高优指导高考数学二轮复习 专题质量评估四 理.doc

专题质量评估四课后强化,赢在训练一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上,当正六棱柱的底面边长为时,其高的值为()a.3b.c.2d.2解析:设正六棱柱的高为h,则由题意可得()2+=32,解得h=2.答案:d2.(2014河南开封第一次摸底测试,4)一个正四棱锥的所有棱长均为2,其俯视图如图所示,则该正四棱锥的正视图的面积为()a.b.c.2d.4解析:由题意知,所求正视图是底边长为2,腰长为的等腰三角形,其面积为2.答案:a3.已知三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球的表面积为()a.16b.c.4d.2解析:由三视图可知底面三角形斜边的中点即为外接球的球心,所以外接球的半径r=1,故其表面积为4r2=4.答案:c4.已知三边长分别为3,4,5的abc的外接圆恰好是球o的一个大圆,p为球面上一点,若点p到abc的三个顶点的距离相等,则三棱锥p-abc的体积为()a.5b.10c.20d.30解析:由题意得三角形为直角三角形,其外接圆的直径2r=5,显然当且仅当op平面abc时,满足p到三个顶点的距离相等,故所求的体积v=sabcr=5.答案:a5.(2014贵州六校第一次联考,6)下面是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是()解析:由三视图可知,该容器的直观图为圆锥(如图所示),当向容器中匀速注水时,容器中水面的高度h随时间t的变化情况是:一开始水面的高度h增加的速度快,时间越长水面的高度h增长的速度越慢.反映到函数的图象上,就是t越大,h越大,但是t越大,h增加的速度越小,也就是某点处的切线的斜率k由大到小,结合图象可知选b.答案:b6.(2014吉林长春调研,10)一个半径为1的球体经过切割后,剩下部分几何体的三视图如图所示,则剩下部分几何体的表面积为()a.b.4c.d.解析:由三视图可知,该几何体为一个球体,下半球完整,上半球分为四份,去掉了对顶的两份,故表面积应为球的表面积去掉球的表面积,再加上6个圆面积,故所求几何体的表面积s=4r2-4r2+6r2=r2(r为球的半径),又球半径r=1,所以s=.故选d.答案:d7.在正方体abcd-a1b1c1d1的侧面ab1内有一动点p到直线a1b1与直线bc的距离相等,则动点p所在曲线的形状为()解析:由题意,点p的轨迹是以点b为焦点,以a1b1为准线的一段抛物线弧,只有c选项满足.答案:c8.(2014河北唐山高三统考,8)如图,直三棱柱abc-a1b1c1的六个顶点都在半径为1的半球面上,ab=ac,侧面bcc1b1是半球底面圆的内接正方形,则侧面abb1a1的面积为()a.2b.1c.d.解析:由题意知,球心在侧面bcc1b1的中心o上,bc为截面圆的直径,bac=90,abc的外接圆圆心n位于bc的中点,同理a1b1c1的外心m是b1c1的中点.设正方形bcc1b1边长为x,rtomc1中,om=,mc1=,oc1=r=1(r为球的半径),=1,即x=,则ab=ac=1.1=.答案:c9.若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球,则该球的半径为()a.b.c.d.解析:如图所示,正三棱柱a1b1c1-abc的底面边长为2,高se=2,o为其外接球的球心,在rtoae中,ao=r,oe=1,ae=2=,ao2=ae2+oe2,即r2=12+,也即r2=.故r=.答案:c10.在正方体abcd-a1b1c1d1中,m,n,q分别是棱d1c1,a1d1,bc的中点.点p在对角线bd1上,且,给出下列四个命题:mn平面apc;c1q平面apc;a,p,m三点共线;平面mnq平面apc.其中真命题的序号为()a.b.c.d.解析:设e,f分别为ac,mn的中点,g为ef与bd1的交点,显然d1fgbeg,故,即bg=bd1.又,即bp=bd1,故点g与点p重合.因此,平面apc和平面acmn重合,mn平面apc,故不正确,也不正确,结合选项可知选c.答案:c二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知三棱锥a-bcd中,平面abd平面bcd,bccd,bc=cd=4,ab=ad=2,则三棱锥a-bcd的外接球的大圆面积为.解析:因为三角形bcd为等腰直角三角形,所以球心应该在过斜边中点并且垂直于平面bcd的直线上,设m为bd的中点,则md=bd=2,所以am=2,球心o在线段am上或其延长线上,设om=x,利用方程思想得2x=,即2x=,2-x=无解,由2+x=得x=1,说明球心在am的延长线上,所以球半径为r=3,所以球的大圆面积为32=9.答案:912.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于.解析:根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则,可以得出一个平面图形的面积s与它的直观图的面积s 之间的关系是s=s,本题中直观图的面积为a2,所以原平面四边形的面积等于=2a2.答案:2a213.(2014山西四校第二次联考,15)已知正四棱锥s-abcd的所有棱长均为,则过该棱锥的顶点s及底面正方形各边中点的球的体积为.解析:连接ac,bd交于点h,连接sh,取ab的中点m,连接hm,则hm=,sh=1,球心在sh上,设oh=h,连接om,则=1-h,解得h=,所以球的半径r=,所求的球的体积为v=r3=.答案:14.(2014吉林长春调研,14)已知三棱柱abc-a1b1c1的底面是边长为的正三角形,侧棱垂直于底面,且该三棱柱的外接球的表面积为12,则该三棱柱的体积为.解析:设球半径为r,上、下底面中心设为m,n,由题意,外接球心为mn的中点,设为o,则oa=r,由4r2=12,得r=oa=,又易得am=,由勾股定理可知,om=1,所以mn=2,即棱柱的高h=2,所以该三棱柱的体积为()22=3.答案:315.如图,已知正三棱柱abc-a1b1c1的底面边长为2cm,高为5cm,则一质点自点a出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点a1的最短路线的长为cm.解析:根据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱,然后将其展开为如图所示的实线部分,则可知所求最短路线的长为=13cm.答案:13三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)如图,abc和bcd所在平面互相垂直,且ab=bc=bd=2,abc=dbc=120,e,f,g分别为ac,dc,ad的中点.(1)求证:ef平面bcg;(2)求三棱锥d-bcg的体积.附:锥体的体积公式v=sh,其中s为底面面积,h为高.(1)证明:由已知得abcdbc,因此ac=dc.又g为ad中点,所以cgad;同理bgad;因此ad面bgc.又efad,所以ef面bcg.(2)解:在平面abc内,作aocb,交cb延长线于o.由平面abc平面bcd,知ao面bdc.又g为ad中点,因此g到平面bdc距离h是ao长度的一半.在aob中,ao=absin60=,所以vd-bcg=vg-bcd=sdbch=bdbcsin120.17.(本小题满分12分)(2014辽宁沈阳质检,19)四棱锥s-abcd中,底面abcd为平行四边形,侧面sbc底面abcd.已知dab=135,bc=2,sb=sc=ab=2,f为线段sb的中点.求证:(1)sd平面cfa;(2)sabc.证明:(1)连接bd交ac于点e,连接ef,底面abcd为平行四边形,e为bd的中点.在bsd中,f为sb的中点,efsd.又ef平面cfa,sd平面cfa,sd平面cfa.(2)取bc中点o,连接ao,so,sobc.abc=45,bc=2,ab=2,ac=2.abc是等腰直角三角形.又点o是bc的中点,oabc.bc平面aos.sabc.18.(本小题满分12分)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱aa1底面abc,abbc,d为ac的中点,aa1=ab=2,bc=3.(1)求证:ab1平面bc1d;(2)求四棱锥b-aa1c1d的体积.(1)证明:连接b1c,设b1c与bc1相交于点o,连接od,四边形bcc1b1是平行四边形,点o为b1c的中点.d为ac的中点,od为ab1c的中位线.odab1.od平面bc1d,ab1平面bc1d,ab1平面bc1d.(2)解:aa1平面abc,aa1平面aa1c1c,平面abc平面aa1c1c.作beac,垂足为e,则be平面aa1c1c.在rtabc中,ac=,be=,因此四棱锥b-aa1c1d的体积v=(a1c1+ad)aa1be=2=3.19.(本小题满分12分)如图,在菱形abcd中,ma平面abcd,且四边形adnm是平行四边形.(1)求证:acbn;(2)当点e在ab的什么位置时,使得an平面mec,并加以证明.(1)证明:连接bd,则acbd.由已知得dn平面abcd,因为dndb=d,所以ac平面ndb.又bn平面ndb,所以acbn.(2)解:当e为ab的中点时,有an平面mec.设cm与bn交于点f,连接ef.由已知可得四边形bcnm是平行四边形,f是bn的中点,因为e是ab的中点,所以anef.又ef平面mec,an平面mec,所以an平面mec.20.(本小题满分13分)(2014贵州六校第一次联考,18)如图,在四棱锥p-abcd中,底面abcd为菱形,bad=60,q为ad的中点.(1)若pa=pd,求证:平面pqb平面pad;(2)点m在线段pc上,pm=pc,若平面pad平面abcd,且pa=pd=ad=2,求二面角m-bq-c的大小.(1)证明:由题意知pqad,bqad,pqbq=q,ad平面pqb.又ad平面pad,平面pqb平面pad.(2)解:连接bd,则pa=bd,q为ad的中点,pqad.又平面pad平面abcd,平面pad平面abcd=ad,pq平面abcd.以q为坐标原点,分别以qa,qb,qp为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系q-xyz.则q(0,0,0),a(1,0,0),p(0,0,),b(0,0),c(-2,0).设n1=(x,y,z)是平面mbq的法向量,则即解得令z=1,得n1=(,0,1).又n2=(0,0,1)是平面bqc的一个法向量,cos=,故二面角m-bq-c的大小为.21.(本小题满分14分)(2014安徽高考,理20)如图,四棱柱abcd-a1b1c1d1中,a1a底面abcd.四边形abcd为梯形,adbc,且ad=2bc.过a1,c,d三点的平面记为,bb1与的交点为q.(1)证明:q为bb1的中点;(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;(3)若aa1=4,cd=2,梯形abcd的面积为6,求平面与底面abcd所成二面角的大小.(1)证明:因为bqaa1,bcad,bcbq=b,adaa1=a,所以平面qbc平面a1ad.从而平面a1cd与这两个平面的交线相互平行,即qca1d.故qbc与a1ad的对应边相互平行,于是qbca1ad.所以,即q为bb1的中点.图1(2)解:如图1,连接qa,qd.设aa1=h,梯形abcd的高为d,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为v上和v下,bc=a,则ad=2a.2ahd=ahd,vq-abcd=dahd,所以v下=+vq-abcd=ahd,又ahd,所以v上=-v下=ahd-ahd=ahd.故.(3)解法一:如图1,在adc中,作aedc,垂足为e,连接a1e.又deaa1,且aa1ae=a,所以de平面aea1,于是dea1e.所以aea1为平面与底面abcd所成二面角的平面角.因为bcad,ad=2bc,所以sadc=2sbca.又因