江苏省扬中高级中学高三数学模拟考试试题.doc

2015届高三数学模拟试卷第卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合，则等于 2若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是 3甲、乙两个学习小组各有10名学生，他们在一次数学测验中成绩的茎叶图如图所示，则在这次测验中成绩较好的是 组 （第3题图）4执行如图所示的程序框图，输出的结果是 5抛物线的准线方程为 6一个袋中装有2只红球、3只绿球，从中随机抽取3只球，则恰有1只红球的概率是 7已知向量，且，则的值为 8设f(x)为定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)=+2x+m(m为常数)，则f(1)= _9在abc中，ab2，bc1.5，abc120，若使abc绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是 10设是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于 11设函数若，则实数的取值范围是 12已知圆c：，点是直线l：上的动点，若在圆c上总存在不同的两点a，b使得，则的取值范围是 13如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，则切割后所得到的梯形的面积的最大值为 14已知为正整数，实数满足，若的最大值为，则= 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（本小题满分14分）在中，内角，的对边分别为，向量，且（1）求角；（2）若，求的面积的最大值16（本小题满分14分）ceabdf如图，在五面体中，四边形是矩形，平面 （1）求证：； （2）求证：平面平面17（本小题满分16分）某种海洋生物身体的长度（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：.（设该生物出生时t=0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第年，该生物长得最快，求的值.18（本小题满分16分）已知椭圆：.（1）椭圆的短轴端点分别为(如图)，直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.证明直线与轴交点的位置与无关； 若面积是面积的5倍，求的值；（2）若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、 两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.19（本小题满分16分）在数列，中，已知，且，成等差数列，也成等差数列（1）求证：是等比数列；（2）设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对20（本小题满分16分）已知函数（为自然对数的底数）（1）求的单调区间；（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；（3）若存在不等实数，使得，证明：.2015届高三数学模拟试卷 第卷 数学附加题21选做题在a、b、c、d四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（第21a题）a选修41：（几何证明选讲）如图，为单位圆的切线，过切点引的垂线，为垂足求证：为定值b选修42：(矩阵与变换)已知二阶矩阵m有特征值3及对应的一个特征向量，并且矩阵m对应的变换将点（1，2）变换成（9，15），求矩阵mc选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，点是椭圆上的一个动点，若的最大值为，求椭圆的标准方程d选修45（不等式选讲） 已知正实数成等比数列，求证：必做题第22题、第23题，每小题10分，共计20分，请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22.如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底面() 证明：；() 若，求二面角的余弦值23.已知数列满足且(1)计算的值,由此猜想数列的通项公式,并给出证明;(2)求证:当时,2015届高三数学模拟试卷参考答案及其评分标准 第卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1 ；2 ；3 甲；4 16；5 ；6 ；7 18 ；9 ；10 0 ；11 ；12 ；13 ；1410二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（本小题满分14分）在中，内角，的对边分别为，向量，且（1）求角；（2）若，求的面积的最大值（1）因为，所以，所以，即， 4分所以，又，所以 7分（2）在中，由余弦定理有，所以，由基本不等式，可得，当且仅当时，取等，12分所以的面积，故的面积的最大值为 14分16（本小题满分14分）ceabdf3. 如图，在五面体中，四边形是矩形，平面 （1）求证：； （2）求证：平面平面证明：（1）四边形是矩形，平面，平面，平面平面，平面平面，7分（2）平面，平面，平面，平面平面，平面平面14分17（本小题满分16分）某种海洋生物身体的长度（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：.（设该生物出生时t=0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第年，该生物长得最快，求的值.【试题分析】：（1）求需经过多少时间，该生物的身长超过8米，实质就是解不等式，不等式解集中的最小值就是本题结论；（2）首先要搞懂什么是“长得最快”，“长得最快”就是说明这一年该生物身体增长的长度最大，因此实质就是求的最大值，即就是这个最大值，下面我们只要求出，分析它的最大值是在为何值时取得，此式较繁，因此我们用换元法，设，由有，它的最大值求法一般是分子分母同时除以，然后用基本不等式及不等式的性质得到结论【解】：（1）设，即，解得，即该生物6年后身长可超过8米；5分（2）设第年生长最快，于是有，8分令，则，令，11分等号当且仅当即， ，时成立，因为，因此可能值为4或5，由知，所求有年份为第4年和第5年，两年内各生长了米14分17（本小题满分14分）【备用题】：某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.（1）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；（2）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.解：（1）由题意得，.6分（2）由（1）得.整理得10分.由题意，解得.故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为元. 14分18（本小题满分16分）已知椭圆：.（1）椭圆的短轴端点分别为(如图)，直线分别与椭圆交于两点，其中点满足，且.证明直线与轴交点的位置与无关； 若面积是面积的5倍，求的值；（2）若圆:.是过点的两条互相垂直的直线,其中交圆于、 两点,交椭圆于另一点.求面积取最大值时直线的方程.【试题分析】：(1) 本题方法很容易想到，主要考查计算推理能力，写出直线的方程，然后把直线方程与椭圆方程联立，求得点坐标，同理求得点坐标，从而得到直线的方程，令，求出，与无关；两个三角形与有一对对顶角和，故面积用公式，表示，那么面积比就为，即，这个比例式可以转化为点的横坐标之间(或纵坐标)的关系式，从而 求出；(2)仍采取基本方法，设的方程为，则的方程为，直线与圆相交于，弦的长可用直角三角形法求，(弦心距，半径，半个弦长构成一个直角三角形)，的高为是直线与椭圆相交的弦长，用公式来求，再借助于基本不等式求出最大值及相应的值，也即得出的方程.【解析】：（1）因为,m (m,)，且， 直线am的斜率为k1=,直线bm斜率为k2=, 直线am的方程为y= ,直线bm的方程为y= , 2分由得， 由得，； 4分据已知，直线ef的斜率 直线ef的方程为 , 令x=0,得 ef与y轴交点的位置与m无关. 5分,，, 7分 ，整理方程得，即，又有， ， 为所求. 10分(2) 因为直线,且都过点,所以设直线,直线, 12分所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截的弦；由,所以 所以 14分所以 当时等号成立,此时直线 16分19（本小题满分16分）在数列，中，已知，且，成等差数列，也成等差数列（1）求证：是等比数列；（2）设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对（1）由，成等差数列可得，由，成等差数列可得， 得，所以是以6为首项、为公比的等比数列 4分（2）由（1）知，得， 得， 8分代入，得，所以，整理得，所以， 12分由是不超过100的正整数，可得，所以或，当时，此时，则，符合题意；当时，此时，则，符合题意故使成立的所有数对为， 16分20（本小题满分16分）已知函数（为自然对数的底数）（1）求的单调区间；（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；（3）若存在不等实数，使得，证明：.解：（1）(求导1分，说明2分,结论1分)函数的单调递减区间是，单调递增区间为.4分（2）不存在正实数使得成立.事实上，由（）知函数在上递增，而当，有，在上递减，有，因此，若存在正实数使得，必有6分令，则，因为，所以，所以为上的增函数，所以，即， 9分故不存在正实数使得成立. 10分（3）若存在不等实数，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，.若，则，由（）知：函数在上单调递减，所以； 12分若，由（）知：当，则有，而所以，即而，由（）知：函数在上单调递减，所以，即有，由（）知：函数在上单调递减，所以；15分综合，得：若存在不等实数，使得，则总有.16分说明：由轴对称函数的性质启发命制该题，将函数的单调性，方程的根、导函数，不等式知识融为一体，考查学生的等价转化能力，分析问题，解决问题的能力。分步设问，逐层递进，叙述简洁，具有较高的区分度。题目的来源与发展：（1）其实本题来源于直线与的关系.因为，令，则得，则转化为直线与的关系；（2）若函数的图象关于对称，则有；因此轴对称函数一定会有函数值相等的点，但有函数值相等的点，未必有对称轴，本题第（）（）问就是基于弄清楚这一点来命制的，因此掌握概念的本质是关键.2015届高三数学模拟试卷 第卷 数学附加题21.a在中，因为是的平分线，所以又，所以 4分因为与是圆过同一点的弦，所以，即 8分由、可知 ，所以 10分b（1）由已知，所以，解得5分（2）设曲线上任一点在对应的变换作用下对应点，则，即，解得，代入曲线得即曲线在对应的变换作用下的新曲线的方程是10分c直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为， 5分所以线段的垂直平分线是过圆心且与直线垂直的直线，其方程为，故线段的垂直平分线的极坐标方程为10分d因为，所以，因为为正数，所以由柯西不等式得，当且仅当等式成立所以，所以的最小值是， 8分此