第四章 单层复合材料的强度.doc

第四章单层复合材料的强度4.1 复合材料的强度特征材料强度是材料承载时抵抗破坏的能力。破坏是与结构的技术要求相关的，多数情况下，宏观强度理论将(塑性)材料的屈服和(脆性材料的)断裂视为破坏或失效。对于各向同性材料，强度在各个方向上均相同，没有方向性。常用的强度理论有：1. 最大应力理论材料破坏是由于最大应力(拉伸应力、压缩应力或剪切应力)达到极限值(屈服极限或强度极限)，式中、和分别为材料单向拉伸、单向压缩和纯剪切时的极限应力。2. 最大应变理论材料破坏是由于最大应变(拉伸应变、压缩应变或剪切应变)达到极限值，式中、和分别为材料单向拉伸、单向压缩和纯剪切时的极限应变。3. 最大歪形能理论材料破坏是由于歪形能达到一定极限值，式中，为单向拉伸时的极限应力，因而得对于复合材料，其强度的特点是具有方向性。对于正交各向异性材料，存在三个材料主方向，不同主方向的强度是不同的。例如，纤维增强复合材料单向板，沿纤维方向强度通常为沿着垂直纤维方向强度的几十倍。与各向同性材料不同，正交各向异性单向板有如下强度特征：1对于各向同性材料，主应力与主应变是与材料主方向无关的应力应变极值，对各向异性材料，由于强度的方向性，最大作用应力不一定对应材料的危险状态，而材料主方向的应力比最大作用应力更重要。2对正交各向异性单向板，沿材料的主方向的强度极限值称为基本强度，它们是：沿纤维方向(材料主方向1)的强度；垂直于纤维方向(材料主方向2)的强度；(12平面内)剪切强度。对正交各向异性材料，在材料主方向上抗拉与抗压强度不同。12XYS若拉伸与压缩强度不同(大多数复合材料如此)，则有5个基本强度：沿纤维方向的抗拉强度；沿纤维方向抗压的强度；垂直纤维方向的抗拉强度；垂直纤维方向的抗压强度；(12平面内)剪切强度。这些基本强度可以由材料单向受力试验测得。3在材料主方向上的剪切强度不随切应力的正负而改变，但在非材料主方向上，抗剪切强度要依赖于切应力的方向。12121212对于各向异性单向板，仅有反映材料主方向强度高低的基本强度，还不足以判断单向板在实际工作应力下是否失效，因为单向板工作时通常处于复杂应力状态，为应力分量的某种组合。而各种应力组合有无穷种，无法用试验测出所有可能组合。因而，需要寻找合理的判断准则，以便根据材料的基本强度，来判断在各种实际应力状态下材料是否失效。本章将介绍几种常用的复合材料强度准则。4.2 最大应力强度准则最大应力强度准则认为，各材料主方向上应力必须小于相应的基本强度值，否则材料便破坏。即(4- 1)式中、为沿材料主方向的应力分量。上面三组式子构成三个分准则，只要有一个不满足，便认为材料失效。12在实际问题中，材料主方向的应力分量往往未知，需要把材料中的应力分量转换为材料主方向的应力。例如，考虑一单向板在方向(与材料主方向成角)单向拉伸(压缩)，如图，此时应力分量，。由坐标转换公式得材料主方向应力带入最大应力强度准则，有 能同时满足这三个不等式的最大应力即为方向的强度。图中给出了玻璃/环氧树脂复合材料单向板单轴拉伸(压缩)强度随偏轴角的变化关系。把理论曲线与试验结果进行了比较，不很一致，且理论曲线存在尖点。4.3 最大应变强度准则最大应力强度准则认为，各材料主方向上应变必须小于相应的基本强度所对应的应变值，否则材料便破坏。即(4- 2)式中 ()、 ()分别为沿材料主方向1和2方向的最大拉伸(压缩)线应变，为12平面内最大剪应变。把应力应变关系带入应变准则，有(4- 3)可见，最大应变强度准则比最大应力强度准则多了泊松比和。12对在非材料主方向受偏轴载荷作用的单向板，由最大应变准则有由最大应变强度准则，给出玻璃/环氧树脂复合材料单向板强度随偏轴角的变化关系，并与试验结果进行了比较，符合的不很好。4.4 TsaiHill (蔡希尔)强度准则由于最大应力与最大应变强度准则，理论曲线与试验数据有一定差距，需要寻求更完善的强度准则。1三向应力状态TsaiHill根据各向同性的Mises屈服准则(歪形能理论)推广到正交各向异性材料中，提出一个屈服准则(4- 4)式中F、G、H、L、M、N为各向异性强度系数。它们由正交各向异性材料的6个基本强度所决定。基本强度为材料主方向的轴向强度X、Y、Z和抗剪强度、。现考察在简单应力状态下正交各向异性材料的屈服准则：由三式，解出各向异性强度系数：(4- 5)2单向板的TsaiHill强度准则单向板处于平面应力状态，1方向沿着纤维，3方向与平面垂直，。强度准则化为(4- 6)由于2、3均为垂直于纤维的横向方向，由于对称，材料沿2方向与沿3方向的强度相同，即Y=Z。由(4-5)可得带入(4-6)中，记，得到正交各向异性单向板的Tsai-Hill强度准则：(4- 7)Tsai-Hill强度准则只有一个表达式，若表达式左端大于或等于1时，材料将失效。对于单向板受偏轴载荷的情况，把应力转轴公式带入(4-7)得到强度准则由此强度准则，给出玻璃/环氧树脂复合材料单向板强度随偏轴角的变化关系，该曲线连续光滑，与试验结果吻合较好。3Hoffman强度准则Tsai-Hill理论原则上只适用于材料主方向上拉压强度相同的单向板，对于拉压性能不同的复合材料，Hoffman对Tsai-Hill准则进行了修正，提出了Hoffman强度准则(4- 8)当，时，上式化为Tsai-Hill强度准则。4.5 TsaiWu (蔡吴)张量强度准则在综合了许多强度准则的基础上，Tsai和Wu提出了张量形式的强度理论。假定在应力空间中破坏表面存在下列形式()式中、为材料的强度参数。在工程设计中，通常仅取前两项，即(4- 9)对于平面应力状态的单向板，。写成矩阵形式为(4- 10)因在材料主方向坐标系中，切应力方向的改变不会影响材料的强度，式中切应力一次项对应的强度系数必为零，即带入(4-10)并展开，得(4- 11)式中，前5个强度参数可由沿材料主方向的单轴拉压及纯剪切试验得到由上式可解出(4- 12)把解带入准则(4-11)，有(4- 13)(Hoffman强度准则)余下的系数，反映了1、2主方向拉压强度的相互影响，无法由单轴试验得到，可用双轴拉伸试验确定。令，有解出为(4- 14)可见不仅依赖于基本强度，还与双向拉伸强度有关。下面讨论。由于当应力增大到一定程度时，材料将发生破坏，所以在应力空间中，准则(4-11)应为一个封闭的极限曲面，称为强度包络面。它与平面的交线为它应为闭合曲线。根据二次曲线的性质，应为椭圆，而不可能是抛物线或双曲线。其系数间应有如下关系即(4- 15)这就是的取值范围。为简便起见，常取0.5或0，对大多数复合材料计算结果，两者差异在10%以内。Pipes和Cole试验测量了硼/环氧树脂复合材料单向板，得到了张量强度准则的试验数据，与理论曲线相当吻合。例题：碳纤维增强复合材料单向板，已知材料的弹性常数E1=181GPa，E2=10.3GPa，=0.28，G12=7.17GPa。材料的基本强度Xt=Xc=1500MPa，Yt=40MPa，Yc=246MPa，S=68MPa。若单向板受力状态为500MPa，40MPa，60MPa，15o。试用各种强度准则校核其强度。1解：（1）先求单向板沿材料主方向的应力分量，由应力转轴公式得 MPa（2）按最大应力强度准则40.82MPa Yt=40MPa，故单向板在2方向失效。（3）按最大应变强度准则MPa Xt=1500MPa，MPa Yt=40MPa，63.03MPa1故该单向板失效。 XtXcYcYtOAB4.6 单向板的强度比在应用强度准则方向单向板的强度时，常遇到两类问题：校核强度和计算极限应力。校核强度可用各种强度准则来判断，比较简单。但对于不失效的情况，对于计算安全系数和极限应力问题，就较困难，因为Tsai-Hill及Tsai-Wu强度准则只有一个表达式，无法解出多个极限应力分量。为此，引入单向板的强度比概念。单向板强度Tsai-Hill及Tsai-Wu强度准则的表达式的形式为。在三维应力空间中，极限应力的强度包络面，应为围绕坐标原点的封闭曲面椭球面；在二维应力空间中 (双轴应力下)，强度包络线为围绕坐标原点的封闭曲线椭圆，见图。对于一单向板，实际应力场对应的点的位置，有三种可能：若落在椭圆强度包络线上，强度准则表达式左边等于1，说明材料处于极限状态；若落在椭圆外，强度准则表达式左边大于1，说明材料已失效；若落在椭圆内，如A点，强度准则表达式左边小于1，说明材料没失效，实际应力尚可增加。由A点开始加载而到达强度极限(椭圆)有无穷方式。最简单的方式就是沿着射线OA的方向，在加载中保持各应力分量的比例不变，即比例加载，直到失效点B。在比例加载条件下，极限应力于实际应力之比，称为强度比，用R表示，即()(4- 16)式中，为单向板的实际应力分量，为对于的极限应力分量。当R1，表示材料处于极限状态；R1，说明实际应力小于极限应力，实际应力要达到极限应力，尚需增加倍，R的值为安全程度的一种度量；R1无意义。Tsai-Hill及Tsai-Wu等强度准则的表达式左端等于1，说明材料已处于极限状态，式中的实际应力已为极限应力分量，故式中应改为，即。把带入，得到强度比方程。求解，便可得到实际应力的强度比。由强度比公式，可求出极限应力。对Tsai-Hill强度准则，强度比方程为：对Hoffman强度准则，强度比方程为：对Tsai-Wu强度准则，强度比方程为：这些强度比方程为二次方程，有两个解。其中，正根对于于给定的应力分量；另一个负根对应于与给定应力分量等值但反号的应力分量。解出R，由强度比公式(4-16)，可求出极限应力。例题：碳纤维增强复合材料单向板，材料的基本强度Xt=Xc=1500MPa，Yt=40MPa，Yc=246MPa，S=68MPa。若某点的应力状态为20MPa，10MPa，0。求比例加载下的极限应力分量。解：若采用Tsai-Wu强度准则，强度比方程为：把由基本强度确定的强度参数、等求出(这里设定)。再把实际应力值带入强度比方程，可得解得，对应于该应力状态的强度比；而是对应于20MPa，10MPa，0应力状态的强度比。极限应力为81.4MPa，40.7MPa。第五章层合板的刚度5.1 引言层合板(Laminate)是由多层单向板按某种次序叠放并粘结在一起而制成整体的结构板。每一层单向板(Unidirectional lamina)称为层合板的一个铺层。各个铺层的材料不一定相同，也可能材料相同但材料主方向不同，因而层合板在厚度方向上具有非均匀性。层合板的性能与各铺层的材料性能有关，还与各铺层的材料主方向及铺层的叠放次序有关。因而，可以不改变铺层的材料，通过改变各铺层的材料主方向及叠放顺设计出所需力学性能的层合板。与单向板相比，层合板有如下特征：(1) 由于各个铺层的材料主方向不尽相同，因而层合板一般没有确定的材料主方向。(2) 层合板的结构刚度取决于铺层的性能和铺层的叠放次序，对于确定的铺层和叠放次序，可以推算出层合板的结构刚度。(3) 层合板有耦合效应，即面内拉压、剪切载荷可产生弯曲、扭转变形，反之，在弯、扭载荷下可产生拉压、剪切变形。(4) 一层或数层铺层破坏后，其余各层尚可继续承载，层合板不一定失效。因而，对层合板的强度分析要复杂很多。(5) 在固化过程中，由于各单层板的热胀冷缩不一致，在层合板中要引起温度应力，这是层合板的初应力。(6) 层合板由不同的单层粘结在一起，在变形时要满足变形协调条件，故各层之间存在层间应力。12kN1zh/2h/2中面5.2 层合板的标记层合板标记是表征层合板铺层铺设参数(层数、铺层材料主方向、铺层纤维种类、铺层次序)的符号。如图所示，层合板总厚度为h，有N各铺层。通常将层合板中面(平分板厚的面)设置为xy坐标面，z轴垂直板面。沿z轴正方向将各铺层依次编号为1N，第k层的厚度为tk铺设角(纤维与x轴的夹角)为qk，其上下面坐标为zk和zk-1。如果各铺层的材料和厚度相同，沿z轴正方向依次标出各层的铺设角qk (k=1,2,N)，便可表示整个层合板。如 0/45/90T，表示有三个铺层的层合板，各层厚度相同，铺设角依次为0o、45o、90o，下标“T”表示已列出全部铺层。 0/90S0/90/90/0T，下标“S”表示对称铺设。 0/452/90T0/45/45/90T，0/902T0/90/0/90T，下标数字表示重复铺层。 0/45S0/45/45S，表示正负铺层连续铺设。对于各铺层厚度不同的层合板，还需注明各铺层的厚度，如 0 t/90 2t/45 3tT，表示1到3铺层的厚度依次为t、2t、3t。对于不同纤维的混杂铺层，可用下标区别，如 02C/45GS，C-碳纤维，G-玻璃纤维。对于单向与双向铺层混合铺设，用“( )”表双向铺设，如 0/(0, 90)/(45)S 。依层合板结构的对称性，层合板分为以下几种：(1) 对称层合板：铺层的几何尺寸和材料性能都对称于中面如 30/60/15/15/60/30T=30/60/15S，0 t/90 2t/45 3t/90 2t/0 tT=0 t/90 2t/45 1.5tS 。(2) 反对称层合板：各层的铺设角关于中面反对称，其它几何尺寸及性能对称如 45/30/30/45T，把0o和90o也看作交错角，以下层合板也是反对称的，0/90/0/90/0/90T，45/30/0/30/45T，30/45/90/45/30T 。(3) 非对称层合板：各层的铺设角关于中面没有对称性或反对称性。(4) 夹芯层合板：用层合板作为面板，中间夹有低密度芯子的夹芯结构。当材料质量相同时，夹芯结构可提高抗弯性能及受压稳定性。5.3 层合板的模量研究的层合板为等厚度薄板，即层合板厚度与长、宽相比小很多，沿厚度方向位移与板厚相比小很多。对于薄板，作如下基本假设： (1) 直法线假设：变形前的中面法线，变形后仍保持直线且垂直于变形后的中面。这等于各铺层间完好粘结，沿厚度方向位移连续且无剪切变形，有(5- 1)(2) 层合板的厚度不变，即(5- 2)(3) 正应力与其它应力比很小，可忽略，各铺层处于平面应力状态。在上述假定基础上建立的层合板理论称为经典层合板理论。5.3.1 层合板的应力应变关系考虑N层厚度为h的层合板，xy坐标面为层合板的中面。层合板中任意一点的位移分量为u=u(x,y,z)，v=v(x,y,z)，w=w(x,y,z)。由基本假定得(5- 3)将上面式子对z积分，得(5- 4)式中、w为中面的位移分量，且只是x、y的函数。w又称为挠度函数。由几何方程有(5- 5)写成矩阵形式为(5- 6)式中，(5- 7)分别为中面的应变分量和曲率分量(kxy为扭曲率)。在xy坐标系中，第k层的应力应变关系为其中、为q 的偶函数，、为q 的奇函数。把它带入(5-6)得(5- 8)1234ze 0zK+zeQs =Qe由于各铺层的不同，层合板的应变沿厚度方向是线性分布的，各层应力不连续分布，但在每一层是线性分布的，见图。xzyMxMyMxyNxNyNxyNyxMyx5.3.2 层合板的刚度要使(5-8)所示的应力分量在层合板的侧面上精确地满足应力边界条件，一般是相当困难的。可应用圣维南原理，使层合板在厚度方向的应力分量合成的内力(合力及合力矩)整体的满足边界条件。具有N层铺层的层合板厚度为h，在x、y为常量的横截面上，单位宽度上的合力、合力矩分别为Nx、Nxy、Mx、Mxy和Ny、Nyx、My、Myx 。它们可由各铺层上的应力沿层合板厚度方向积分得到，(5- 9)，沿z方向应力分量在各铺层间连续分布，把每一层的应力应变关系(5-8)带入式(5-9)，得 (5- 10)由于中面应变与曲率与z无关，上式积分，得(5- 11)式中， (5- 12)其中Aij 称为拉压刚度，Bij 为耦合刚度，Dij 为弯曲刚度，为第k层的厚度，为第k层中面的z坐标。由于Bij 的存在，层合板的面内内力Nx、Ny、Nxy、可产生弯曲(kx、ky)与扭转(kxy)变形，而弯矩(Mx、Mxy)和扭矩(Mxy)可引起面内伸缩与剪切变形。5.3.3 层合板的柔度层合板的柔度矩阵可以由刚度矩阵求逆得到。将(5-11)写成矩阵形式为(5- 13)式中，将其展开( a )( b)由(a)得( c)将(c)带入(b)得( d)由(d)得( e)将(e)带入(c)得( f)把(e)、(f)合并，写成分块矩阵的形式5- 14)式中(5- 15)5.4 典型层合板的刚度5.4.1 单层板的刚度由一层单向板或多层单向板按相同的主方向铺设粘合而成的层合板，均视为单层板。1一般各向异性单层板由于单层板中面坐标，板厚为h，带入(5-12)得，(5- 16)对于单层板，Bij=0，故不存在拉弯耦合关系。2正交各向异性单向板坐标轴与材料主方向重合时由(5-16)知，除还有 。即不存在耦合效应(无拉剪耦合，无弯扭耦合，也无拉弯耦合)。5.4.2 对称层合板的刚度对称层合板(Symmetric laminite)各铺层的材料与几何尺寸都对称于中面。1对一般对称层合板两两对称于层合板中面的铺层的模量相同，其中面坐标将等值反号，如，；，带入(5-12)得耦合刚度，Bij=0即对称层合板，不存在拉弯耦合关系。2对正交各向异性铺层的对称层合板坐标轴与材料主方向重合时，各铺层的模量为由(5-16)知，除还有 。即不存在耦合效应(无拉剪耦合，无弯扭耦合，也无拉弯耦合)。5.4.2 反对称层合板的刚度反对称层合板(Skew symmetric laminite)各铺层的材料、厚度、铺设角度两两对称于层合板的中面，但铺设角的符号却相反。其层数为偶数。由铺层的模量随铺设角的a的关系知，、为a的偶函数，、为a的奇函数。于是对于a角铺层对于a角铺层对于两两反对称于层合板中面的铺层的模量、将等值反号，厚度相等，中面坐标将等值反号，如，；，带入(5-12)得反对称层合板的刚度系数有，这样，反对称层合板的合力与合力矩为对于反对称层合板，由于Bij 的存在，层合板的面内内力Nx、Ny、Nxy、可产生弯曲(kx、ky)与扭转(kxy)变形，而弯矩(Mx、Mxy)和扭矩(Mxy)可引起面内伸缩与剪切变形。但由于，面内拉压与剪切不耦合，弯曲与扭转不耦合。 1反对称角铺设层合板由于、为a的偶函数，可知其合力与合力矩为所以，此种反对称层合板有拉伸与扭转的耦合。2反对称正交铺设层合板由于，及，可知，其合力与合力矩为所以，此种反对称层合板有拉伸与弯曲的耦合。第六章层合板的应力与强度6.1 引言由于层合板在厚度方向是非均质的，在载荷作用下，各铺层的应力状态也不同，在加载过程中，破坏首先从达到极限应力的那一层开始。但一层破坏并不意味着整个层合板的最终失效，只是板的刚度有所减少，称为刚度降阶，此时尚可继续增加载荷。继而又一铺层破坏，刚度再次降低，直至所有铺层破坏，层合板最终失效。因而，层合板的失效不是突然发生的，从开始失效到最终失效的是一个累积过程。层合板的强度