高中数学 第一章 数列 1.2 等差数列 1.2.2.2 等差数列前n项和的性质课件 北师大版必修5.ppt

第2课时等差数列前n项和的性质 1 掌握等差数列与其前n项和sn有关的性质 并能熟练运用这些性质解题 2 掌握等差数列与函数之间的关系 1 等差数列前n项和的性质 1 在等差数列 an 中 每m项的和a1 a2 am am 1 am 2 a2m a2m 1 a2m 2 a3m 仍为等差数列 即sm s2m sm s3m s2m 仍为等差数列 2 在等差数列 an 中 公差为d s奇表示奇数项的和 s偶表示偶数项的和 当n为奇数时 做一做1 已知等差数列 an 共有10项 其奇数项之和为15 偶数项之和为30 则其公差d为 a 5b 4c 3d 2解析 解法一 由题意得 s偶 s奇 5d 15 所以d 3 答案 c 2 等差数列 an 的前n项和sn的最值首先要明确 此类问题一定是针对变号的等差数列而言 因为当公差d 0时 等差数列一定是单调数列 所以只有一个变号点 常用方法如下 1 定义法 sn a1 a2 an 从等差数列的单调性分析sn值的变化 当a1 0 d0时 sn 1sn 1 递减 类似地 当a10时 n为使an 0成立的最大自然数时 sn最小 做一做2 1 已知等差数列 an 中 a3 a9 公差d 0 则使前n项和sn取得最大值的自然数n是 解析 a3 a9 且d 0 a3 a9 a3 a9 0 即a6 0 使前n项和sn取得最大值的自然数n是5或6 答案 5或6 做一做2 2 在等差数列 an 中 若a1 11 a4 5 则当前n项和sn取最小值时 n 5 5 n 6 5 又n n n 6 答案 6 题型一 题型二 题型三 题型一等差数列前n项和的性质 例1 1 项数为奇数的等差数列 奇数项之和为44 偶数项之和为33 求这个数列的中间项及项数 2 一个等差数列的前10项之和为100 前100项之和为10 求前110项之和 分析 1 考查等差数列奇数项 偶数项 特殊项和项数之间的关系 2 本题基本解法是求a1 d或令sn an2 bn 求sn再求s110 或利用性质 题型一 题型二 题型三 解 1 设等差数列 an 共有2n 1项 则奇数项有n项 偶数项共有n 1项 中间项为an s奇 s偶 an 44 33 an 11 这个数列 an 的中间项为11 项数为7 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思若 an 是等差数列 sn是前n项和 则 1 sn s2n sn s3n s2n 成等差数列 题型一 题型二 题型三 变式训练1 已知等差数列 an 共有12项 且前12项的和为144 其中偶数项的和比奇数项的和大12 求s奇 s偶及公差d 题型一 题型二 题型三 题型二等差数列前n项和的最值问题 例2 在等差数列 an 中 a1 25 s17 s9 求前n项和sn的最大值 分析 建立sn关于n的二次函数式 利用二次函数求最大值 也可确定an 0 an 1 0时n的值 从而确定sn的最大值 题型一 题型二 题型三 解法三 先求出d 2 同解法一 由s17 s9 得a10 a11 a17 0 而a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 故a13 a14 0 d 20 a13 0 a14 0 故当n 13时 sn取得最大值169 题型一 题型二 题型三 反思在等差数列中 求sn的最大 小 值 其思路是找出某一项ai 使这一项及它前面的各项皆取正 负 值或零 而它后面的各项皆取负 正 值 则从第1项起到该项的和为最大 小 值 题型一 题型二 题型三 变式训练2 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知a3 12 且s12 0 s130 s13 0 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型三易错辨析易错点 对等差数列前n项和的性质理解不清致误 例3 等差数列 an 的前m项的和为30 前2m项的和为100 则它的前3m项的和为 a 130b 170c 210d 260错解 a或b错因分析 本题容易错选a或b 由数列 an 是等差数列 错误地认为s3m sm s2m 从而得出s3m 130 故错选a 由数列 an 是等差数列 错误地认为sm s2m s3m仍成等差数列 从而得出s3m 170 故错选b sm s2m sm s3m s2m成等差数列 而不是sm s2m s3m成等差数列 题型一 题型二 题型三 正解 解法一 取特殊值m 1 sm s1 a1 30 s2m s2 a1 a2 100 则s3m s3 a1 a2 a3 3a2 3 s2 s1 210 解法二 由题意可知sm s2m sm s3m s2m成等差数列 s3m s2m s2m sm 2 sm 100 30 2 30 110 s3m s2m 110 100 110 210 答案 c 1 2 3 4 a 5b 6c 5或6d 6或7 该数列是等差数列 公差d 0 a1 a11 0 a1 a11 0 a6 0 s5或s6最大 答案 c 1 2 3 4 2在等差数列 an 中 sn是其前n项和 且s2011 s2015 sk s2009 则正整数k为 a 2014b 2015c 2016d 2017 解析 因为等差数列的前n项和sn可看成是关于n的二次函数 所以由二次函数的对称性及s2011 s2015 sk s2009 答案 d 1 2 3 4 3