江苏省扬州市高三数学下学期期中试题.doc

江苏省扬州中学2012-2013高三第二学期期中测试数学参考公式：球的体积，其中为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分把答案填写在答题纸相应位置上1设集合,则 2记，则点位于第 象限3有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：分组1.5,3.5)3.5,5.5)5.5,7.5)7.5,9.5)9.5,11.5)频数614162010根据样本的频率分布估计，数据落在5.5，9.5)的概率约是 .4已知向量，向量，则的最大值为 5设，是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是 .若 ， 则 ； .若， 则 ；开始结束是输出否（第9题图）x1, y1zx + yxy yz.若 ，则 ； .若 ，则 6已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为 7设等比数列的各项均为正数，其前项和为若，则_8若变量满足约束条件,则目标函数的最小值是_9阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 10已知，且，则的值为_11已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 12四棱锥的五个顶点都在一个球面上，且底面abcd是边长为1的正方形，则该球的体积为 13在中，已知，为线段上的点，且，则的最大值为 14我们把形如的函数称为“莫言函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”当，时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.()求的值及函数的值域；()若,且,求的值.16（本小题满分14分）直三棱柱中，、分别为、的中点（）求证：平面；（）求四面体的体积17（本小题满分14分）提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时研究表明：当50x200时，车流速度v与车流密度x满足当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时 （）当0x200时，求函数v(x)的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到个位，参考数据）18（本小题满分16分）已知椭圆过点，且它的离心率直线与椭圆交于、两点oxymn（）求椭圆的标准方程；（）当时，求证：、两点的横坐标的平方和为定值；（）若直线与圆相切，椭圆上一点满足，求实数的取值范围19（本小题满分16分）设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）（）求数列的通项公式；（）设数列的通项公式为（），若，（）成等差数列，求和的值；（）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列中的三项，20（本小题满分16分）已知函数，其中是常数，且（i）求函数的极值；（ii）对任意给定的正实数，是否存在正数，使不等式成立？若存在，求出，若不存在，说明理由；（iii）设，且，证明：对任意正数都有： 考场号_ 学号_ 班级_ 姓名_ 密封线内不要答题高三数学测试答题纸 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题（本大题共6小题，计90分）15解：16解：17解：18解：19解：（20题做在反面）数学(附加题)21选做题本题包括a、b、c、d四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分）gf edcba（第21a题图） 如图，在梯形中，bc，点，分别在边，上，设与相交于点，若，四点共圆，求证： b选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵 有特征值及对应的一个特征向量，求曲线在的作用下的新曲线方程c选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为直线与曲线交于两点，求d选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）设，实数满足，求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）在某社区举办的有奖知识问答比赛中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是，甲、丙二人都回答错的概率是，乙、丙二人都回答对的概率是（）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率；（）设乙、丙二人中回答对该题的人数为x，求x的分布列和数学期望23（本小题满分10分）已知数集，其中，且，若对（），与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质（）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由；（）已知数集具有性质，判断数列是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由gf edcba（第21a题图） 考场号_ 学号_ 班级_ 姓名_ 密封线内不要答题数学(附加题)a选修4 - 1：几何证明选讲解：b选修4 - 2：矩阵与变换解：c选修4 - 4：坐标系与参数方程解：d选修4 - 5：不等式选讲解：22解：23解：高三数学期中测试参考答案1 2二 3 44 5 6 76 829 10 11 12 133 1415()由已知可得: =3cosx+又由于正三角形abc的高为2,则bc=4 所以,函数 所以，函数 7分()因为()有 由x0 所以, 故 14分16()直三棱柱abc-a1b1c1中, b1bab, bcab,又b1bbc=b， ab平面bb1c1c. 又、分别为a1 c1、b1 c1的中点aba1b1nf. nf平面bb1c1c.因为fc平面bb1c1c.所以nffc .取bc中点g，有bg=gf=gc.bffc ，又 nffb=f，fc平面nfb. 7分()由()知, , 14分17解：(1) 由题意：当0x50时，v(x)30；当50x200时，由于，再由已知可知，当x200时，v(0)0，代入解得k2000.故函数v(x)的表达式为6分 (2) 依题意并由(1)可得， 当0x50时，f(x)30x，当x50时取最大值1500. 当50x200时，取等号当且仅当，即时，f(x)取最大值 （这里也可利用求导来求最大值）综上，当车流密度为138 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3056辆/小时 14分18解：() 设椭圆的标准方程为 由已知得：，解得 所以椭圆的标准方程为： 4分 () 由，得，设，则，为定值9分（）因为直线与圆相切 所以， 把代入并整理得： 设，则有 因为， 所以， 又因为点在椭圆上， 所以， 因为 所以 ，所以 ，所以 的取值范围为 16分19，解：（）由题意，当时，有，-，得，各项为正，从而，故成公差2的等差数列又时，解得故 4分（），要使，成等差数列，须，即，整理得，因为，为正整数，只能取2，3，5故， 10分（）作如下构造：，其中，它们依次为数列中第项，第项，第，显然它们成等比数列，且，所以它们能组成三角形由的任意性，知这样的三角形有无穷多个 下面用反证法证明其中任意两个和不相似：若，且，则，整理得，所以，这与矛盾，因此，任意两个三角形不相似故原命题正确 16分20解：为方便，我们设函数，于是（1）， 由得，即，解得， 故当时，；当时，；当时，取极大值，但没有极小值 4分10分（3）对任意正数，存在实数使，则，原不等式， 由（1）恒成立，故，取，即得，即，故所证不等式成立 16分21a证明：连结ef四点共圆, ，180180 四点共圆交于点g，10分21b由，即，所以设曲线上任一点，在作用下对应点，则，即，解之得，代入，得即曲线在的作用下的新曲线方程是10分21c 的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离， 10分21d证：， 又10分22解：（）设甲、乙、