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文档简介

定理 设函数 在点 可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也均在 处可导，且（1） （2） 为常数）推广：（3） 例1 设 ，求 。解 例2 设 ，求 。解 例3 设 ，求 。解 例4 设 ，求 。解 例5 ，求 。解 例6 ，求 。解 既 ,同样方法可求出的导数。例7 例8 求下列函数的导数（1） （2） 解 （1） （2） 前面我们讲反函数的连续性时讲过，区间I上的单调连续函数的反函数仍然是单调连续函数，现在我们假定它的导数存在来研究其反函数导数的情况。定理 ：如果函数 在某区间 内单调、可导且 ，那么它的反函数 在对应区间 内也可导，且 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。例9 求函数 的导数。解 是 的反函数， 在 内单调可导，且所以 在(-1，1)内可导，且由 所以 同理可得， ， 复合函数的求导方法是一非常重要的方法，因为一个复杂的函数不仅可由一些简单函数经四则运算得到，也经常由函数的复合运算而构成，因此我们必须研究复合函数的求导方法。定理 如果 在点 可导，而 在点 可导，则复合函数 在点 可导，且证：由于 在 可导，因此 存在，因此其中 时的无穷小，当 时，用 乘上式两端得当 =0时，规定 =0，则上式仍然成立，两端除以 得取极限得即例10 设 ，求 。解 设 ，则 ，用复合函数求导公式得例11 ，求 。解 设 ，则 ，例12 ，求 。解 利用复合函数求导公式还可得复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形，如设，则 的导数为或 例13 ，求 。解 求导熟练后，可不写出中间变量，按复合顺序层层求导即可，大家要能做到这一点。如上例 注意 ： 例14 求下列函数的导数（1） （2） （3） 解 （1） （2） （3） 注意 ：符号 与 的区别。如：例15 下列写法哪个正确1设 ，则（1） （2） （3） 2设 ，则3设 ，则 例16 设下列函数可导，求它们的导数（1） （2） （3） 解 （1） （2） （3） 例17 设 可导，且 ，求 解 例18 已知 ，求 解 ， ， ，所以 例19 设 是可导的偶函数，证明： 是奇函数。证
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