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湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 第一章 导数及其应用模块综合检测b 新人教版选修2-2考试时间:120分钟满分:150分一、选择题(本大题共10小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.()a1i b1ic1i d1i解析:选b.1i.2用反证法证明命题:“若a,bn,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为()aa,b都能被3整除ba,b都不能被3整除ca,b不都能被3整除da不能被3整除解析:选b.因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”3用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时,从nk到nk1时,等式左边应添加的式子是()a(k1)22k2b(k1)2k2c(k1)2d.(k1)2(k1)21解析:选b.nk时,左边1222(k1)2k2(k1)22212,nk1时,左边1222(k1)2k2(k1)2k2(k1)22212,从nk到nk1,左边应添加的式子为(k1)2k2.4已知函数f(x),则yf(x)的图象大致为()解析:选b.当x1时,y0,得f(x)0;当x2时,y(1x)f(x)0,f(x)在(,2)上是增函数,在(2,1)上是减函数,在(1,2)上是减函数,在(2,)上是增函数,函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)9. 如图,已知正四棱锥sabcd所有棱长都为1,点e是侧棱sc上一动点,过点e垂直于sc的截面将正四棱锥分成上、下两部分记sex(0x1),截面下面部分的体积为v(x),则函数yv(x)的图象大致为()解析:选a.“分段”表示函数yv(x),根据解析式确定图象当0x时,截面为五边形,如图所示由sc平面qepmn,且几何体为正四棱锥,棱长均为1,可求得正四棱锥的高h,取mn的中点o,易推出oesa,mpsa,nqsa,则sqspaman2x,四边形oeqn和oepm为全等的直角梯形,则vsamnamanhx2,此时v(x)vsabcdvsamnvseqnmpx2(2x3x2)xx3x2,非一次函数形式,排除选项c,d.当e为sc中点时,截面为三角形edb,且sedb.当x1时,2s截面(1x)2.此时v(x)(1x)3v(1x)2.当x1时,v0,则说明v(x)减小越来越慢,排除选项b.10已知函数f(x)exx,对于曲线yf(x)上横坐标成等差数列的三个点a,b,c,给出以下判断:abc一定是钝角三角形;abc可能是直角三角形;abc可能是等腰三角形;abc不可能是等腰三角形其中,正确的判断是()a bc d解析:选b.f(x)exx,f(x)ex1,显然f(x)0恒成立,f(x)在(,)上单调递增设a,b,c三点的横坐标分别为xd,x,xd(d0),则a,b,c三点的坐标分别为(xd,exdxd),(x,exx),(xd,exdxd)b(d,exdexd),b(d,exdexd)bbd2(exdexd)(exdexd)d2e2xe2xddexde2xde2xdexdexddexd22d22e2xe2xde2xddexddexd2d2e2x2(eded)d(exdexd)ed0,ed0,eded2,当且仅当eded时取等号,此时d0.又d0,故eded2.e2x2(eded)0.h(x)ex在(,)上单调递增,xd0,d(exdexd)0.又2d20,bb0,即abc为钝角,abc为钝角三角形故正确,排除.|b|,|b|,exdexdexdexd,|b|b|,abc不可能是等腰三角形,故正确,排除.综上,正确二、填空题(本大题共5小题,把答案填在题中横线上)11用数学归纳法证明:当xn*,12222325n1是31的倍数时,当n1时,原式为_从nk到nk1时需增添的项是_解析:当n1时,1222251112222324;122225(k1)1(122225k1)25k25k125k4.答案:1222232425k25k125k412已知x,y(0,),当x2y2_时有xy1.解析:要使xy1,只需x2(1y2)1y2(1x2)2y,即2y1x2y2.只需使(y)20,即y,x2y21.答案:113观察下列等式:121,12223,1222326,1222324210,照此规律,第n个等式可为_解析:121,1222(12),122232123,12223242(1234),12223242(1)n1n2(1)n1(12n)(1)n1.答案:12223242(1)n1n2(1)n114数列an满足an1(1)nan2n1,则an的前60项和为_解析:an1(1)nan2n1,a21a1,a32a1,a47a1,a5a1,a69a1,a72a1,a815a1,a9a1,a1017a1,a112a1,a1223a1,a57a1,a58113a1,a592a1,a60119a1,a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案:1 83015函数f(x)在a,b上有定义,若对任意x1,x2a,b,有ff(x1)f(x2),则称f(x)在a,b上具有性质p.设f(x)在1,3上具有性质p,现给出如下命题:f(x)在1,3上的图象是连续不断的;f(x2)在1,上具有性质p;若f(x)在x2处取得最大值1,则f(x)1,x1,3;对任意x1,x2,x3,x41,3有ff(x1)f(x2)f(x3)f(x4)其中真命题的序号是_解析:令f(x)可知对x1,x21,3,都有ff(x1)f(x2),但f(x)在1,3上的图象不连续,故不正确;令f(x)x,则f(x)在1,3上具有性质p,但f(x2)x2在1,上不具有性质p,因为2(xx)f(x)f(x),故不正确;对于,假设存在x01,3,使得f(x0)1,因为f(x)maxf(2)1,x1,3,所以f(x0)1.又当1x03时,有14x03,由f(x)在1,3上具有性质p,得f(2)ff(x0)f(4x0),由于f(x0)1,f(4x0)1,故上式矛盾即对x1,3,有f(x)1,故命题正确对x1,x2,x3,x41,3,fff(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4),即命题正确答案:三、解答题(本大题共5小题,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16设复平面上两个点z1和z2所对应的复数为z11,z22i,以这两个点为顶点作正三角形,求正三角形的第三个顶点z3所对应的复数z3.解:如图,作z2a,z3b分别垂直于x轴易知|z1a|1,|az2|1,|z1z2|.z1z2z3为正三角形,|z1z3|z1z2|,z3z1b75.故有|bz3|z1z3|sin 75,|bz1|z1z3|cos 75,|ob|oz1|bz1|,z3(3)(1)i.同样可得z3(3)(1)i.17设f(x)3ax22bxc,若abc0,f(0)f(1)0,求证:(1)方程f(x)0有实根;(2)21;(3)设x1、x2是方程f(x)0的两个实根,则|x1x2|.证明:(1)若a0,则bc,f(0)f(1)c(3a2bc)c20,与已知矛盾,所以a0.方程3ax22bxc0的判别式为4(b23ac)由条件abc0,消去b,得4(a2c2ac)40,故方程f(x)0有实根(2)由f(0)f(1)0,得c(3a2bc)0,由条件abc0,消去c,得(ab)(2ab)0,a20,0,故21.(3)由条件知x1x2,x1x2,(x1x2)2(x1x2)24x1x22.21,(x1x2)2,故|x1x2|.18如图所示,已知曲线c1:yx2与曲线c2:yx22ax(a1)交于点o、a,直线xt(0t1)与曲线c1、c2分别相交于点d、b,连接od、da、ab.(1)写出曲边四边形abod(阴影部分)的面积s与t的函数关系式sf(t);(2)求函数sf(t)在区间(0,1上的最大值解:(1)由解得或o(0,0),a(a,a2)又由已知得b(t,t22at),d(t,t2),s(x22ax)dxtt2(t22att2)(at)t3(t2at)(at)t3at2t3t32at2a2tt3at2a2t.sf(t)t3at2a2t(0t1)(2)f(t)t22ata2,令f(t)0,即t22ata20.解得t(2)a或t(2)a.0t1,a1,t(2)a应舍去若(2)a1,即a时,0t1,f(t)0.f(t)在区间(0,1上单调递增,s的最大值是f(1)a2a.若(2)a1,即1a时,f(t)在区间(0,(2)a)上单调递增,在区间(2)a,1上单调递减s的最大值是f(2)a)a.综上,当1a时,s的最大值为a,当a时,s的最大值为a2a.19. 如图,某地有三家工厂,分别位于矩形abcd的顶点a,b及cd的中点p处,已知ab20 km,cb10 km,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形abcd的区域上(含边界),且与a,b等距离的一点o处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道ao,bo,op,设排污管道的总长为y km.(1)设bao(rad),将y表示成的函数关系式;(2)确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短解:(1)由条件知pq垂直平分ab,若bao(rad),则oa,故ob.又op1010tan ,所以yoaobop1010tan .故所求函数关系式为y10.(2)y,令y0,得sin .因为0,所以.当时,y0,y是的减函数;当时,y0,y是的增函数,所以当时,ymin10(1010)(km)这时点o位于线段ab的中垂线上,且距离ab边km处20是否存在常数a,b,c,使得等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c对一切正整数n都成立?若存在,求出a,b,c的值;若不存在,说明理由解:假设存在常数a,b,c,使得等式1(n212)2(n222)n(n2n2)an4bn2c成立,分别令n1,2,3得:,解得.所以当a,b,c0时,1(n212)2(n222)n(n2n2).下面用数学归纳法证明:(1)当n1时,左边1(112)0,右边0,左边右边当n1时,等式成立(2)假设当nk时,等式成立,则有:1(k212)
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