湖北省襄阳市枣阳七中高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

湖北省襄阳市枣阳七中2014-2015学年高 二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1函数f（x）=2xlog2e2lnxax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）a （1，3）b （1，2）c （0，3）d （0，2）2下列命题中是真命题的是（）a 对xr，x2xb 对xr，x2xc 对xr，yr，y2xd xr，对yr，xy=x3若复数（1i）（a+i）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（）a 2b 1c 1d 24现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）a 24b 64c 81d 485已知函数，则f（2）的最小值为（）a b 16c d 6设抛物线c：y2=4x的焦点为f，直线l过f且与c交于a，b两点若|af|=3|bf|，则l的方程为（）a y=x1或y=x+1b y=（x1）或 y=（x1）c y=（x1）或 y=（x1）d y=（x1）或 y=（x1）7设m3，对于数列an （n=1，2，m，），令bk为a1，a2，ak中的最大值，称数列 bn 为an 的“递进上限数列”例如数列2，1，3，7，5的递进上限数列为2，2，3，7，7则下面命题中若数列an 满足an+3=an，则数列an 的递进上限数列必是常数列；等差数列an 的递进上限数列一定仍是等差数列等比数列an 的递进上限数列一定仍是等比数列正确命题的个数是（）a 0b 1c 2d 38已知随机变量服从正态分布n（2，2），且p（4）=0.8，则p（02）=（）a 0.6b 0.4c 0.3d 0.29若p是真命题，q是假命题，则（）a pq是真命题b pq是假命题c p是真命题d q是真命题10设点p（x，y），则“x=2且y=1”是“点p在直线l：x+y1=0上”的（）a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11函数y=f（x）在定义域（2，4）内可导，其图象如图所示，设函数f（x）的导函数为f（x），则不等式f（x）0的解集为12函数y=x3+x25x5的单调递增区间是13设ar，则“a1”是“a21”成立的条件（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）14二项式展开式中的第项是常数项15（x+）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第项三、解答题（75分）16设复数z满足|z|=1，且（3+4i）z是纯虚数，求17命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0；命题q：实数x满足x2x60或x2+2x80；若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围18已知函数f（x）=alnx+bx（a，br），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x2y2=0（）求f（x）的解析式；（）当x1时，f（x）+0恒成立，求实数k的取值范围19已知直线l：y=kx+1（k0）与椭圆3x2+y2=a相交于a、b两个不同的点，记l与y轴的交点为c（）若k=1，且|ab|=，求实数a的值；（）若=2，求aob面积的最大值，及此时椭圆的方程20已知函数f（x）=x（xm）（xn）（i）当n=2时，若函数f（x）在1，3上单调递减，求实数m的取值范围；（ii）若mn0，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线f（x）均相切，求m和n的值21已知r，函数f（x）=lnx，其中x1，+）（）当=2时，求f（x）的最小值；（）在函数y=lnx的图象上取点pn（n，lnn）（nn*），记线段pnpn+1的斜率为kn，sn=+对任意正整数n，试证明：（）sn； （）sn湖北省襄阳市枣阳七中2014-2015学年高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10题，每题5分，共计50分）1函数f（x）=2xlog2e2lnxax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（）a （1，3）b （1，2）c （0，3）d （0，2）考点：利用导数研究函数的极值专题：计算题；导数的综合应用分析：求导f（x）=2x2a，注意到其在（1，2）上是增函数，故可得f（1）f（2）0，从而解得解答：解：f（x）=2x2a在（1，2）上是增函数，若使函数f（x）=2xlog2e2lnxax+3的一个极值点在区间（1，2）内，则f（1）f（2）0，即（a）（3a）0，解得，0a3，故选c点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了极值的定义，属于中档题2下列命题中是真命题的是（）a 对xr，x2xb 对xr，x2xc 对xr，yr，y2xd xr，对yr，xy=x考点：四种命题的真假关系专题：计算题分析：对于所给的四个命题，可以看出，当x=时，不等式不成立，a不正确；当x=0时，不等式不成立，b不正确；当x是负数时，不等式不成立，c不正确，当x=0时，不管y取什么值，等式都成立，d正确解答：解：a不正确，当x=时，不等式不成立；b不正确，当x=0时，不等式不成立，c不正确，当x是负数时，不等式不成立，d正确，当x=0时，不管y取什么值，等式都成立故选d点评：本题考查四种命题的真假关系，是一个基础题，这种命题的判断，对于假命题，只要举出一个反例，说明它不正确，对于正确的命题，需要加以证明3若复数（1i）（a+i）是实数（i是虚数单位），则实数a的值为（）a 2b 1c 1d 2考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念专题：计算题分析：由已知中复数（1i）（a+i）是实数（i是虚数单位），我们可以根据该复数的虚部为0，构造出一个关于a的方程，解方程即可得到实数a的值解答：解：复数（1i）（a+i）=（a+1）+（1a）i又由已知中复数（1i）（a+i）是实数则1a=0即a=1故选c点评：本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，及复数的基本概念，其中根据一个复数为实数，则该复数的虚部为0，构造出一个关于a的方程，是解答本题的关键4现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）a 24b 64c 81d 48考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题；概率与统计分析：4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，实际上是有4个人选择座位，且每人有3种选择方法，根据分步计数原理得到结果解答：解：每位同学均有3种讲座可选择，4位同学共有3333=81种，故选c点评：本题考查分步计数原理，解题的关键是看清题目的实质，分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成5已知函数，则f（2）的最小值为（）a b 16c d 考点：基本不等式专题：计算题分析：由基本不等式a+b2（a0，b0）易于作答解答：解：由题意知f（2）=8+8a+8+24=16（a0），所以f（2）的最小值为16故选b点评：本题考查基本不等式a+b2（a0，b0）6设抛物线c：y2=4x的焦点为f，直线l过f且与c交于a，b两点若|af|=3|bf|，则l的方程为（）a y=x1或y=x+1b y=（x1）或 y=（x1）c y=（x1）或 y=（x1）d y=（x1）或 y=（x1）考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题意，可得抛物线焦点为f（1，0），由此设直线l方程为y=k（x1），与抛物线方程联解消去x，得yk=0再设a（x1，y1），b（x2，y2），由根与系数的关系和|af|=3|bf|，建立关于y1、y2和k的方程组，解之可得k值，从而得到直线l的方程解答：解：抛物线c方程为y2=4x，可得它的焦点为f（1，0），设直线l方程为y=k（x1）由消去x，得yk=0设a（x1，y1），b（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=4（*）|af|=3|bf|，y1+3y2=0，可得y1=3y2，代入（*）得2y2=且3y22=4，消去y2得k2=3，解之得k=直线l方程为y=（x1）或y=（x1）故选：c点评：本题给出抛物线的焦点弦ab被焦点f分成1：3的两部分，求直线ab的方程，着重考查了抛物线的标准方程、简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题7设m3，对于数列an （n=1，2，m，），令bk为a1，a2，ak中的最大值，称数列 bn 为an 的“递进上限数列”例如数列2，1，3，7，5的递进上限数列为2，2，3，7，7则下面命题中若数列an 满足an+3=an，则数列an 的递进上限数列必是常数列；等差数列an 的递进上限数列一定仍是等差数列等比数列an 的递进上限数列一定仍是等比数列正确命题的个数是（）a 0b 1c 2d 3考点：命题的真假判断与应用；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：举出反例数列an 的前三项分别为1，2，3，可判断；分类讨论等差数列的递进上限数列是否是等差数列，综合讨论结果，可判断；举出反例数列an 的首项为1，公比为2，可判断解答：解：若数列an 的前三项分别为1，2，3，则数列an 的递进上限数列是1，2，3，3，3，不是常数列，故错误； 若等差数列的公差d0，则数列an 的递进上限数列是各项均为a1 的常数列，满足要求，若等差数列的公差d0，则数列an 的递进上限数列是数列an，满足要求，故正确；若等比数列an 的首项为1，公比为2，则数列an 的递进上限数列是，1，1，4，4，16，不是等比数列，故错误；故正确的命题有1个故选：b点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了等差数列与等比数列，真正理解新定义“递进上限数列”是解答的关键8已知随机变量服从正态分布n（2，2），且p（4）=0.8，则p（02）=（）a 0.6b 0.4c 0.3d 0.2考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：计算题分析：根据随机变量x服从正态分布n（2，2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=2，根据正态曲线的特点，得到p（02）=p（04），得到结果解答：解：随机变量x服从正态分布n（2，2），=2，得对称轴是x=2p（4）=0.8p（4）=p（0）=0.2，p（04）=0.6p（02）=0.3故选c点评：本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=，并在x=时取最大值 从x=点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的9若p是真命题，q是假命题，则（）a pq是真命题b pq是假命题c p是真命题d q是真命题考点：复合命题的真假专题：简易逻辑分析：根据题意，由复合命题真假表，依次分析选项即可作出判断解答：解：p是真命题，q是假命题，pq是假命题，选项a错误；pq是真命题，选项b错误；p是假命题，选项c错误；q是真命题，选项d正确故选d点评：本题考查复合命题的真假情况10设点p（x，y），则“x=2且y=1”是“点p在直线l：x+y1=0上”的（）a 充分而不必要条件b 必要而不充分条件c 充分必要条件d 既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：直线与圆分析：当x=2且y=1”可以得到“点p在直线l：x+y1=0上”，当点p在直线l：x+y1=0上时，不一定得到x=2且y=1，得到x=2且y=1”是“点p在直线l：x+y1=0上”的充分不必要条件解答：解：x=2且y=1”可以得到“点p在直线l：x+y1=0上”，当“点p在直线l：x+y1=0上”时，不一定得到x=2且y=1，“x=2且y=1”是“点p在直线l：x+y1=0上”的充分不必要条件，故选a点评：本题考查条件问题，本题解题的关键是看出点p在直线l：x+y1=0上时，不能确定这个点的坐标的大小，本题是一个基础题二、填空题（本大题共5题，每题5分，共计25分）11函数y=f（x）在定义域（2，4）内可导，其图象如图所示，设函数f（x）的导函数为f（x），则不等式f（x）0的解集为（2，）（，2）考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：通过图象得出函数的单调递增区间，从而求出不等式的解集解答：解：由图象得：f（x）在（2，），（，2）递增，在（2，），（，2）上f（x）0，故f（x）0的解集是：（2，）（，2），故答案为：（2，）（，2）点评：本题考查了函数的单调性，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道基础题12函数y=x3+x25x5的单调递增区间是考点：利用导数研究函数的单调性分析：先对函数进行求导，然后令导函数大于0求出x的范围即可解答：解：y=x3+x25x5y=3x2+2x5令y=3x2+2x50 解得：x，x1故答案为：（，），（1，+）点评：本题主要考查导函数的正负和原函数的单调性的关系属基础题13设ar，则“a1”是“a21”成立的必要不充分条件（填充分不必要，必要不充分，充要条件或既不充分也不必要）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：计算题分析：利用不等式的性质和充分必要条件的定义进行求解；解答：解：a21”，可得1a1，a21a1，若a1，可以取a=2，可得（2）2=41，“a1”是“a21”成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分；点评：此题主要考查不等式的基本性质和充分必要条件，是一道基础题；14二项式展开式中的第九项是常数项考点：二项式系数的性质专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项解答：解：二项式的通项为tr+1=（x2）10r（）r=2r x，令 =0得r=8，故展开式中的常数项是第9项故答案为：九点评：本题考查二项展开式的通项公式，它是解决二项展开式的特定项问题的工具15（x+）n的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是第4项考点：二项式定理的应用专题：二项式定理分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得展开式中的常数项解答：解：由题意可得，cn2cn1=44，可求n=11，故（x+）n的展开式的通项公式为tr+1=，令 =0，求得r=3，可得展开式中的常数项是第第四项，故答案为：4点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题三、解答题（75分）16设复数z满足|z|=1，且（3+4i）z是纯虚数，求考点：复数的基本概念；复数求模专题：数系的扩充和复数分析：设出复数z，|z|=1可得一个方程，化简（3+4i）z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求解答：解：设z=a+bi，（a，br），由|z|=1得；（3+4i）z=（3+4i）（a+bi）=3a4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a4b=0，点评：本题考查复数的基本概念，复数的模，是基础题17命题p：实数x满足x24ax+3a20，其中a0；命题q：实数x满足x2x60或x2+2x80；若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用专题：计算题分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围解答：解：x24ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a0，则x24ax+3a20的解集为（3a，a），故命题p成立有x（3a，a）；由x2x60得x2，3，由x2+2x80得x（，4）（2，+），故命题q成立有x（，4）2，+）若p是q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）（，4）或（3a，a）2，+），又a0，解得a4或；故a的范围是a4或点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用18已知函数f（x）=alnx+bx（a，br），曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为x2y2=0（）求f（x）的解析式；（）当x1时，f（x）+0恒成立，求实数k的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：（）求导数得f（x）=+b，由导数几何意义得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为k=f（1）=，且f（1）=，联立求得a=1，b=，从而确定f（x）的解析式；（）由（）知，不等式等价于lnx+0，参变分离为kxlnx，利用导数求右侧函数的最小值即可解答：解：（）f（x）=alnx+bx，f（x）=+b直线x2y2=0的斜率为，且曲线y=f（x）过点（1，），即解得a=1，b=所以f（x）=lnxx； （）由（）得当x1时，f（x）+0恒成立即lnx+0，等价于kxlnx令g（x）=xlnx，则g（x）=x1lnx令h（x）=x1lnx，则h（x）=1当x1时，h（x）0，函数h（x）在（1，+）上单调递增，故h（x）h（1）=0从而，当x1时，g（x）0，即函数g（x）在（1，+）上单调递增，故g（x）g（1）=因此，当x1时，kxlnx恒成立，则kk的取值范围是（，点评：本题考查了导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，及恒成立问题的应用，属于中档题19已知直线l：y=kx+1（k0）与椭圆3x2+y2=a相交于a、b两个不同的点，记l与y轴的交点为c（）若k=1，且|ab|=，求实数a的值；（）若=2，求aob面积的最大值，及此时椭圆的方程考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|ab|=，即可求实数a的值；（）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可解答：解：设a（x1，y1），b（x2，y2），（）由得4x2+2x+1a=0，则x1+x2=，x1x2=，则|ab|=，解得a=2（）由，得（3+k2）x2+2kx+1a=0，则x1+x2=，x1x2=，由=2得（x1，1y1）=2（x2，y21），解得x1=2x2，代入上式得：x1+x2=x2=，则x2=，=，当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=2x22=2，又x1x2=，则=，解得a=5所以，aob面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5点评：本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键20已知函数f（x）=x（xm）（xn）（i）当n=2时，若函数f（x）在1，3上单调递减，求实数m的取值范围；（ii）若mn0，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线f（x）均相切，求m和n的值考点