高中数学 第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.1 利用导数研究函数的单调性课堂讲义配套课件 湘教版选修22.ppt_第1页
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4 3导数在研究函数中的应用4 3 1利用导数研究函数的单调性 学习目标 1 理解导数与函数单调性之间的关系 2 会利用导数研究函数的单调性 3 会求不超过三次的多项式函数的单调区间 知识链接 以前 我们用定义来判断函数的单调性 在假设x1 x2的前提下 比较f x1 与f x2 的大小 在函数y f x 比较复杂的情况下 比较f x1 与f x2 的大小并不很容易 如何利用导数来判断函数的单调性 答根据导数的几何意义 可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系 如果切线的斜率大于零 则其倾斜角是锐角 函数曲线呈上升的状态 即函数单调递增 如果切线的斜率小于零 则其倾斜角是钝角 函数曲线呈下降的状态 即函数单调递减 预习导引 1 设函数y f x 在某个区间上的导数为f x 如果 那么函数y f x 递增 如果 那么函数y f x 递减 2 从导数定义看 函数的导数就是函数值关于自变量的 变化率的绝对值越大说明变得越 绝对值越小说明变得越 从函数的图象看 导数是切线的 斜率的绝对值大说明切线 曲线也就陡 斜率的绝对值小说明切线较 曲线也就平缓一些 f x 0 f x 0 变化 率 快 慢 斜率 陡 平 规律方法关于利用导数证明函数单调性的问题 1 首先考虑函数的定义域 所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行 2 f x 或 0 则f x 为单调递增 或递减 函数 但要特别注意 f x 为单调递增 或递减 函数 则f x 或 0 要点二利用导数求函数的单调区间例2求下列函数的单调区间 1 f x 2x3 3x2 36x 1 2 f x sinx x 0 x 3 f x 3x2 2lnx 4 f x x3 3tx 规律方法求函数的单调区间的具体步骤是 1 优先确定f x 的定义域 2 计算导数f x 3 解f x 0和f x 0 4 定义域内满足f x 0的区间为增区间 定义域内满足f x 0的区间为减区间 跟踪演练2求下列函数的单调区间 1 f x x2 lnx 2 f x x3 x2 x 规律方法已知函数的单调性 求函数解析式中参数的取值范围 可转化为不等式恒成立问题 一般地 函数f x 在区间i上单调递增 或减 转化为不等式f x 0 f x 0 在区间i上恒成立 再用有关方法可求出参数的取值范围 跟踪演练3设f x ax3 x恰好有三个单调区间 求实数a的取值范围 解 f x 3ax2 1 且f x 有三个单调
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