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3.1 空间向量及其运算(练习) 学习目标 1. 熟练掌握空间向量的加法,减法,向量的数乘运算,向量的数量积运算及其坐标表示;2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并能熟练用这些公式解决有关问题. 学习过程 一、课前准备:(阅读课本p115)复习:1. 具有 和 的量叫向量, 叫向量的模; 叫零向量,记着 ; 具有 叫单位向量.2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.3.实数与向量a的积是一个 量,记作 ,其长度和方向规定如下: (1)|a| . (2)当0时,a与a. ;当0时,a与a. ;当0时,a .4. 向量加法和数乘向量运算律:交换律:ab 结合律:(ab)c 数乘分配律:(ab) 5. 表示空间向量的 所在的直线互相 或 ,则这些向量叫共线向量,也叫平行向量.空间向量共线定理:对空间任意两个向量(), 的充要条件是存在唯一实数, 使得 ; 推论: l为经过已知点a且平行于已知非零向量的直线,对空间的任意一点o,点p在直线l上的充要条件是 6. 空间向量共面:共面向量: 同一平面的向量. 定理:对空间两个不共线向量,向量与向量共面的充要条件是存在 , 使得 .推论:空间一点p与不在同一直线上的三点a,b,c共面的充要条件是: 存在 ,使 对空间任意一点o,有 7. 向量的数量积: .8. 单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ,长度都为 ,则这个基底叫做单位正交基底,通常用i,j,k表示.9.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系o-xyz和向量a,且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量,则存在有序实数组,使得,则称有序实数组为向量a的坐标,记着 .10. 设a,b,则 .11. 向量的直角坐标运算:设a,b,则ab ; ab ;a ; ab 动手试试1在下列命题中:若a、b共线,则a、b所在的直线平行;若a、b所在的直线是异面直线,则a、b一定不共面;若a、b、c三向量两两共面,则a、b、c三向量一定也共面;已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的个数为( )a0 b. 1 c. 2 d. 32在平行六面体abcda1b1c1d1中,向量、是( )a有相同起点的向量 b等长向量 c共面向量 d不共面向量3已知a(2,1,3),b(1,4,2),c(7,5,),若a、b、c三向量共面,则实数=( )a. b. c. d. 4若a、b均为非零向量,则是a与b共线的( )a.充分不必要条件 b.必要不充分条件c.充分必要条件 d.既不充分又不必要条件5已知abc的三个顶点为a(3,3,2),b(4,3,7),c(0,5,1),则bc边上的中线长为( )a2 b3 c4 d56. 则( )a15 b5 c3 d1 典型例题例1 如图,空间四边形oabc中,点m在oa上,且om=2ma,点为的中点,则 . 变式:如图,平行六面体中,,点分别是的中点,点q在上,且,用基底表示下列向量: ; ; ; .例2 如图,在直三棱柱abca1b1c1中,,点是的中点,求证:. 变式:正三棱柱abca1b1c1的侧棱长为2,底面边长为1,点m是的中点,在直线上求一点n,使得 学习评价 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). a. 很好 b. 较好 c. 一般 d. 较差 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:1直三棱柱abca1b1c1中,若, 则( )a. b. c. d. 2.、( )a b 与不平行也不垂直c. , d以上情况都可能.3. 已知+,|2,|3,|,则向量与之间的夹角为( )a30 b45 c60 d以上都不对4.已知且与互相垂直,则的值是( )a. .1 b. c. d. 5. 若a(m1,n1,3),
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