高中数学 第一章 计数原理 1.4 简单计数问题课件 北师大版选修23.ppt

4简单计数问题 1 加深理解排列和组合的概念 进一步分清排列与组合的区别与联系 2 熟练掌握与排列 组合有关的应用题的常用解法 提高分析问题和解决问题的能力 1 2 3 4 1 2 3 4 2 插空法 先把一般元素排列好 然后把特定元素插排在它们之间或两端的空当中 此法主要解决 元素不相邻问题 做一做2 有三款甲型手机和两款乙型手机要排成一列进行展览 则两款乙型手机不相邻的排列方式有种 1 2 3 4 3 占位法 从元素的特殊性上讲 对问题中的特殊元素应优先排列 然后再排其他一般元素 从位置的特殊性上讲 对问题中的特殊位置应优先考虑 然后再排其他剩余位置 即采用 先特殊后一般 的解题原则 做一做3 用0 1 2 3这四个数字可以组成个没有重复数字的四位数 1 2 3 4 题型一 题型二 题型三 例1 某大学有四名学生参加了一项志愿者服务工作 将这四名大学生分配到a b c三个不同的区域服务 每个区域至少分配一人 若甲要求不到区域a 则不同的分配方案共有 a 36种b 30种c 24种d 20种解析 这里可把四名大学生看作四个元素 把a b c三个区域看作三个位置 从元素角度分析 甲是特殊元素 从位置角度分析 区域a是特殊位置 运用特殊优先的原则 可以有两种解题思路 方法一 以特殊元素作为分类依据 第一类 甲单独一人在某个区域服务 第一步 给甲分配位置 有2种选择 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思本题中除了甲这个特殊元素和区域a这个特殊位置外 还有 其中两个人必须一起在某个区域服务 这个隐含条件 实际上本题中不管是哪种方法都是以此作为分类的标准 题型一 题型二 题型三 变式训练1 某学校把淘宝专业开进大学课堂 现有4名该校大学生 准备在学校提供的5个项目中进行投资 学校要求同一个项目只能有1个人选择 每人只能选择一个项目 且由于项目a b要求资金较大 只有甲和乙才有经济能力进行投资 则不同的投资方法种数有多少 解 第一类 项目a b中只有一个项目入选 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例2 7个人按下列要求排队 分别有多少种不同的排法 1 甲不排在正中间 也不排在两端 2 甲 乙之间相隔2人 3 甲排在乙的右边 4 甲 乙都与丙不相邻 5 若7个人排成两排 第一排3人 第二排4人 共有多少种排法 6 若7个人排成一个圆圈 有多少种排法 题型一 题型二 题型三 分析 1 的限制条件甲不排在正中间与两端 意思是说甲只能排在余下的4个位置 因此可以先在这4个位置上排甲而后再排其他人员 或者先从其余六人中选出三人排在正中间和两端 2 可以先从其余五人中选两人排在甲 乙之间 然后将此二人连同甲 乙四人看作一个元素 捆绑法 参加全排列 同样甲 乙之间也要进行全排列 还可以运用 数数法 将甲 乙排的位置确定出来 即甲 乙只能在1与4 2与5 3与6 4与7这四种位置上 3 甲不是排在乙的右边 就是排在乙的左边 两者必居其一 因此可以用 调序法 求解 或先按题目的要求从七个位置中选两个将甲 乙排好 然后再排其余人员 4 本题可分成甲 乙相邻但不与丙相邻及甲 乙不相邻且都不与丙相邻两类进行研究 题型一 题型二 题型三 5 把元素排成几排的问题 可化归为一排考虑 再在一排中分段处理 6 7人排成一个圆圈 剪开排成一排 对应7个排列 故环状排列问题用剪断直排法处理 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思 在 与 不在 相邻 与 不相邻 或 相间 是常见的有限制条件的排列问题 在 一般用 直接法 求解 不在 可用 间接法 相邻 问题一般用 捆绑法 不相邻 问题用 插空法 顺序一定 可用 调序法 或 组合法 一般来说 解排列 组合应用题除了上述方法外 有时还用 占位法 或 数数法 更多情况下需要对问题进行恰当的分类或分步 分类时要注意 类与类 之间的并列性 独立性和完整性 分步时要注意 步与步 之间的连续性 独立性和依赖性 做到不重不漏 题型一 题型二 题型三 变式训练2 有5盆菊花 其中黄菊花2盆 白菊花2盆 红菊花1盆 现把它们摆放成一排 要求2盆黄菊花必须相邻 2盆白菊花不能相邻 则这5盆花的不同摆放种数是 a 12b 24c 36d 48解析 此题中既有相邻限制 又有不相邻限制 我们可以优先利用捆绑法解决相邻的问题 再利用插空法解决不相邻问题 题型一 题型二 题型三 例3 按下列要求分配6本不同的书 各有多少种不同的分配方式 1 分成三份 1份1本 1份2本 1份3本 2 甲 乙 丙三人中 一人得1本 一人得2本 一人得3本 3 平均分成三份 每份2本 4 平均分配给甲 乙 丙三人 每人2本 5 分成三份 1份4本 另外两份每份1本 6 甲 乙 丙三人中 一人得4本 另外两人每人得1本 7 甲得1本 乙得1本 丙得4本 分析 这是一个分配问题 解题的关键是搞清事件是否与顺序有关 对于平均分组问题更要注意顺序 避免计数的重复或遗漏 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思均匀分组与不均匀分组 无序分组与有序分组是组合问题的常见题型 解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组 无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数 还要充分考虑到是否与顺序有关 有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数 题型一 题型二 题型三 变式训练3 有4个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 共有多少种放法 2 恰有1个盒子不放球 有多少种放法 3 恰有1个盒子放2个球 有多少种放法 4 恰有2个盒子不放球 有多少种放法 题型一 题型二 题型三 1 2 3 4 5 6 1 在1 2 3 4 5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中 各位数字之和为奇数的共有 a 36个b 24个c 18个d 6个 1 2 3 4 5 6 2某组织从4名男运动员 6名女运动员中各选一名运动员作为最佳运动员 不同的选法种数为 a 12b 30c 15d 24 1 2 3 4 5 6 3 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班 每天安排1人 每人值班1天 若7位员工中的甲 乙排在相邻两天 丙不排在10月1日 丁不排在10月7日 则不同的排法方案有 a 504种b 960种c 1008种d 1108种 1 2 3 4 5 6 4 从单词 equation 中选取5个不同的字母排成一排 含有 qu 其中 qu 相连且顺序不变 的不同排列共有 a 120种b 480种c 720种d 840种答案 b 1 2 3 4 5 6 5 从5位男实习教师和4位女实习教师中选出3位教师派到3个班担任实习班主任 每班派一位 要求这3位实习教师中男女都要有 则不同