反证法、同一法.doc

初二数学课外兴趣小组活动(十三)反证法一、内容提要：1、反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。2、一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：若A则B=若非B则非A。例如原 命 题： 对顶角相等 (真命题)逆否命题： 不相等的角不可能是对顶角 (真命题)又如原 命 题： 同位角相等，两直线平行 (真命题) 逆否命题： 两直线不平行，它们的同位角必不相等(真命题)3、 用反证法证明命题，一般有三个步骤： 反设假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立） 归谬推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾） 结论从而得出命题结论正确例如：要证两直线平行。用反证法证明时 假设这两直线不平行； 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； 从而肯定，非平行不可。二、例题学习：例1、两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两直线平行已知：如图12 A 1 B求证：ABCD证明：设AB与CD不平行 C 2 D那么它们必相交，设交点为M D这时，1是GHM的外角 A 1MB12 G这与已知条件相矛盾 2AB与CD不平行的假设不能成立HABCD C例2、求证两条直线相交只有一个交点证明：假设两条直线相交有两个交点，那么这两条直线都经过相同的两个点，这与“经过两点有且只有一条直线”的直线公理相矛盾，所以假设不能成立，因此两条直线相交只有一个交点。（从以上两例看出，证明中的三个步骤，最关键的是第二步推出矛盾。但有的题目，第一步“反设”也要认真对待）。例3、已知：m2是3的倍数，求证：m 也是3的倍数证明：设m 不是3的倍数，那么有两种情况：m=3k+1或m= 3k+2 (k是整数)当m=3k+1时，m2（3k+1）29k2+6k+1=3(3k2+2k)+1当m=3k+2时，m2（3k+2）29k212k+4=3(3k2+4k+1)+1即不论哪一种，都推出m2不是3的倍数，这和已知条件相矛盾，所以假设不能成立。m2是3的倍数时，m 也是3的倍数三、专题训练：1、写出下列各命题结论的反面：命题的结论结论的反面直线a b线段m=na2是偶数A是锐角点A在O上A，B，C至少有1个大于或等于60正整数m是5的倍数方程没有有理数根至少有一个方程两根不相等2、已知：平面内三个点A，B，C满足ABBCAC，求证：A，B，C三点在同一直线上3、求证：等腰三角形的底角是锐角4、求证：三角形至少有一个内角大于或等于60度5、如果a2奇数，那么a也是奇数 （仿例3）6、已知：a,b,c都是正整数，且a2+b2=c2( 即a,b,c 是勾股数)求证：a,b,c至少有一个偶数7、求证：二元一次方程8x+15y=50没有正整数解同一法一、内容提要：1、“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。2、同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。互逆两个命题一般是不等价的。例如：原命题： 福建是中国的一个省（真命题）逆命题 ：中国的一个省是福建（假命题）但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如：原命题 ：中国的首都是北京 （真命题）逆命题： 北京是中国的首都 （真命题）又如：原命题： 等腰三角形顶角平分线是底边上的高。 （真命题）逆命题： 等腰三角形底边上的高是顶角平分线。 （真命题）3、釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是： 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）二、例题学习：例1、求证：三角形的三条中线相交于一点。已知：ABC中，AD，BE，CF都是中线求证：AD，BE，CF相交于同一点分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，证明CF，就是第三条中线（即证明AF，F，B）证明：AD和BE相交，设交点为G连结并延长CG交AB于F，连结DE交CF，于MDEAB， 即， 即， AF，BF，CF，是AB边上的中线，AD，BE，CF相交于一点G。例2.已知：ABC中，D在BC上，AB2AC2BD2DC2求证：AD是ABC的高分析：从题设AB2AC2BD2DC2证明结论不易，因为BC边上的高是唯一的，所以拟用同一法，先作出AEBC，证明在题设的条件下AE就是AD。证明：作AEBC交BC于E A根据勾股定理：AB2AC2（AE2BE2）（AE2EC2）BE2EC2 AB2AC2BD2DC2 B E D CBD2DC2BE2EC2（BDDC）（BDDC）（BEEC）（BEEC）BDDCBEEC BDDCBEEC：2BD2BE即点D和点E重合，即AD是ABC