江西省南昌三中高三数学上学期第三次月考试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年江西省南昌三中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若全集u=1，2，3，4，5，6，m=1，4，n=2，3，则集合5，6等于（）amnbmnc（um）（un）d（um）（un）2设a，br，则“（ab）a20”是“ab”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3设sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，sn+2sn=36，则n=（）a5b6c7d84已知向量，若，则k等于（）a6b6c12d125设函数y=acosx+b（a、b为常数）的最大值是1，最小值是7，那么acosx+bsinx的最大值是（）a1b4c5d76如图，在abc中，d是边ac上的点，且ab=ad，2ab=bd，bc=2bd，则sinc的值为（）abcd7已知sin（+）+cos（+）=2cos（2），则sincoscos2=（）abcd8abc是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2， =2+，则下列结论正确的是（）a|=1bc =1d（4+）9函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）ay=g（x）by=g（x）cy=g（x）dy=g（x）10已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且x1（0，1），x2（1，+），记分别以m，n为横、纵坐标的点p（m，n）表示的平面区域为d，若函数y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域d内的点，则实数a的取值范围为（）a（1，3b（1，3）c（3，+）d3，+）11已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）a（1，+）b（2，+）c（，1）d（，2）12已知数列an满足an=nkn（nn*，0k1）下面说法正确的是（）当k=时，数列an为递减数列；当k1时，数列an不一定有最大项；当0k时，数列an为递减数列；当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项abcd二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13复数z=的共轭复数是14已知|=2，|=6，与的夹角为，则在上的投影为15设f（x）=axb，其中a，b为实数，f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x），n=1，2，3，若f7（x）=128x+381，则a+b=16已知函数，则f（x）的最小值为三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设函数f（x）=sin2xsinxcosx（0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（）求的值（）求f（x）在区间上的最大值和最小值18数列an中，a1=3，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列（1）求c的值；（2）求an的通项公式19某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获y（单位：kg）与它的“相近”作物株数x之间的关系如下表所示：x1234y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（i）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；（ii）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望20已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：bn平面c1b1n；（2）设为直线c1n与平面cnb1所成的角，求sin的值；（3）设m为ab中点，在bc边上求一点p，使mp平面cnb1，求的值21已知函数f（x）=ax21（a0且a1）（1）求函数f（x）的定义域、值域；（2）求实数a的取值范围，使得函数f（x）满足：当定义域为1，+）时，f（x）0恒成立22已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2x，ar（）当a=时，求函数y=f（x）的极值；（）若对任意实数b（1，2），当x（1，b时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围2015-2016学年江西省南昌三中高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若全集u=1，2，3，4，5，6，m=1，4，n=2，3，则集合5，6等于（）amnbmnc（um）（un）d（um）（un）【考点】交、并、补集的混合运算【专题】集合【分析】由题意可得5um，且5un；6um，且6un，从而得出结论【解答】解：5m，5n，故5um，且5un同理可得，6um，且6un，5，6=（um）（un），故选：d【点评】本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题2设a，br，则“（ab）a20”是“ab”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据充分必要条件定义判断，结合不等式求解【解答】解：a，br，则（ab）a20，ab成立，由ab，则ab0，“（ab）a20，所以根据充分必要条件的定义可的判断：a，br，则“（ab）a20”是ab的充分不必要条件，故选：a【点评】本题考查了不等式，充分必要条件的定义，属于容易题3设sn为等差数列an的前n项和，若a1=1，公差d=2，sn+2sn=36，则n=（）a5b6c7d8【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由sn+2sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差数列的通项公式求解n【解答】解：由sn+2sn=36，得：an+1+an+2=36，即a1+nd+a1+（n+1）d=36，又a1=1，d=2，2+2n+2（n+1）=36解得：n=8故选：d【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题4已知向量，若，则k等于（）a6b6c12d12【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】计算题【分析】先根据向量的加减和数乘运算求出的坐标，然后根据建立等式，求出k的值即可【解答】解：，=（4，2）（1，k）=（5，2k），（2）=25+1（2k）=0解得k=12故选：c【点评】本题主要考查了数量积判断两个平面向量的垂直关系，以及向量的加减和数乘运算，属于基础题5设函数y=acosx+b（a、b为常数）的最大值是1，最小值是7，那么acosx+bsinx的最大值是（）a1b4c5d7【考点】三角函数的最值【专题】计算题【分析】先根据函数y=acosx+b（a、b为常数）的最大值是1，最小值是7求出a，b的值，然后代入到acosx+bsinx中根据辅角公式进行化简，再由正弦函数的最值可得到答案【解答】解：函数y=acosx+b（a、b为常数）的最大值是1，最小值是7，若a0，则a+b=1，ba=7b=3，a=4若a0，则a+b=7，ba=1，解得，a=4，b=3代入到acosx+bsinx得到：4cosx3sinx=5（cosxsinx），不妨设sin=，cos=，则据两角和的正弦公式有，4cosx3sinx=5sin（x+），acosx+bsinx的最大值等于5故选：c【点评】本题主要考查三角函数的最值和辅角公式的应用考查基础知识的综合应用，属于中档题6如图，在abc中，d是边ac上的点，且ab=ad，2ab=bd，bc=2bd，则sinc的值为（）abcd【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】设bd=a，则由题意可得：bc=2a，ab=ad=a，利用余弦定理表示出cosa，把三边长代入求出cosa的值，进而确定出sina的值，由ab，bc，以及sina的值，利用正弦定理求出sinc的值即可【解答】解：设bd=a，则由题意可得：bc=2a，ab=ad=a，在abd中，由余弦定理得：cosa=，sina=，在abc中，由正弦定理得， =，即=，解得：sinc=，故选：d【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键7已知sin（+）+cos（+）=2cos（2），则sincoscos2=（）abcd【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值【专题】三角函数的求值【分析】已知等式利用诱导公式化简，再利用同角三角间基本关系求出tan的值，原式分母看做“1”，利用同角三角函数间基本关系化简后，将tan的值代入计算即可求出值【解答】解：已知等式整理得：sinsin=2cos，即2sin=2cos，tan=，则原式=，故选：c【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键8abc是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2， =2+，则下列结论正确的是（）a|=1bc =1d（4+）【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】由题意，知道，根据已知三角形为等边三角形解之【解答】解：因为已知三角形abc的等边三角形，满足=2， =2+，又，的方向应该为的方向所以，所以=2， =12cos120=1，4=412cos120=4， =4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选d【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系9函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，则y=f（x）的反函数是（）ay=g（x）by=g（x）cy=g（x）dy=g（x）【考点】反函数【专题】函数的性质及应用【分析】设p（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则p关于y=x的对称点p（y，x）一点在y=f（x）的图象上，p（y，x）关于直线x+y=0的对称点p（x，y）在y=g（x）图象上，代入解析式变形可得【解答】解：设p（x，y）为y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则p关于y=x的对称点p（y，x）一点在y=f（x）的图象上，又函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于直线x+y=0对称，p（y，x）关于直线x+y=0的对称点p（x，y）在y=g（x）图象上，必有y=g（x），即y=g（x）y=f（x）的反函数为：y=g（x）故选：d【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题10已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且x1（0，1），x2（1，+），记分别以m，n为横、纵坐标的点p（m，n）表示的平面区域为d，若函数y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域d内的点，则实数a的取值范围为（）a（1，3b（1，3）c（3，+）d3，+）【考点】函数在某点取得极值的条件【专题】导数的综合应用【分析】根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，可得方程x2+mx+（m+n）=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+），从而可确定平面区域为d，进而利用函数y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域d上的点，可求实数a的取值范围【解答】解：求导函数可得y=x2+mx+（m+n），依题意知，方程y=0有两个根x1、x2，且x1（0，1），x2（1，+），构造函数f（x）=x2+mx+（m+n），直线m+n=0，2+3m+n=0的交点坐标为（1，1）要使函数y=loga（x+4）（a1）的图象上存在区域d上的点，则必须满足1loga（1+4）loga31，解得a3又a1，1a3，故选b【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域，属于中档题11已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）a（1，+）b（2，+）c（，1）d（，2）【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由题意可得f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【解答】解：f（x）=ax33x2+1，f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；当a=0时，f（x）=3x2+1有两个零点，不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上有零点，故不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（0，+）上有且只有一个零点；故f（x）=ax33x2+1在（，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上取得最小值；故f（）=3+10；故a2；综上所述，实数a的取值范围是（，2）；故选：d【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题12已知数列an满足an=nkn（nn*，0k1）下面说法正确的是（）当k=时，数列an为递减数列；当k1时，数列an不一定有最大项；当0k时，数列an为递减数列；当为正整数时，数列an必有两项相等的最大项abcd【考点】数列的函数特性【专题】等差数列与等比数列【分析】分别根据数列的通项公式进行判断即可【解答】解：当时，a1=a2，即数列an不是递减数列，错误当时， =，因此数列an数列an可有最大项，因此错误；当时， =1，an+1an，故数列an为递减数列；=，当为正整数时，1当k=时，a1=a2a3a4当时，令，解得k=，则，数列an必有两项相等的最大项故选：c【点评】本题考查了数列的单调性和分类讨论的思想方法，属于难题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上）13复数z=的共轭复数是1i【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题【分析】根据复数除法法则，分子分母同乘分母的共轭复数化简成基本形式，再根据共轭复数的定义求出所求即可【解答】解：z=1+i复数z=的共轭复数是1i故答案为：1i【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及共轭复数的定义，同时考查了运算能力，属于基础题14已知|=2，|=6，与的夹角为，则在上的投影为5【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用【分析】根据投影的定义便可得到向量在上的投影为=，而根据条件是可以求出的，从而便可得出在上的投影的值【解答】解：根据条件，在上的投影为：=故答案为：5【点评】考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义，向量夹角的余弦公式，以及向量数量积的计算公式15设f（x）=axb，其中a，b为实数，f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x），n=1，2，3，若f7（x）=128x+381，则a+b=1【考点】函数的表示方法【分析】由f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）推理出f7（x）建立方程，再用待定系数法求得【解答】解：由f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x），n=1，2，3，又f7（x）=128x+381a7x（a6+a5+1）b=128x+381a7=128且（a6+a5+1）b=381a=2，b=3a+b=1故答案是：1【点评】本题主要考查求函数解析式和待定系数法16已知函数，则f（x）的最小值为【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】分别研究分子、分母的最小值与最大值，即可求得f（x）的最小值【解答】解：考查函数g（x）=sinxcosx+2=sin（x）+20x0sin（x）12g（x）+2当且仅当x=或时，函数g（x）取得最小值2又h（x）=，当且仅当x=时，函数h（x）取得最大值当且仅当x=时，f（x）的最小值为故答案为：【点评】本题考查函数的最值，解题的关键是确定分子、分母的最小值与最大值，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17设函数f（x）=sin2xsinxcosx（0），且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，（）求的值（）求f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（）通过二倍角的正弦函数与余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的正确求出的值（）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域与单调性直接求解f（x）在区间上的最大值和最小值【解答】解：（）函数f（x）=sin2xsinxcosx=因为y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，故周期为又0，所以，解得=1；（）由（）可知，f（x）=sin（2x），当时，所以，因此，1f（x），所以f（x）在区间上的最大值和最小值分别为：【点评】本题考查二倍角的三角函数以及两角和的正弦函数，三角函数的周期，正弦函数的值域与单调性的应用，考查计算能力18数列an中，a1=3，an+1=an+cn（c是常数，n=1，2，3，），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列（1）求c的值；（2）求an的通项公式【考点】数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）由递推式表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；（2）利用累加法可求得an，注意检验n=1时是否满足an；【解答】解：（1）a1=3，a2=3+c，a3=3+3c，a1，a2，a3成等比数列，（3+c）2=3（3+3c），解得c=0或c=3当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=3（ 2）当n2时，由a2a1=c，a3a2=2c，anan1=（n1）c，又a1=3，c=3，当n=1时，上式也成立，【点评】本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题19某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获y（单位：kg）与它的“相近”作物株数x之间的关系如下表所示：x1234y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米（i）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率；（ii）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差【专题】概率与统计【分析】（i）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”的概率；（ii）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望【解答】解：（i）所种作物总株数n=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为=；（ii）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为y的分布列p（y=51）=p（x=1），p（48）=p（x=2），p（y=45）=p（x=3），p（y=42）=p（x=4）只需求出p（x=k）（k=1，2，3，4）即可记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由p（x=k）=得p（x=1）=，p（x=2）=，p（x=3）=，p（x=4）=所求的分布列为 y5148 45 42 p数学期望为e（y）=51+48+45+42=46【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题20已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形（1）求证：bn平面c1b1n；（2）设为直线c1n与平面cnb1所成的角，求sin的值；（3）设m为ab中点，在bc边上求一点p，使mp平面cnb1，求的值【考点】直线与平面所成的角；简单空间图形的三视图；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】综合题【分析】（1）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，ba，bc，bb1两两垂直 以b为坐标原点，分别以ba，bc，bb1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，证出=0， =0后即可证明bn平面c1b1n；（2）求出平面ncb1的一个法向量，利用与此法向量的夹角求出直线c1n与平面cnb1所成的角（3）设p（0，0，a）为bc上一点，由mp平面cnb1，得知，利用向量数量积为0求出a的值，并求出【解答】（1）证明：该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，ba，bc，bb1两两垂直 （2分）以b为坐标原点，分别以ba，bb1，bc所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则n（4，4，0），b1（0，8，0），c1（0，8，4），c（0，0，4）=（4，4，0）（4，4，0）=16+16=0=（4，4，0）（0，0，4）=0bnnb1，bnb1c1且nb1与b1c1相交于b1，bn平面c1b1n； （4分）（2）解：设n2=（x，y，z）为平面ncb1的一个法向量，则 则；（8分）（3）m（2，0，0）设p（0，0，a）为bc上一点，则，mp平面cnb1，又pm平面cnb1，mp平面cnb1，当pb=1时，mp平面cnb1（12分）【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断，线面角求解，利用空间向量的方法，能够降低思维难度，但要注意有关的运算要准确21已知函数f（x）=ax21（a0且a1）（1）求函数f（x）的定义域、值域；（2）求实数a的取值范围，使得函数f（x）满足：当定义域为1，+）时，f（x）0恒成立【考点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0得ax4然后分a1，0a1求得函数的定义域令t=换元，配方后利用函数的单调性求函数f（x）的值域；（2）结合（1）中的函数定义域可得0a1时，函数的定义域为loga4，+）然后把使定义域为1，+）时，f（x）0恒成立，转化为，分析可知f（x）0恒成立的实数a的值不存在【解答】解：（1）由4ax0，得ax4当a1时，xloga4；当0a1时，xloga4即当a1时，f（x）的定义域为（，loga4；当0a1时，f（x）的定义域为loga4，+）令t=，则0t2，且ax=4t2，f（x）=g（t）=4t22t1=（t+1）2+4，当t0时，g（x）是t的单调减函数，g（2）g（t）g（0），即5f（x）3，函数f（x）的值域是（5，3；（2）当a1时，f（x）的定义域为（，loga4，不满足题意；当0a1时，函数的定义域为loga4，+）要使定义域为1，+）时，f（x）0恒成立，则，由得：a4，又0a1，0a1；由得：ax3此式对于任意0a1不满足在1，+）上恒成立综上，当定义域为1，+）时，f（x）0恒成立的实数a的值不存在【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，训练了利用换元法求函数的值域，对于（