生产能力不同 总订货量一定的情况下 各工厂要合理分工 才能使成本最小 每个工厂的生产能力不同 单位成本不同 A B 型钢材的单耗不同 各工厂生产的钢梁 钢架数存在差异 总成本 钢架总成本 钢梁总成本 目标函数 约束条件 生产钢梁总量为 2500 件 生产钢架总量为 3500 件 生产使用A 型钢总量小于 20000000kg 生产使用 B 型钢总量小于 5000000kg 各厂生产钢梁小于上产能力且为整数 各厂生产钢架小于上 产能力且为整数 该公司完成任务所需的最小成本 min 为 4 1 min i1 2 3 4 iiii i zmlng 约束条件 4 1 4 1 4 1 4 1 2500 1 2 3 4 35001 2 3 4 200000001 2 3 4 50000001 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 i i i i iiii i iiii i iii iii iiii iiiii mi ni mqnri st msnti mdmNi nfnNi hmqnr i kmsnt i 2 3 4 3 模型求解 针对问题一 分析题目可知 确定最佳分配方案 可转化为求最小成本的问题 最小成本与各工厂的 生产能力 单位成本 材料单耗息息相关 于是 生产任务也就确定了 题目已经给出了 A B 型钢材的数量 那么 这个数值将会以一个约束条件的形式存在 由于各工厂生产钢梁钢架的能力存在差异 单位成本不同 消耗 A B 型钢材的数量也 不同 这些将会是一些约束条件 在母题中还有一个订货量的限制 在这些条件的约束下 方能得出最合理的安排 最小成本与生产任务有关 其值为 各 工厂生产钢梁的数量与单位成本之积加上各工厂生产钢架的数量与单位成本之积 所以 经过上述分析 我们应用 LINGO 程序进行编程 程序见附录 1 计算 最终得出 使得生产成本最小的各工厂的生产任务 问题一结果 工厂 钢梁 钢架 A 型钢材 B 型钢材 1 1000 1000 6000000 1600000 2 800 500 4265000 1095000 3 500 800 3673000 923000 5 4 200 1200 3188000 816000 合计 2500 3500 17126000 4434000 4 模型结果分析与检验 生 产 任 务生 产 任 务 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1234 工 厂 件 钢梁 钢架 材料分配 0 1000000 2000000 3000000 4000000 5000000 6000000 7000000 1234 工厂 kg A型钢材 B型钢材 由上述图表可以得到 1 厂用的 A 型钢材较多 生产钢架由 1 厂到 4 厂材料单耗逐渐减 少 生产相同钢架数量用量逐渐减少 所以 由生产任务图标可以看出 4 厂分配的钢架 数量较多 五 第二问的求解 1 问题分析 问题二 要求公司利润最大 且企业订量一定 单位售价一定 固有销售总额定值 由 利润 销售总额 总成本 可转化类似于第一问的成本最小问题 建立类似问题一的模 型 改变个别约束条件 求最大利润 2 模型建立 针对问题二 该问题可以转化为求解最小总成本 然后再求最大利润 相较于问题一而 言 问题二增加了一个限定条件 即各工厂的 A B 型钢材有一个限定值 每个工厂的每 种型号的刚才数量均不相同 约束条件 生产钢梁总量为 2500 件 生产钢架总量为 3500 件 生产使用A 型钢总量小于 20000000kg 生产使用 B 型钢总量小于 5000000kg 各厂生产钢梁小于上产能力且为整数 各厂生产钢架小于上 产能力且为整数 目标函数 6 最大利润 max 为 maxz 2500 12000 3500 10000 4 1 i1 2 3 4 iiii i mlng 约束条件 4 1 4 1 4 1 4 1 25001 2 3 4 35001 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 i i i i iii ii i iiiii i iii iii mi ni mqnra i st msntb i mdmNi nfNNi 3 模型求解 对于问题二 由题设可知 增加了一个限制条件 即为各工厂 A B 型钢材的拥有量 问题二是要 求出公司利润最大时的各工厂生产任务 最大利润与总销售额和最小成本有关 相较于 问题一而言 问题二只是多做了一步运算 基本原理是类似的 因此 最大利润的值为 总销售额减去最小成本 由分析可得 问题二与问题一的情形差不多 只是约束条件有所改变 应用 LINGO 程序进行编程 程序见附录 2 计算 最终得到利润最大时的各工厂生产任务 问题二结果 工厂 钢梁 钢架 1 900 1000 2 709 500 3 441 800 4 450 1200 4 模型结果分析与检验 7 生产分配 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1234 工厂 件 钢梁 钢架 由图表可看出 由于 4 厂生产钢架的能力最强位成本较低 使用耗材也相对较少 相对 于 1 厂言 虽然钢架的成本相对较低 由于材料单耗较高 但其生产能力相较其他厂 能力较高 所以 4 厂分配的生产钢架量最多 1 厂生产钢架量也较多 六 第三问的求解 1 问题分析 问题三 要求合理安排运输方案 求解公司运费最小 由题意易得钢梁运输单价是 8 元 公里 件 钢架运输单价是 3 元 公里 件 只要根据工厂与企业间的距离 由运 费总成本 钢梁的总运费 钢架的总运费 2 模型建立 针对问题三 约束条件 各工厂与各企业之间运输量等于订量 小于生产量 且为整数 目标函数 45 11 min83i1 2 3 4 j1 2 3 4 5 ijijij ij zyzx 约束条件 8 45 11 45 11 45 11 45 11 i1 2 3 4 j1 2 3 4 5 i1 2 3 4 j1 2 3 4 5 i1 2 3 4 j1 2 3 4 5 i1 2 3 4 j1 2 3 4 5 i1 2 3 4 j1 2 3 4 5 i1 2 3 4 j1 2 iji ij iji ij ijj ij ijj ij ij ij ym zn ye st zc yN zN 3 4 5 3 模型求解 对于问题三 由题目可看出 问题三是相对比较独立的 只是会应用到问题二的结果 并且新引 进了一个运费问题 运费与工厂与企业之间的距离 钢梁 钢架的单件重 钢梁 钢架 的订货数量有关 由上述分析 运费最优化方案应用非线性规划 使用 LINGO 程序进行编程 程序见 附录 3 运输方案见下表 问题三结果及结果分析 1 2 3 4 5 产量 钢梁 1 250 50 0 0 400 900 2 250 0 459 0 0 709 3 0 0 41 400 0 441 4 0 450 0 0 0 450 订量 500 500 500 400 400 钢架 1 550 0 0 0 400 1000 2 250 0 250 0 00 500 3 0 0 700 100 0 800 4 0 900 0 300 0 1200 订量 800 900 950 400 400 4 模型结果分析与检验 9 运输方案 250250 00 550 250 00 50 00 450 000 900 0 459 41 00 250 700 000 400 000 100 300 400 000 400 000 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 12341234 钢梁钢架 件 1 2 3 4 5 由题目的表三可知 到 1 企业距离最短的是 2 工厂 到 2 企业距离最短的是 4 工厂 到 3 企业距离 最短的是 3 工厂 到 4 企业距离最短的是 3 工厂 到 5 企业距离最短的是 1 工厂 由此看出 3 企 业所需要的钢架来自 3 工厂 2 企业所需要的钢架全部来自 4 工厂 5 企业所需要的钢架全部来自 1 工厂 4 企业所需要的钢梁全部来自于 3 工厂 5 企业所需要的钢梁全部来自于 1 工厂 均符合实 际情况 七 模型的评价与推广 1 模型的评价 本文用了层次分析法 有利于企业评估工厂生产能力以及确定最佳生产方案和合理的运 输方案等方面 对材料的合理运用有利于资源的合理配置 也有利于环境的保护 克服 了主管定性分析的弊端 在建立模型时全面地考虑因素并且所有因素符合客观实际 也 对各影响因素作出合理的量化处理 通过对已知数据的整合分析 巧妙地构建了非线性 规划 并用 MATLAB 等软件求出模型结果 此外 本模型运用大量图表 将复杂的数据 简洁明了地呈现出来 易于理解 思路清晰 由于受现有数据以及资料的限制 无法代表所有工厂的实际需求 2 模型的推广 本模型能够更准确的评价四个工厂的生产能力 从而得出最佳生产方案 同时根据工厂 与订货企业之间的距离 科学准确地确定最佳运输方案 该模型还可以运用到企业的采 购 住房建设等等方面 在运用本模型时 应结合自身的实际情况 尽量选取科学合理 的数据以及结论 八 参考文献 1 薛毅编著 数学建模基础 北京 科学出版社 2011 2 耿秀荣 王彦辉 吴果林主编 数学建模及其常用数学软件 广西 广西师范大 学出版社 2012 3 袁新生 邵大宏 郁时炼主编 LINGO 和 Excel 在数学建模中的应用 北京 科学 出版社 2007 4 冰糖雪梨 QQ LINGO 教程 2013 年 12 月 5 日 10 九 附录 附录1 问题一求解程序及运行结果 model sets gc 1 2 3 4 m n d f l g q r s t h k endsets data i 工厂生产钢梁的生产能力 d 1000 800 500 450 i 工厂生产钢架的生产能力 f 1000 700 800 1200 i 工厂生产钢梁的单位成本 l 8600 8700 8750 8750 i 工厂生产钢架单位成本 g 6000 6500 6400 5950 i 工厂生产 1 件钢梁所需 A 型钢材的量 q 4000 4050 4050 4000 i 工厂生产 1 件钢架所需 A 型钢材的量 r 2000 2050 2060 1990 i 工厂生产 1 件钢梁所需 B 型钢材的量 s 1000 1050 1030 990 i 工厂生产 1 件钢架所需 A 型钢材的量 t 600 510 510 515 enddata 目标函数 min sum gc i m i l i n i g i 约束条件 for gc i sum gc m 2500 for gc i sum gc n 3500 for gc i sum gc i m i q i n i r i 20000000 for gc i sum gc i m i s i n i t i 5000000 for gc i bnd 0 m i d i for gc i bnd 0 n i f i for gc i m i q i n i r i h i for gc i m i s i n i t i k i for gc i gin m i for gc i gin n i end Global optimal solution found Objective value 0 4319500E 08 Objective bound 0 4319500E 08 Infeasibilities 0 000000 Extended solver steps 0 Total solver iterations 0 11 Variable Value Reduced Cost M 1 1000 000 8600 000 M 2 800 0000 8700 000 M 3 500 0000 8750 000 M 4 200 0000 8750 000 N 1 1000 000 6000 000 N 2 500 0000 6500 000 N 3 800 0000 6400 000 N 4 1200 000 5950 000 D 1 1000 000 0 000000 D 2 800 0000 0 000000 D 3 500 0000 0 000000 D 4 450 0000 0 000000 F 1 1000 000 0 000000 F 2 700 0000 0 000000 F 3 800 0000 0 000000 F 4 1200 000 0 000000 L 1 8600 000 0 000000 L 2 8700 000 0 000000 L 3 8750 000 0 000000 L 4 8750 000 0 000000 G 1 6000 000 0 000000 G 2 6500 000 0 000000 G 3 6400 000 0 000000 G 4 5950 000 0 000000 Q 1 4000 000 0 000000 Q 2 4050 000 0 000000 Q 3 4050 000 0 000000 Q 4 4000 000 0 000000 R 1 2000 000 0 000000 R 2 2050 000 0 000000 R 3 2060 000 0 000000 R 4 1990 000 0 000000 S 1 1000 000 0 000000 S 2 1050 000 0 000000 S 3 1030 000 0 000000 S 4 990 0000 0 000000 T 1 600 0000 0 000000 T 2 510 0000 0 000000 T 3 510 0000 0 000000 T 4 515 0000 0 000000 H 1 6000000 0 000000 H 2 4265000 0 000000 H 3 3673000 0 000000 12 H 4 3188000 0 000000 K 1 1600000 0 000000 K 2 1095000 0 000000 K 3 923000 0 0 000000 K 4 816000 0 0 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0 4319500E 08 1 000000 2 0 000000 0 000000 3 0 000000 0 000000 4 0 000000 0 000000 5 0 000000 0 000000 6 0 000000 0 000000 7 0 000000 0 000000 8 0 000000 0 000000 9 0 000000 0 000000 10 0 1400000E 08 0 000000 11 0 1573500E 08 0 000000 12 0 1632700E 08 0 000000 13 0 1681200E 08 0 000000 14 3400000 0 000000 15 3905000 0 000000 16 4077000 0 000000 17 4184000 0 000000 18 0 000000 0 000000 19 0 000000 0 000000 20 0 000000 0 000000 21 0 000000 0 000000 22 0 000000 0 000000 23 0 000000 0 000000 24 0 000000 0 000000 25 0 000000 0 000000 附录 2 问题二求解程序及运行结果 model sets gc 1 2 3 4 m n d f l g q r s t a b endsets data i 工厂生产钢梁的生产能力 d 1000 800 500 450 i 工厂生产钢架的生产能力 f 1000 700 800 1200 i 工厂生产钢梁的单位成本 l 8600 8700 8750 8750 13 i 工厂生产钢架单位成本 g 6000 6500 6400 5950 i 工厂生产 1 件钢梁所需 A 型钢材的量 q 4000 4050 4050 4000 i 工厂生产 1 件钢架所需 A 型钢材的量 r 2000 2050 2060 1990 i 工厂生产 1 件钢梁所需 B 型钢材的量 s 1000 1050 1030 990 i 工厂生产 1 件钢架所需 A 型钢材的量 t 600 510 510 515 i 工厂 A 型钢材的拥有 a 6000000 4000000 4000000 6000000 i 工厂 B 型钢材的拥有 b 1500000 1000000 1000000 1500000 enddata 目标函数 min 2500 12000 3500 10000 sum gc i m i l i n i g i 约束条件 for gc i sum gc m 2500 for gc i sum gc n 3500 for gc i m i q i n i r i a i for gc i m i s i n i t i b i for gc i bnd 0 m i d i for gc i bnd 0 n i f i for gc i gin m i for gc i gin n i End Global optimal solution found Objective value 0 2178545E 08 Objective bound 0 2178545E 08 Infeasibilities 0 000000 Extended solver steps 0 Total solver iterations 5 Variable Value Reduced Cost M 1 900 0000 8600 000 M 2 709 0000 8700 000 M 3 441 0000 8750 000 M 4 450 0000 8750 000 N 1 1000 000 6000 000 N 2 500 0000 6500 000 N 3 800 0000 6400 000 N 4 1200 000 5950 000 D 1 1000 000 0 000000 D 2 800 0000 0 000000 D 3 500 0000 0 000000 D 4 450 0000 0 000000 F 1 1000 000 0 000000 F 2 700 0000 0 000000 F 3 800 0000 0 000000 F 4 1200 000 0 000000 L 1 8600 000 0 000000 L 2 8700 000 0 000000 L 3 8750 000 0 000000 L 4 8750 000 0 000000 14 G 1 6000 000 0 000000 G 2 6500 000 0 000000 G 3 6400 000 0 000000 G 4 5950 000 0 000000 Q 1 4000 000 0 000000 Q 2 4050 000 0 000000 Q 3 4050 000 0 000000 Q 4 4000 000 0 000000 R 1 2000 000 0 000000 R 2 2050 000 0 000000 R 3 2060 000 0 000000 R 4 1990 000 0 000000 S 1 1000 000 0 000000 S 2 1050 000 0 000000 S 3 1030 000 0 000000 S 4 990 0000 0 000000 T 1 600 0000 0 000000 T 2 510 0000 0 000000 T 3 510 0000 0 000000 T 4 515 0000 0 000000 A 1 6000000 0 000000 A 2 4000000 0 000000 A 3 4000000 0 000000 A 4 6000000 0 000000 B 1 1500000 0 000000 B 2 1000000 0 000000 B 3 1000000 0 000000 B 4 1500000 0 000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 0 2178545E 08 1 000000 2 0 000000 0 000000 3 0 000000 0 000000 4 0 000000 0 000000 5 0 000000 0 000000 6 0 000000 0 000000 7 0 000000 0 000000 8 0 000000 0 000000 9 0 000000 0 000000 10 400000 0 0 000000 11 103550 0 0 000000 12 565950 0 0 000000 13 1812000 0 000000 14 0 000000 0 000000 15 550 0000 0 000000 16 137770 0 0 000000 17 436500 0 0 000000 附录 3 问题三求解程序及运行结果 model sets gc 1 2 3 4 m n qy 1 2 3 4 5 c e links gc qy x y z endsets data i 工厂生产钢梁的数量 15 m 900 709 441 450 i 工厂生产钢架的数量 n 1000 500 800 1200 i 企业钢梁的订货量 e 500 500 500 400 400 i 企业钢架的订货量 c 800 900 950 400 400 i 工厂到 j 企业间的距离 x 15 12 19 25 9 12 18 15 18 17 17 10 14 11 15 16 9 18 13 20 enddata 目标函数 min sum links i j 8 y i j 3 z i j x i j 约束条件 for gc i sum qy j y i j m i for gc i sum qy j z i j n i for qy j sum gc i y i j e j for qy j sum gc i z i j c j for links i j gin y i j for links i j gin z i j end Global optimal solution found Objective value 339372 0 Objective bound 339372 0 Infeasibilities 0 000000 Extended solver steps 0 Total solver iterations 19 Variable Value Reduced Cost M 1 900 0000 0 000000 M 2 709 0000 0 000000 M 3 441 0000 0 000000 M 4 450 0000 0 000000 N 1 1000 000 0 000000 N 2 500 0000 0 000000 N 3 800 0000 0 000000 N 4 1200 000 0 000000 C 1 800 0000 0 000000 C 2 900 0000 0 000000 C 3 950 0000 0 000000 C 4 400 0000 0 000000 C 5 400 0000 0 000000 E 1 500 0000 0 000000 E 2 500 0000 0 000000 E 3 500 0000 0 000000 E 4 400 0000 0 000000 E 5 400 0000 0 000000 X 1 1 15 00000 0 000000 X 1 2 12 00000 0 000000 X 1 3 19 00000 0 000000 X 1 4 25 00000 0 000000 X 1 5 9 000000 0 000000 X 2 1 12 00000 0 000000 X 2 2 18 00000 0 000000 16 X 2 3 15 00000 0 000000 X 2 4 18 00000 0 000000 X 2 5 17 00000 0 000000 X 3 1 17 00000 0 000000 X 3 2 10 00000 0 000000 X 3 3 14 00000 0 000000 X 3 4 11 00000 0 000000 X 3 5 15 00000 0 000000 X 4 1 16 00000 0 000000 X 4 2 9 000000 0 000000 X 4 3