湖南省常宁市高考数学压轴试卷 理（含解析）.doc

2017年湖南省衡阳市常宁市高考数学压轴试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1设复数z满足=1i，则复数z在复平面内的对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限2已知集合a=y|y=2cos2x1，b=x|y=，则ab=（）ax|1x0bx|0x1cx|1x2dx|1x23我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的s的值为（）a4b5c14d234下列选项中，错误的是（）a若p为真，则（p）也为真b若“pq为真”，则“pq为真”为真命题cxr，使得tanx=2017d“2x”是“logx0”的充分不必要条件5在如图所示的矩形中随机投掷30000个点，则落在曲线c下方（曲线c为正态分布n（1，1）的正态曲线）的点的个数的估计值为（）a4985b8185c9970d245556如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）abcd7设x0是方程（）x=的解，则x0所在的范围是（）a（0，）b（，）c（，）d（，1）8函数f（x）=|x|（ar）的图象不可能是（）abcd9已知奇函数y=f（x），xr，a= f（x）+x2dx，则二项式（）9的展开式的常数项为（）abc1d10如图，圆锥的高po=，底面o的直径ab=2，c是圆上一点，且cab=30，d为ac的中点，则点b到平面pac的距离（）abcd111已知a是双曲线=1（a0，b0）的左顶点，f1，f2分别为左、右焦点，p为双曲线上一点，g是f1pf2的重心，若=，|=，|+|=8，则双曲线的标准方程为（）ax2=1by2=1c =1dx2=112已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在y=kx1的图象上，则实数k的取值范围是（）abcd二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量=（1，2），=（x，1），若（），则，的夹角为 14若实数x，y满足约束条件，若a恒成立，则a的取值范围为 15已知抛物线y2=4x的焦点f，过焦点的直线与抛物线交于a，b两点，则4|fa|+|fb|的最小值为 16已知锐角abc的外接圆o的半径为1，b=，则的取值范围为 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17设数列an是公差大于0的等差数列，sn为数列an的前n项和，已知s3=9，且2a1，a31，a4+1构成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足=2n1（nn*），设tn是数列bn的前n项和，证明：tn618某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：（1）记事件a为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g的小龙虾”，求p（a）的估计值；（2）若购进这批小龙虾100千克，试估计这批小龙虾的数量；（3）为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这40只小龙虾分成三个等级，如下表：等级一等品二等品三等品重量（g）5，25）25，45）45，55按分层抽样抽取10只，再随机抽取3只品尝，记x为抽到二等品的数量，求抽到二级品的期望19如图，ab=be=bc=2ad=2，且abbe，dab=60，adbc，bead，（）求证：面ade面 bde；（）求直线ad与平面dce所成角的正弦值20已知椭圆e： +=1（ab0）上点p，其左、右焦点分别为f1，f2，pf1f2的面积的最大值为，且满足=3（1）求椭圆e的方程；（2）若a，b，c，d是椭圆上互不重合的四个点，ac与bd相交于f1，且=0，求的取值范围21设函数f（x）=ex+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，f（x）=f（x）g（x）（1）若x=0是f（x）的极值点，且直线x=t（t0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于p，q，求p，q两点间的最短距离；（2）若x0时，函数y=f（x）的图象恒在y=f（x）的图象上方，求实数a的取值范围选修4-4：参数方程与极坐标系22已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆c的极坐标方程为24sin+2=0（）把圆c的极坐标方程化为直角坐标方程；（）将直线l向右平移h个单位，所得直线l与圆c相切，求h选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|x+a|+|x+|（a0）（1）当a=2时，求不等式f（x）3的解集；（2）证明：f（m）+f（）42017年湖南省衡阳市常宁市高考数学压轴试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1设复数z满足=1i，则复数z在复平面内的对应的点在（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】a5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数z满足=1i，z=+i，则复数z在复平面内的对应的点在第二象限故选：b2已知集合a=y|y=2cos2x1，b=x|y=，则ab=（）ax|1x0bx|0x1cx|1x2dx|1x2【考点】1d：并集及其运算【分析】求值域得出集合a，求定义域得集合b，根据并集的定义写出ab【解答】解：集合a=y|y=2cos2x1=y|y=cos2x=y|1y1，b=x|y=x|2xx20=x|0x2，则ab=x|1x2故选：d3我国南宋时期的数学家秦九韶是普州（现四川省安岳县）人，秦九韶在其所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一例，则输出的s的值为（）a4b5c14d23【考点】ef：程序框图【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：模拟程序的运行，可得s=1，i=1满足条件i4，执行循环体，s=1，i=2满足条件i4，执行循环体，s=4，i=3满足条件i4，执行循环体，s=5，i=4满足条件i4，执行循环体，s=14，i=5不满足条件i4，退出循环，输出s的值为14故选：c4下列选项中，错误的是（）a若p为真，则（p）也为真b若“pq为真”，则“pq为真”为真命题cxr，使得tanx=2017d“2x”是“logx0”的充分不必要条件【考点】2k：命题的真假判断与应用【分析】a，若p为真，则（p）也为真，； b，若“pq为真”，可得p、q都为真命题，则“pq为真”为真命题； c，由函数y=tanx的值域为r，可判定xr，使得tanx=2017； d，由“2x”得x1，“logx“可能没意义，【解答】解：对于a，若p为真，则（p）也为真，正确；对于b，若“pq为真”，可得p、q都为真命题，则“pq为真”为真命题，故正确；对于c，由函数y=tanx的值域为r，可判定xr，使得tanx=2017，故正确；对于d，由“2x”得x1，“logx“可能没意义，故错故选：d5在如图所示的矩形中随机投掷30000个点，则落在曲线c下方（曲线c为正态分布n（1，1）的正态曲线）的点的个数的估计值为（）a4985b8185c9970d24555【考点】cp：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】计算曲线下方的面积，得出落在曲线c下方的概率，从而得出落在曲线c下方的点的个数【解答】解：设随机变量为x，则xn（1，1），p（0x2）=0.6826，p（2x3）=（0.95440.6826）=0.1359，曲线c下方的概率为p（0x3）=0.6826+0.1359=0.8185，落在曲线c下方的点的个数的估计值为=8185故选b6如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）abcd【考点】l7：简单空间图形的三视图【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥pabcd，作出图形，可得结论【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥pabcd，如图所示，该几何体的俯视图为d故选：d7设x0是方程（）x=的解，则x0所在的范围是（）a（0，）b（，）c（，）d（，1）【考点】52：函数零点的判定定理【分析】构建函数f（x）=（）x，利用零点存在定理，即可求得结论【解答】解：构建函数f（x）=（）x，则f（）=0，f（）=0函数的零点所在的区间是（，）解x0所在的区间是（，）故选：b8函数f（x）=|x|（ar）的图象不可能是（）abcd【考点】3o：函数的图象【分析】讨论a的范围，利用导数判断f（x）的单调性得出答案【解答】解：f（x）=，f（x）=（1）当a=0时，f（x）=，图象为a；（2）当a0时，1+0，f（x）在（0，+）上单调递增，令1+=0得x=，当x时，1+0，当x0时，1+0，f（x）在（，）上单调递减，在（，0）上单调递增，图象为d；（3）当a0时，1+0，f（x）在（，0）上单调递减，令1+=0得x=，当x时，1+0，当0x时，1+0，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，图象为b；故选c9已知奇函数y=f（x），xr，a= f（x）+x2dx，则二项式（）9的展开式的常数项为（）abc1d【考点】db：二项式系数的性质【分析】利用定积分的定义求出a的值，再利用展开式的通项公式求出常数项【解答】解：奇函数y=f（x），xr，a= f（x）+x2dx=f（x）dx+x2dx=0+x3=2；（）9展开式的通项公式为tr+1=（2）rx93r，令93r=0，解得r=3；展开式的常数项为t4=（2）3=故选：a10如图，圆锥的高po=，底面o的直径ab=2，c是圆上一点，且cab=30，d为ac的中点，则点b到平面pac的距离（）abcd1【考点】mk：点、线、面间的距离计算【分析】由已知易得acod，acpo，可证面pod平面pac，由平面垂直的性质考虑在平面pod中过o作ohpd于h，则oh平面pac，在rtohc中，求得oh，点b到平面pac的距离等于2oh，即可求解【解答】解：因为oa=oc，d是ac的中点，所以acod，又po底面o，ac底面o，所以acpo，而od，po是平面内的两条相交直线所以ac平面pod，又ac平面pac所以平面pod平面pac在平面pod中，过o作ohpd于h，则oh平面pac在rtoda中，od=dasin30=在rtpod中，oh=，点b到平面pac的距离等于2oh=故选；b11已知a是双曲线=1（a0，b0）的左顶点，f1，f2分别为左、右焦点，p为双曲线上一点，g是f1pf2的重心，若=，|=，|+|=8，则双曲线的标准方程为（）ax2=1by2=1c =1dx2=1【考点】kc：双曲线的简单性质【分析】由题意，pg=2go，gapf1，可得2oa=af1，求得c=3a，再由条件和双曲线的定义，可得a，b，即可求出双曲线的方程【解答】解：由题意，g是f1pf2的重心，若=，可得pg=2go，gapf1，2oa=af1，2a=ca，c=3a，b=2a，|=，|+|=8，可得|=3=5，|=85=3，可得2a=|pf1pf2|=|53|=2，解得a=1，b=2，则双曲线的方程为x2=1故选：a12已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在y=kx1的图象上，则实数k的取值范围是（）abcd【考点】5b：分段函数的应用【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y=kx1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可【解答】解：函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在y=kx1的图象上，而函数y=kx1关于直线y=1的对称图象为y=kx1，f（x）=的图象与y=kx1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）=的图象与y=kx1的图象如下，易知直线y=kx1恒过点a（0，1），设直线ac与y=xlnx2x相切于点c（x，xlnx2x），y=lnx1，故lnx1=，解得，x=1；故kac=1；设直线ab与y=x2+x相切于点b（x，x2+x），y=2x+，故2x+=，解得，x=1；故kab=2+=；故1k，故k1；故选：a二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量=（1，2），=（x，1），若（），则，的夹角为【考点】9k：平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线定理可得x，再利用向量夹角公式即可得出【解答】解： =（1x，3）（），2（1x）3=0，解得x=cos=1，的夹角为故答案为：14若实数x，y满足约束条件，若a恒成立，则a的取值范围为（，【考点】7c：简单线性规划【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求出表达式的最小值，推出a的范围即可【解答】解：实数x，y满足约束条件，即：的可行域如图：的几何意义是可行域内的点与d（1，0）连线的斜率，由可行域可知da的连线的斜率最小，由，解得a（，1），kda=则a的取值范围为：（，15已知抛物线y2=4x的焦点f，过焦点的直线与抛物线交于a，b两点，则4|fa|+|fb|的最小值为9【考点】k8：抛物线的简单性质【分析】联立方程组消元，由根与系数的关系得出a，b横坐标互为倒数，利用抛物线的性质得出4|fa|+|fb|=4x1+4+1，根据基本不等式得出最值【解答】解：抛物线的焦点为f（1，0），（1）若直线与x轴垂直，则直线方程为x=1，代入抛物线方程得y=2，|fa|=|fb|=2，4|fa|+|fb|=10（2）若直线与x轴不垂直，显然直线有斜率，设直线方程为y=k（x1），联立方程组，消元得k2x2（2k2+4）x+k2=0，设a（x1，y1），b（x2，y2），则x1x2=1，即x2=，a，b在抛物线上，|fa|=x1+1，|fb|=x2+1=，4|fa|+|fb|=4x1+4+1=4x1+52+5=9当且仅当4x1=即x1=时取等号综上，4|fa|+|fb|的最小值为9故答案为：916已知锐角abc的外接圆o的半径为1，b=，则的取值范围为（3，）【考点】9r：平面向量数量积的运算【分析】由正弦定理把abc的边a，c用含有a的代数式表示，再由三角形为锐角三角形求出角a的范围，把转化为关于a的三角函数求最值【解答】解：如图，设，abc的外接圆o的半径为1，b=，则a=2sina，c=2sincc=，由，得=cacos=4sinasin（）=，则（3，）故答案为：（3，）三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17设数列an是公差大于0的等差数列，sn为数列an的前n项和，已知s3=9，且2a1，a31，a4+1构成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足=2n1（nn*），设tn是数列bn的前n项和，证明：tn6【考点】8e：数列的求和；8h：数列递推式【分析】（1）利用等差数列前n项和、通项公式和等比数列，列出方程组，求出首项与公差，由此能求出数列an的通项公式（2）推导出bn=（2n1）21n=（4n2）利用错位相减法求出数列bn的前n项和，由此能证明tn6【解答】解：（1）公差不为零的等差数列an的前3项和s3=9，得到a2=3，且2a1，a31，a4+1构成等比数列，得到未知数a2与d的方程组：，由d0，解得a1=1，d=2，an=2n1证明：（2）数列bn满足=2n1（nn*），bn=（2n1）21n=（4n2）设tn是数列bn的前n项和，则tn=2+6+10+14+（4n2），=2+6+（4n2），得： tn=1+1+=1+（4n2）=3，tn=66tn618某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如图：（1）记事件a为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g的小龙虾”，求p（a）的估计值；（2）若购进这批小龙虾100千克，试估计这批小龙虾的数量；（3）为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这40只小龙虾分成三个等级，如下表：等级一等品二等品三等品重量（g）5，25）25，45）45，55按分层抽样抽取10只，再随机抽取3只品尝，记x为抽到二等品的数量，求抽到二级品的期望【考点】ch：离散型随机变量的期望与方差；cg：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由于40只小龙虾中重量不超过35g的小龙虾有6+10+12（只），利用古典概率计算公式即可得出（2）求出其平均数，可得从统计图中可以估计每只小龙虾的重量（3）由题意知抽取一等品、二等品、三等品分别为4只、5只、1只，x=0，1，2，3利用超几何分布列的概率的计算公式即可得出【解答】解：（1）由于40只小龙虾中重量不超过35g的小龙虾有6+10+12=28（只）所以（2）从统计图中可以估计每只小龙虾的重量=（克）所以购进100千克，小龙虾的数量约有10000028.53509（只）（3）由题意知抽取一等品、二等品、三等品分别为4只、5只、1只，x=0，1，2，3则可得，所以19如图，ab=be=bc=2ad=2，且abbe，dab=60，adbc，bead，（）求证：面ade面 bde；（）求直线ad与平面dce所成角的正弦值【考点】mi：直线与平面所成的角；ly：平面与平面垂直的判定【分析】（）ab=2ad，dab=60，可得addb，再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明（）由已知可得be面abcd，点e到面abcd的距离就是线段be的长为2，设ad与平面dce所成角为，点a到面dce的距离为d，利用vadce=veadc，即可得出【解答】解：（）ab=2ad，dab=60，addb，又bead，且bdbe=b，ad面bde，又ad面ade，面ade面 bde；（）bead，abbe，be面abcd，点e到面abcd的距离就是线段be的长为2，设ad与平面dce所成角为，点a到面dce的距离为d，由vadce=veadc得：，可解得，而ad=1，则，故直线ad与平面dce所成角的正弦值为20已知椭圆e： +=1（ab0）上点p，其左、右焦点分别为f1，f2，pf1f2的面积的最大值为，且满足=3（1）求椭圆e的方程；（2）若a，b，c，d是椭圆上互不重合的四个点，ac与bd相交于f1，且=0，求的取值范围【考点】k4：椭圆的简单性质【分析】（1）由已知可得关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求（2）设直线ac的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式即可求得|ac|的值，将代入上式可得|bd|，由k20，即可求得的取值范围【解答】解：（1）如图，设|pf1|=m，|pf2|=n，由=2，得，即，由pf1f2的面积的最大值为，得bc=联立，解得a=2，b=椭圆e的方程为；（2）当直线ac斜率不存在时， =，当直线ac斜率为0时， =，当直线ac斜率存在且不为0时，设直线ac：y=k（x+1），a（x1，y1）c（x2，y2），bd：，联立，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，则|ac|=将代入上式可得|bd|=，则=，由k20，则，综上，的取值范围为，21设函数f（x）=ex+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，f（x）=f（x）g（x）（1）若x=0是f（x）的极值点，且直线x=t（t0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于p，q，求p，q两点间的最短距离；（2）若x0时，函数y=f（x）的图象恒在y=f（x）的图象上方，求实数a的取值范围【考点】6e：利用导数求闭区间上函数的最值；6b：利用导数研究函数的单调性；6h：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）根据题意可知f（t）=g（t），令h（x）=ex+sinxx（x0），求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为p、q两点间的最短距离（2）令（x）=f（x）f（x）=exex+2sinx2ax，函数y=f（x）的图象恒在y=f（x）的图象上方，等价于（x）0恒成立，求出其导函数，可求出（x）的单调性，进而可求得a的取值范围【解答】解：（1）因为f（x）=ex+sinxax，所以f（x）=ex+cosxa，因为x=0是f（x）的极值点，所以f（0）=1+1a=0，a=2又当a=2时，若x0，f（x）=ex+cosxa1+12=0，所以f（x）在（0，+）上为增函数，所以f（x）f（0）=1+12=0，所以x=0是f（x）的极小值点，所以a=2符合题意，所以|pq|=et+sint2t令h（x）=ex+sinx2x，即h（x）=ex+cosx2，因为h（x）=exsinx，当x0时，ex1，1sinx1，所以h（x）=exsinx0，所以h（x）=ex+cosx2在（0，+）上递增，所以h（x）=ex+cosx2h（0）=0，x0，+）时，h（x）的最小值为h（0）=1，所以|pq|min=1（2）令（x）=f（x）f（x）=exex+2sinx2ax，则（x）=exex+2cosx2a，s（x）=（x）=exex2sinx，因为s（x）=ex+ex2cosx0当x0时恒成立，所以函数s（x）在0，+）上单调递增，s（x）s（0）=0当