18-8大学物理.pdf

1 氢原子的薛定谔方程1 氢原子的薛定谔方程1 氢原子的薛定谔方程1 氢原子的薛定谔方程 r e U 0 2 4 氢原子中电子的势能函数氢原子中电子的势能函数 0 4 2 0 2 2 2 r e E m h 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 222 zyxr 为使求解的问题变得简便 通常采用球坐标 为使求解的问题变得简便 通常采用球坐标 r 26 4 2 量子力学中的氢原子问题量子力学中的氢原子问题 26 4 2 量子力学中的氢原子问题量子力学中的氢原子问题 x y z r 电子电子 原核子原核子 拉普拉斯算符变为 拉普拉斯算符变为 2 2 22 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 r rr r rr 设波函数为设波函数为 rRr 代入薛定谔方程 采用分离变量法得到三个 常微分方程 代入薛定谔方程 采用分离变量法得到三个 常微分方程 氢原子氢原子氢原子氢原子 0 2 2 2 l m d d 整理 得 为常数l m ll d d d d l sin sin sin 01 1 2 2 0 1 4 2 1 2 0 2 2 2 2 R r ll r e E m dr dR r dr d r h 为常数 l m 在解波函数时 考虑到波函数应满足的在解波函数时 考虑到波函数应满足的标准 条件 标准 条件 很自然地得到氢原子的量子化特征 很自然地得到氢原子的量子化特征 1 能量量子化 1 能量量子化 同玻尔得到的氢原子的能量公式一致 但却没 有人为的假设 同玻尔得到的氢原子的能量公式一致 但却没 有人为的假设 在求解得到氢原子能量必须满足量子化条件为在求解得到氢原子能量必须满足量子化条件为 rR 2 222 0 4 222 0 2 4 1 6 13 1 8 1 32 n nh me n me En h L 3 2 1 n 称为主量子数称为主量子数n 氢原子氢原子氢原子氢原子 n 1 基态能量基态能量eV6 13 1 E eV6 13 1 EE n 2 3 对应的能量称为激发态能量对应的能量称为激发态能量 eV40 3 2 EeV51 1 3 E 当当n很大时 能级间隔消失而变为连续很大时 能级间隔消失而变为连续 对应于电子被电离 氢原子的电子电离能为 对应于电子被电离 氢原子的电子电离能为 n 当当 0 E n 1 1 E 2 3 2 E 3 E 4 5 4 E E 氢原子氢原子氢原子氢原子 2 1 613 n En 说明角动量只能取由说明角动量只能取由 l 决定的一系列分立值 即角动量也是量子化的 决定的一系列分立值 即角动量也是量子化的 2 轨道角动量量子化和角量子数 2 轨道角动量量子化和角量子数 在求解角量为变量的函数所满足的方程时 进一步得到角动量量子化的结果 在求解角量为变量的函数所满足的方程时 进一步得到角动量量子化的结果 处于能级的原子 其角动量共有处于能级的原子 其角动量共有 n 种可 能值 即 用 种可 能值 即 用s p d 表示角 动量状态 表示角 动量状态 n E l 0 1 2 n 1 称为称为角量子数角量子数 或或副量子数副量子数 l h 1 llL 1 3 2 1 0 nlL 氢原子氢原子氢原子氢原子 3 轨道角动量空间量子化和磁量子数 3 轨道角动量空间量子化和磁量子数 h lz mL lml 2 1 0 称为称为磁量子数磁量子数 对于一定 的角量子数可以取 个值 对于一定 的角量子数可以取 个值 l m l ml 12 l 氢原子中电子绕核运动的 角动量不仅大小取分离值 其方向也有一定限制 若取 外磁场 氢原子中电子绕核运动的 角动量不仅大小取分离值 其方向也有一定限制 若取 外磁场B的方向为的方向为Z轴 角动 量在 轴 角动 量在Z轴上的投影只能取轴上的投影只能取 z L 氢原子氢原子氢原子氢原子 zB o h h2 h h2 h6 L 2 l h 1 llL 角动量的空间量子化角动量的空间量子化 氢原子内电子的状态氢原子内电子的状态 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 l 0 l 1l 5l 4l 3l 2 s p h g f d 1s 5f5d5p5s 6s6p6d6f6g6h 4s 3s3p 4f 3d 4p4d 5g 2p 2s 氢原子氢原子氢原子氢原子 例例19 10 设氢原子处于设氢原子处于2p态 求氢原子的能量 角动量大小态 求氢原子的能量 角动量大小 及角动量的空间取向 及角动量的空间取向 解 解 2p态表示态表示 n 2 l 1 得得 eV40 3eV 2 6 13 22 E 角动量的大小为角动量的大小为hh2 1 llL 当当l 1时 时 ml的可能值是的可能值是 1 0 1 角 动量方向与外磁场的夹角可能值为 角 动量方向与外磁场的夹角可能值为 43 2 4 1 arccos ll ml eV 6 13 2 n En 根据根据 氢原子氢原子氢原子氢原子 zB o h h h2 L 1 l 3 氢原子中电子的概率分布3 氢原子中电子的概率分布3 氢原子中电子的概率分布3 氢原子中电子的概率分布 要知道电子在氢原子中的分布 必须要知道 定态波函数 要知道电子在氢原子中的分布 必须要知道 定态波函数 lmnlnlm YrR 称为径向函数 称为径向函数 rRnl lm Y 称为角分布函数 称为角分布函数 以下给出前几个函数 以下给出前几个函数 0 2 1 2 3 0 0 1 a r e a rR 0 2 0 2 3 0 0 2 2 2 1 a r e a r a rR 0 2 0 2 3 0 1 2 3 2 1 a r e a r a rR 角分布函数 角分布函数 4 1 0 0 Y 1cos3 16 5 2 0 2 Y cos 4 3 0 1 Y i eY sin 8 3 1 1 为玻尔半径为玻尔半径 0 a 电子的概率分布电子的概率分布电子的概率分布电子的概率分布 drrRRdrrP 2 4 电子的径向分布概率为电子的径向分布概率为 rP 表示电子出现在至 的球壳中的概率 表示电子出现在至 的球壳中的概率 r drr 电子的概率分布电子的概率分布电子的概率分布电子的概率分布 氢原子中电子径向概率分布氢原子中电子径向概率分布 电子的角分布概率由决定 电子的角分布概率由决定 lm Y 与无关 表示角向概率密度对于轴 具有旋转对称性 与无关 表示角向概率