江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学高二数学上学期1月联考试卷（含解析）.doc

江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学2014-2015学年高二上学期1月联考数学试卷 一、选择题（共14小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设ar，且a0，则a1是的（）a既不充分也不必要条件b必要但不充分条件c充要条件d充分但不必要条件2（5分）已知命题p：xr，2x0；命题q：在曲线y=cosx上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是（）ap是假命题bq是真命题cp（q）是真命题d（p）q是真命题3（5分）若f（x0）=2，则等于（）a1b2c1d4（5分）曲线y=4xx3在点（1，3）处的切线方程是（）ay=7x+4by=7x+2cy=x4dy=x25观察按下列顺序排序的等式：90+1=1，91+2=11，92+3=21，93+4=31，猜想第n（nn*）个等式应为（）a9（n+1）+n=10n+9b9（n1）+n=10n9c9n+（n1）=10n1d9（n1）+（n1）=10n106（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）ay=2xbcd7（5分）过椭圆（ab0）的一个焦点f作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（）ab3cd8（5分）设余弦曲线y=cosx上一点p，以点p为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）a0，）b0，c0，）d，9（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（）若pq为真命题，则pq为真命题“x5”是“x24x50”的充分不必要条件命题p：xr，使得x2+x10，则p：xr，使得x2+x10命题“若x23x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x+20”a1b2c3d410（5分）已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆g上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆g的方程为（）a+=1b+=1c+=1d+=111利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n13（2n1），nn*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）a2k+1bcd12（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为f1，f2，过f2作双曲线c的一条渐近线的垂线，垂足为h，若f2h的中点m在双曲线c上，则双曲线c的离心率为（）abc2d313（5分）已知条件p：x22ax+a210，条件q：x2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）aa1ba1ca3da314（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，则f（2）的值等于（）a2b2cd二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）15（5分）若命题“xr，x2+ax+10”是真命题，则实数a的取值范围是16（5分）曲线y=在点m（，）处的切线斜率为17（5分）已知圆c过点（0，1），且圆心在x轴负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为则圆c的标准方程为18（5分）已知直线axby3=0与f（x）=xex在点p（1，e）处的切线相互垂直，则=三、解答题（共9小题，满分70分）19（10分）（文）（1）设命题p：若a0，则x2+xa=0有实根试写出命题p的逆否命题并判断真假；（2）设命题p：函数y=kx+1在r上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k3）x+1与x轴交于不同的两点，如果pq是真命题，求k的取值范围20（理）（1）求证：当a2时，+2；（2）已知xr，a=x2+，b=2x，c=x2x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于121（10分）设命题 p：x0r，x02+2ax0a=0；命题q：xr，ax2+4x+a2x2+1如果命题“pq为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围22（12分）已知曲线y=x3+x2在点p0处的切线l1平行直线4xy1=0，且点p0在第三象限，（1）求p0的坐标；（2）若直线ll1，且l也过切点p0，求直线l的方程23（12分）（文）已知函数f（x）=k（x1）ex+x2（1）求导函数f（x）；（2）当k=时，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程24（理）设函数f（x）=aexlnx+，（1）求导函数f（x）（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=e（x1）+2求a，b25（12分）已知抛物线：y2=4x，（1）直线l：y=kx+1与抛物线有且仅有一个公共点，求实数k的值；（2）定点a（2，0），p为抛物线上任意一点，求线段长|pa|的最小值26在数列an中，a1=6，且anan1=+n+1（nn*，n2），（1）求a2，a3，a4的值；（2）猜测数列an的通项公式，并用数学归纳法证明27（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）过点（1，），且长轴长等于4（）求椭圆c的方程；（）f1，f2是椭圆c的两个焦点，o是以f1，f2为直径的圆，直线l：y=kx+m与o相切，并与椭圆c交于不同的两点a，b，若=，求k的值江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘中学2014-2015学年高二上学期1月联考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共14小题，每小题5分，满分60分）1（5分）设ar，且a0，则a1是的（）a既不充分也不必要条件b必要但不充分条件c充要条件d充分但不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：规律型分析：结合不等式解法，利用充分条件和必要条件的定义进行判断解答：解：若a1，则0成立当a=1时，满足，但a1不成立a1是的充分不必要条件故选：d点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础2（5分）已知命题p：xr，2x0；命题q：在曲线y=cosx上存在斜率为的切线，则下列判断正确的是（）ap是假命题bq是真命题cp（q）是真命题d（p）q是真命题考点：复合命题的真假 专题：导数的综合应用；简易逻辑分析：根据指数函数的值域，函数在切点处的导数等于过该点的切线斜率即可判断出p是真命题，q是假命题，所以c正确解答：解：根据指数函数的值域知，命题p是真命题；根据“在切点处的导数值即为切线斜率”，设切点为（x0，cosx0），过该点的切线斜率为k；y=sinx；k=sinx0，即：不存在x0r，使；命题q为假命题；q为真命题，；p（q）是真命题，即c正确；故选c点评：考查指数函数的值域，函数在切点处的导数值等于过该点的切线斜率，以及q，pq真假和p，q真假的关系3（5分）若f（x0）=2，则等于（）a1b2c1d考点：极限及其运算 专题：极限思想分析：首先应该紧扣函数在一点导数的概念，由概念的应用直接列出等式，与式子对比求解解答：解析：因为f（x0）=2，由导数的定义即=2=1所以答案选择a点评：此题主要考查函数在一点导数的概念的应用，属于记忆理解性的问题，这类题目属于最基础性的4（5分）曲线y=4xx3在点（1，3）处的切线方程是（）ay=7x+4by=7x+2cy=x4dy=x2考点：导数的几何意义 分析：已知点（1，3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程解答：解：y=4xx3，yx=1=43x2x=1=1，曲线在点（1，3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x2，故选d点评：本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可5观察按下列顺序排序的等式：90+1=1，91+2=11，92+3=21，93+4=31，猜想第n（nn*）个等式应为（）a9（n+1）+n=10n+9b9（n1）+n=10n9c9n+（n1）=10n1d9（n1）+（n1）=10n10考点：归纳推理 专题：探究型分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及各个部分与式子编号之间的关系，易得等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，归纳后即可推断出第n（nn*）个等式解答：解：由已知中的式了，我们观察后分析：等式左边分别为9与编号减1的积加上编号，等式右边的是一个等差数列，根据已知可以推断：第n（nn*）个等式为：9（n1）+n=10n9故选b点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）6（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）ay=2xbcd考点：双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程解答：解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=x故选b点评：本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力7（5分）过椭圆（ab0）的一个焦点f作垂直于长轴的椭圆的弦，则此弦长为（）ab3cd考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用椭圆的标准方程即可得出c，进而得出弦ab的坐标及弦长解答：解：由椭圆（ab0），可得a2=4，b2=3，=1不妨取焦点f（1，0），过焦点f作垂直于长轴的椭圆的弦为ab，解得弦长|ab|=3故选b点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质是解题的关键8（5分）设余弦曲线y=cosx上一点p，以点p为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是（）a0，）b0，c0，）d，考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出原函数的导函数，得到切线的斜率的范围，由倾斜角的正切值等于斜率可得直线倾斜角的范围解答：解：设p（x0，y0），由y=cosx，得，则，以点p为切点的切线的斜率范围是，设倾斜角为，则tan0或故选：b点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题9（5分）下列有关命题的叙述，错误的个数为（）若pq为真命题，则pq为真命题“x5”是“x24x50”的充分不必要条件命题p：xr，使得x2+x10，则p：xr，使得x2+x10命题“若x23x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x+20”a1b2c3d4考点：特称命题；全称命题 专题：常规题型；计算题分析：直接利用复合命题的真假判断的正误；利用充要条件判断的正误；特称命题的否定判断的正误；四种命题的逆否关系判断的正误解答：解：若pq为真命题，p或q一真命题就真，而pq为真命题，必须两个命题都是真命题，所以不正确“x5”是“x24x50”的充分不必要条件，满足前者推出后者，对数后者推不出前者，所以正确命题p：xr，使得x2+x10，则p：xr，使得x2+x10；满足特称命题的否定形式，所以正确命题“若x23x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x1或x2，则x23x+20”不满足逆否命题的形式，正确应为“若x1且x2，则x23x+20”所以只有正确故选b点评：本题考查命题真假的判断，充要条件关系的判断，命题的否定等知识，考查基本知识的应用10（5分）已知椭圆g的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆g上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆g的方程为（）a+=1b+=1c+=1d+=1考点：椭圆的标准方程 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设椭圆g的方程为+=1（ab0），根据椭圆的定义得2a=12，算出a=6再由离心率的公式建立关于a、b的等式，化简为关于b的方程解出b2=9，即可得出椭圆g的方程解答：解：设椭圆g的方程为+=1（ab0），椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，根据椭圆的定义得2a=12，可得a=6又椭圆的离心率为，e=，即=，解之得b2=9，由此可得椭圆g的方程为=1故选：c点评：本题给出椭圆g满足的条件，求椭圆g的标准方程着重考查了椭圆的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于基础题11利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）（n+n）=2n13（2n1），nn*”时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（）a2k+1bcd考点：数学归纳法 专题：计算题分析：根据已知等式，分别考虑n=k、n=k+1时的左边因式，比较增加与减少的项，从而得解解答：解：由题意，n=k 时，左边为（k+1）（k+2）（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3）（k+1+k+1）； 从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1），故选c点评：本题以等式为载体，考查数学归纳法，考查从“n=k”变到“n=k+1”时，左边变化的项，属于中档题12（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为f1，f2，过f2作双曲线c的一条渐近线的垂线，垂足为h，若f2h的中点m在双曲线c上，则双曲线c的离心率为（）abc2d3考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：设一渐近线方程为 y= x，则f2h的方程为 y0=k（xc），代入渐近线方程 求得h的坐标，有中点公式求得中点m的坐标，再把点m的坐标代入双曲线求得离心率解答：解：由题意可知，一渐近线方程为 y= x，则f2h的方程为 y0=k（xc），代入渐近线方程 y= x 可得h的坐标为 （， ），故f2h的中点m （， ），根据中点m在双曲线c上，=1，=2，故 =，故选 a点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出f2h的中点m的坐标是解题的关键13（5分）已知条件p：x22ax+a210，条件q：x2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（）aa1ba1ca3da3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：把充分性问题转化为结合关系，再利用不等式求解解答：解：条件p：x22ax+a210，条件q：x2，且q是p的充分而不必要条件，qp，即a2且44a+a210解不等式组可得：a1故选：b点评：本题考察了函数、不等式、简易逻辑等问题，综合性较大14（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，则f（2）的值等于（）a2b2cd考点：导数的加法与减法法则 专题：导数的概念及应用分析：对等式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，求导数，然后令x=2，即可求出f（2）的值解答：解：f（x）=x2+3xf（2）+lnx，f（x）=2x+3f（2）+，令x=2，则f（2）=4+3f（2）+，即2f（2）=，f（2）=故选：d点评：本题主要考查导数的计算，要注意f（2）是个常数，通过求导构造关于f（2）的方程是解决本题的关键二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）15（5分）若命题“xr，x2+ax+10”是真命题，则实数a的取值范围是（，2）（2，+）考点：特称命题 专题：计算题；转化思想分析：根据所给的特称命题的否定任意实数x，使x2+ax+10，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可解答：解：命题“存在实数x，使x2+ax+10”的否定是任意实数x，使x2+ax+10，命题否定是假命题，=a240a2或a2故答案为：（，2）（2，+）点评：本题考查命题的真假，命题与命题的否定的真假相反，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个假命题，得到判别式的情况16（5分）曲线y=在点m（，）处的切线斜率为考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：利用导数的运算法则、几何意义即可得出解答：解：y=，当x=时，y=故答案为：点评：本题考查了导数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17（5分）已知圆c过点（0，1），且圆心在x轴负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为则圆c的标准方程为（x+1）2+y2=2考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：根据题意设圆心c坐标为（x，0），根据圆c过（0，1），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆c的标准方程即可解答：解：设圆心c（x，0），则圆的半径r=|bc|=，圆心c到直线l的距离|cd|=，弦长|ab|=2，则r=，整理得：x=3（不合题意，舍去）或x=1，圆心c（1，0），半径为，则圆c方程为（x+1）2+y2=2故答案为：（x+1）2+y2=2点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，熟练掌握公式及定理是解本题的关键18（5分）已知直线axby3=0与f（x）=xex在点p（1，e）处的切线相互垂直，则=考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：由导数的几何意义可求曲线f（x）=xex在（1，e）处的切线斜率k，然后根据直线垂直的条件可求的值解答：解：设曲线f（x）=xex在点p（1，e）处的切线斜率为k，由f（x）=xex，得f（x）=ex+xex，则k=f（1）=2e，直线axby2=0与曲线f（x）=xex在点p（1，e）处的切线互相垂直=故答案为：点评：本题主要考查了导数的几何意义：曲线在点（x0，y0）处的切线斜率即为该点处的导数值，两直线垂直的条件的运用属于中档题三、解答题（共9小题，满分70分）19（10分）（文）（1）设命题p：若a0，则x2+xa=0有实根试写出命题p的逆否命题并判断真假；（2）设命题p：函数y=kx+1在r上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k3）x+1与x轴交于不同的两点，如果pq是真命题，求k的取值范围考点：复合命题的真假；四种命题 专题：简易逻辑分析：（1）根据逆否命题的定义和关系即可得到结论；（2）若pq是真命题，则等价为p，q都是真命题，进行判断求解即可解答：解：（1）设命题p的逆否命题为：若x2+xa=0无实根，则a0若方程无实数根，则判别式=1+4a0，解得a，故a0成立，逆否命题为真命题（2）pq是真命题，p，q都是真命题，若函数y=kx+1在r上是增函数，则k0，若y=x2+（2k3）x+1与x轴交于不同的两点，则（2k3）240，解得k或k，故k的取值范围是k或0k点评：本题主要考查四种命题之间的关系以及复合命题之间的应用根据命题关系求出对应的等价条件是解决本题的关键20（理）（1）求证：当a2时，+2；（2）已知xr，a=x2+，b=2x，c=x2x+1，试证明a，b，c至少有一个不小于1考点：反证法与放缩法 专题：证明题；反证法分析：（1）利用分析法，即可证明；（2）根据题意，首先假设命题错误，即假设a，b，c均小于1，进而可得a+b+c3，再分析a、b、c三项的和，可得矛盾，即可证原命题成立解答：证明：（1）当a2时，要证成立只需证（2分）即证也就是证明a24a2即只需证40（4分）由于40显然成立，则原不等式成立（5分）（2）假设a，b，c没有一个不小于1，也即a1，b1，c1则有a+b+c3（7分）将a，b，c带入得a+b+c=x2+2x+x2x+1=（9分）与a+b+c3矛盾则原命题成立（10分）点评：本题考查反证法的运用，注意用反证法时，需要首先否定原命题，特别是带至少、最多词语一类的否定21（10分）设命题 p：x0r，x02+2ax0a=0；命题q：xr，ax2+4x+a2x2+1如果命题“pq为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围考点：复合命题的真假 专题：计算题；简易逻辑分析：由题意，命题p与命题q一真一假，化简命题p与命题q为真时实数a的取值范围，从而求得解答：解：当命题p为真时，=4a2+4a0，则a0或a1，当命题q为真时，（a+2）x2+4x+a10恒成立，则a+20，且164（a+2）（a1）0，即a2由题意可得，命题p与命题q一真一假，当p真q假时，a1或0a2，当p假q真时，无解，则实数a的取值范围为（，10，2）点评：本题考查了复合命题真假性的应用，属于基础题22（12分）已知曲线y=x3+x2在点p0处的切线l1平行直线4xy1=0，且点p0在第三象限，（1）求p0的坐标；（2）若直线ll1，且l也过切点p0，求直线l的方程考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：综合题分析：（1）根据曲线方程求出导函数，因为已知直线4xy1=0的斜率为4，根据切线与已知直线平行得到斜率相等都为4，所以令导函数等于4得到关于x的方程，求出方程的解，即为切点p0的横坐标，代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，又因为切点在第3象限，进而写出满足题意的切点的坐标；（2）由直线l1的斜率为4，根据两直线垂直时斜率的乘积为1，得到直线l的斜率为，又根据（1）中求得的切点坐标，写出直线l的方程即可解答：解：（1）由y=x3+x2，得y=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=1当x=1时，y=0；当x=1时，y=4又点p0在第三象限，切点p0的坐标为（1，4）；（2）直线 ll1，l1的斜率为4，直线l的斜率为，l过切点p0，点p0的坐标为（1，4）直线l的方程为y+4=（x+1）即x+4y+17=0点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据一点和斜率写出直线的方程，是一道中档题23（12分）（文）已知函数f（x）=k（x1）ex+x2（1）求导函数f（x）；（2）当k=时，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数的运算法则即可得出；（2）利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式即可得出解答：解：（1）f（x）=kex+k（x1）ex+2x=kxex+2x（2），则切线的斜率为函数f（x）在点（1，1）处的切线方程为xy=0点评：本题考查了导数的运算法则、几何意义、切线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题24（理）设函数f（x）=aexlnx+，（1）求导函数f（x）（2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=e（x1）+2求a，b考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算 专题：导数的综合应用分析：（1）直接利用导数的运算法则及基本初等函数的导数公式求得导函数f（x）；（2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上，把x=1代入切线方程求得切点的纵坐标，再代入原函数求得b的值，然后由f（x）在x=1时的导数值求得a解答：解：（1）由f（x）=aexlnx+，得=；（2）由于切点既在函数曲线上，又在切线上，将x=1代入切线方程得：y=2将x=1代入函数f（x）得：f（1）=bb=1将x=1代入导函数，则f（1）=ae=ea=1点评：本题考查了导数的运算法则，考查了简单的复合函数的导数，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，是中低档题25（12分）已知抛物线：y2=4x，（1）直线l：y=kx+1与抛物线有且仅有一个公共点，求实数k的值；（2）定点a（2，0），p为抛物线上任意一点，求线段长|pa|的最小值考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）联立，k2x2+（2k4）x+1=0，对k分类讨论：当k=0；当k0时，由=0即可得出（2）设p（x，y），则|p