（理数答案1）2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）.doc

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）答案说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几 种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未 改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超 过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再 给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算共8小题，每小题5分，满分40分题号12345678答案DBCABDCA二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性共7小题，每小题5分满分30分其中14-15题是选做题，考生只能选做一题第13题仅填对1个，则给3分， 11.3 13.35， 10 三、解答题；本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明证明过程和演算步骤16(本小题满分12分)(本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力)因为 由、解得9分因为所以,10分所以11分12分17(本小题满分12分)本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1)解：依题意，得1分解得a=32分(2)解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为=923分所以乙组四名同学数学成绩的方差为5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，共有44=16种可能的结果6分这两名同学成绩之差的绝对值X的所有情况如下表：XO1234689Pl0分随机变量X的数学期望为11分12分18(本小题满分14分)(本小题主要考查空间线画关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)所以6分在PBC中，因为，所以所以PBC为直角三角形7分证明2：因为PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，PD平面PAC，PDAC，所以PD平面ABC1分记AC边上的中点为E，在ABC中，因为AB=BC，所以BEAC因为，所以3分连接BD， RtBDE中，因为BED=900 ，BE=，DE=1，所以4分在BCD中，因为CD=3，BC=，BD=.所以所以BCBD5分因为PD平面ABC，BC平面ABC，所以BCPD6分因为BDPD=D，所以BC平面PBD因为PB 平面PBD，所以BCPB所以PBC为直角三角形7分(2)解法l：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH， 则APH为直线AP与平面PBC所成的角8分由(1)知，ABC的面积9分因为,所以l0分由(1)知PBC为直角三角形所以PBC的面积11分因为三棱锥A-PBC与三棱锥P-ABC的体积相等，即即所以12分在Rt PAD中，因为所以13分因为所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为14分解法2：过点D作设则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角8分由(1)知BCPD，BCPB且PCPB=P所以BC平面PBD因为BC 平面PBC，所以平面PBC平面PBD过点D作DN上PB于点NM连接MN，则DN平面PBC所以DMN为直线DM与平面PBC所成的角10分在RtPAD中，因为所以11分因为所以即所以l2分由(1)知,且所以l3分因为所以直线AP与甲面PBC所成角的正弦值为14分解法3：延长CB至点G，使得BG=BC，连接AG、PG，8分在PCG中所以CPG=900.即在PAC中，因为，所以所以因为所以CP平面PAG9分过点A作AK上PG于点K，因为AK 平面PAG，所以CPAK因为PGCP=P，所以AK平面PCG所以APK为直线AP与平面PBC所成的角11分由(1)知，BCPB所以在CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，所以12分在PAG中，所以即PAAGl3分因为所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为14分解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系Exyz，8分则A(0,-2,0),于是,设平面PBC的法向量为则即取,则,所以平面PBC的一个法向量为12分设直线AP与平面PBC所成的角为,则所以直线AP与平而PBC所成角的正弦值为14分若第(1)、(2)问都用向量法求解；给分如下:(1)以点E为坐标原点，EB，EC所在的直线分别为X轴，y轴建立如图的空间直角坐标系E-xyz1分则,于是,因为所以所以所以PBC为直角三角形7分(2)由（1）可得，A(0,-2，0)于是,设平面PBC的法向量为则即取则，所以平面PBC的一个法向量为12分设直线AP与平面PBC所成的角为，则所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为14分19(本小题满分14分)(本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)(1)解：设等比数列的公比为q，依题意有即2分所以3分由于解之得或5分又所以，6分所以数列的通项公式为7分(2)解：由（1）得，8分所以所以.故数列bn的前n项和 14分20（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）(1)解：依题意可得A(-1，0)，B(1，0) 1分设双曲线C的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即b=2所以双曲线C的方程为 3分(2)证法1：设点P(x1，y1)、T(x2，y2)(xi0，yi0，i=1，2），直线AP的斜率为k(k0)，则直线AP的方程为y=k(x+1)， 4分联立方程组 -5分整理，得，解得x=-1或所以 6分同理可得， 7分所以 8分证法2：设点、，则， 4分因为kAP=kAT，所以，即 5分因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以，.即， 6分所以，即 7分所以 8分证法3：设点P（x1，y1），直线AP的方程为 4分联立方程组 5分整理，得，解得x=-1或 6分将代入，得 即.所以 8分(3)解：设点P(x1，y1)、T(x2，y2)(xi0，yi0，i=1，2)，则，.因为，所以，即 9分因为点P在双曲线上，则，所以，即.因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以 10分因为，所以 11分由(2)知，即.设，则1t4，.设，则，当1t0，当2t4时，f(t)0,所以函数f(t)在(1，2)上单调递增，在（2，4上单调递减.因为f(2)=1, f(1)=f(4)=0,所以当t=4，即x1=2时， 12分当t=2，即时， 13分所以的取值范围为0,1. 14分说明：由,得，给1分21（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）(1)证明：设，所以 1分当x0时，.即函数1(x)在(-，0)上单调递减，存(0，+)上单调递增，在x=0处取得唯一极小值， 2分因为1(0)=0，所以对任意实数x均有1(x)1(0)=0即f(x)-g1(x)0，所以f(x)g1(x) 3分(2)解：当x0时，. 4分用数学归纳法证明如下：当n=1时，由(1)知.假设当时，对任意x0均有 5分令，因为对任意的正实数x，由归纳假设知， 6分即在(0，+)上为增函数，亦即，因为，所以.从而对任意x0，有.即对任意x0，有.这就是说，当n=k+1时，对任意x0，也有.由、知，当x0时，都有f(x)gn(x) 8分(3)证明1：先证对任意正整数n，gn(1)0时，对任意正整数n，都有f(x)gn(x)令x=1，得gn(1)f(1)=e所以gn(1)e 9分再证对任意正整数n，.要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式成立即要证明对任意正整数n，不等式成立. 10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：方法1（数学归纳法）：当n=1时，成立，所以不等式（*）成立