湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 第一章 导数及其应用模块综合检测B 新人教版选修22.doc

湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 第一章 导数及其应用模块综合检测b 新人教版选修2-2考试时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.()a1i b1ic1i d1i解析：选b.1i.2用反证法证明命题：“若a，bn，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为()aa，b都能被3整除ba，b都不能被3整除ca，b不都能被3整除da不能被3整除解析：选b.因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”3用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，从nk到nk1时，等式左边应添加的式子是()a(k1)22k2b(k1)2k2c(k1)2d.(k1)2(k1)21解析：选b.nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212，nk1时，左边1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212，从nk到nk1，左边应添加的式子为(k1)2k2.4已知函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析：选b.当x1时，y0，得f(x)0；当x2时，y(1x)f(x)0，f(x)在(，2)上是增函数，在(2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，)上是增函数，函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)9. 如图，已知正四棱锥sabcd所有棱长都为1，点e是侧棱sc上一动点，过点e垂直于sc的截面将正四棱锥分成上、下两部分记sex(0x1)，截面下面部分的体积为v(x)，则函数yv(x)的图象大致为()解析：选a.“分段”表示函数yv(x)，根据解析式确定图象当0x时，截面为五边形，如图所示由sc平面qepmn，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h，取mn的中点o，易推出oesa，mpsa，nqsa，则sqspaman2x，四边形oeqn和oepm为全等的直角梯形，则vsamnamanhx2，此时v(x)vsabcdvsamnvseqnmpx2(2x3x2)xx3x2，非一次函数形式，排除选项c，d.当e为sc中点时，截面为三角形edb，且sedb.当x1时，2s截面(1x)2.此时v(x)(1x)3v(1x)2.当x1时，v0，则说明v(x)减小越来越慢，排除选项b.10已知函数f(x)exx，对于曲线yf(x)上横坐标成等差数列的三个点a，b，c，给出以下判断：abc一定是钝角三角形；abc可能是直角三角形；abc可能是等腰三角形；abc不可能是等腰三角形其中，正确的判断是()a bc d解析：选b.f(x)exx，f(x)ex1，显然f(x)0恒成立，f(x)在(，)上单调递增设a，b，c三点的横坐标分别为xd，x，xd(d0)，则a，b，c三点的坐标分别为(xd，exdxd)，(x，exx)，(xd，exdxd)b(d，exdexd)，b(d，exdexd)bbd2(exdexd)(exdexd)d2e2xe2xddexde2xde2xdexdexddexd22d22e2xe2xde2xddexddexd2d2e2x2(eded)d(exdexd)ed0，ed0，eded2，当且仅当eded时取等号，此时d0.又d0，故eded2.e2x2(eded)0.h(x)ex在(，)上单调递增，xd0，d(exdexd)0.又2d20，bb0，即abc为钝角，abc为钝角三角形故正确，排除.|b|，|b|，exdexdexdexd，|b|b|，abc不可能是等腰三角形，故正确，排除.综上，正确二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11用数学归纳法证明：当xn*,12222325n1是31的倍数时，当n1时，原式为_从nk到nk1时需增添的项是_解析：当n1时，1222251112222324；122225(k1)1(122225k1)25k25k125k4.答案：1222232425k25k125k412已知x，y(0，)，当x2y2_时有xy1.解析：要使xy1，只需x2(1y2)1y2(1x2)2y，即2y1x2y2.只需使(y)20，即y，x2y21.答案：113观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，照此规律，第n个等式可为_解析：121，1222(12)，122232123，12223242(1234)，12223242(1)n1n2(1)n1(12n)(1)n1.答案：12223242(1)n1n2(1)n114数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_解析：an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案：1 83015函数f(x)在a，b上有定义，若对任意x1，x2a，b，有ff(x1)f(x2)，则称f(x)在a，b上具有性质p.设f(x)在1,3上具有性质p，现给出如下命题：f(x)在1,3上的图象是连续不断的；f(x2)在1，上具有性质p；若f(x)在x2处取得最大值1，则f(x)1，x1,3；对任意x1，x2，x3，x41,3有ff(x1)f(x2)f(x3)f(x4)其中真命题的序号是_解析：令f(x)可知对x1，x21,3，都有ff(x1)f(x2)，但f(x)在1,3上的图象不连续，故不正确；令f(x)x，则f(x)在1,3上具有性质p，但f(x2)x2在1，上不具有性质p，因为2(xx)f(x)f(x)，故不正确；对于，假设存在x01,3，使得f(x0)1，因为f(x)maxf(2)1，x1,3，所以f(x0)1.又当1x03时，有14x03，由f(x)在1,3上具有性质p，得f(2)ff(x0)f(4x0)，由于f(x0)1，f(4x0)1，故上式矛盾即对x1,3，有f(x)1，故命题正确对x1，x2，x3，x41,3，fff(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，即命题正确答案：三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16设复平面上两个点z1和z2所对应的复数为z11，z22i，以这两个点为顶点作正三角形，求正三角形的第三个顶点z3所对应的复数z3.解：如图，作z2a，z3b分别垂直于x轴易知|z1a|1，|az2|1，|z1z2|.z1z2z3为正三角形，|z1z3|z1z2|，z3z1b75.故有|bz3|z1z3|sin 75，|bz1|z1z3|cos 75，|ob|oz1|bz1|，z3(3)(1)i.同样可得z3(3)(1)i.17设f(x)3ax22bxc，若abc0，f(0)f(1)0，求证：(1)方程f(x)0有实根；(2)21；(3)设x1、x2是方程f(x)0的两个实根，则|x1x2|.证明：(1)若a0，则bc，f(0)f(1)c(3a2bc)c20，与已知矛盾，所以a0.方程3ax22bxc0的判别式为4(b23ac)由条件abc0，消去b，得4(a2c2ac)40，故方程f(x)0有实根(2)由f(0)f(1)0，得c(3a2bc)0，由条件abc0，消去c，得(ab)(2ab)0，a20，0，故21.(3)由条件知x1x2，x1x2，(x1x2)2(x1x2)24x1x22.21，(x1x2)2，故|x1x2|.18如图所示，已知曲线c1：yx2与曲线c2：yx22ax(a1)交于点o、a，直线xt(0t1)与曲线c1、c2分别相交于点d、b，连接od、da、ab.(1)写出曲边四边形abod(阴影部分)的面积s与t的函数关系式sf(t)；(2)求函数sf(t)在区间(0,1上的最大值解：(1)由解得或o(0,0)，a(a，a2)又由已知得b(t，t22at)，d(t，t2)，s(x22ax)dxtt2(t22att2)(at)t3(t2at)(at)t3at2t3t32at2a2tt3at2a2t.sf(t)t3at2a2t(0t1)(2)f(t)t22ata2，令f(t)0，即t22ata20.解得t(2)a或t(2)a.0t1，a1，t(2)a应舍去若(2)a1，即a时，0t1，f(t)0.f(t)在区间(0,1上单调递增，s的最大值是f(1)a2a.若(2)a1，即1a时，f(t)在区间(0，(2)a)上单调递增，在区间(2)a,1上单调递减s的最大值是f(2)a)a.综上，当1a时，s的最大值为a，当a时，s的最大值为a2a.19. 如图，某地有三家工厂，分别位于矩形abcd的顶点a，b及cd的中点p处，已知ab20 km，cb10 km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形abcd的区域上(含边界)，且与a，b等距离的一点o处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道ao，bo，op，设排污管道的总长为y km.(1)设bao(rad)，将y表示成的函数关系式；(2)确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短解：(1)由条件知pq垂直平分ab，若bao(rad)，则oa，故ob.又op1010tan ，所以yoaobop1010tan .故所求函数关系式为y10.(2)y，令y0，得sin .因为0，所以.当时，y0，y是的减函数；当时，y0，y是的增函数，所以当时，ymin10(1010)(km)这时点o位于线段ab的中垂线上，且距离ab边km处20是否存在常数a，b，c，使得等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由解：假设存在常数a，b，c，使得等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c成立，分别令n1,2,3得：，解得.所以当a，b，c0时，1(n212)2(n222)n(n2n2).下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，左边1(112)0，右边0，左边右边当n1时，等式成立(2)假设当nk时，等式成立，则有：1(k212)