高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.2 复数代数形式的乘除运算课件 新人教A版选修22.ppt

3 2 2复数代数形式的乘除运算 主题1复数的乘法1 多项式 a b c d 的运算结果是什么 提示 a b c d ac ad bc bd 2 在研究复数的乘法时 我们注意到复数的形式就像一个二项式 类比二项式乘二项式的法则 若z1 a bi z2 c di a b c d r 则z1 z2的结果是多少 提示 复数的乘法可以按照多项式乘法的运算方式来实施 z1 z2 a bi c di ac adi bci bdi2 ac bd ad bc i 3 多个复数的乘积运算遵循怎样的运算法则 提示 多个复数的乘积运算类似多项式相乘的规律 把复数逐一相乘 再分别合并实部 虚部 4 复数的乘法是否满足交换律 结合律 乘法对加法满足分配律吗 提示 三个运算律都满足 结论 1 复数的乘法法则设z1 a bi z2 c di a b c d r 则z1 z2 ac bd ad bc i 2 复数乘法运算律对任意复数z1 z2 z3 c 有 z2z1 z1 z2z3 z1z2 z1z3 微思考 复数的计算满足交换律 结合律等 那么指数幂的运算在复数中还成立吗 提示 成立 zm zn zm n zm n zmn z1 z2 m 主题2共轭复数及复数的除法1 复数z1 a bi与z2 a bi a b r 中实部与虚部有什么关系 提示 两复数实部相等 虚部互为相反数 2 试求z1 a bi z2 a bi的积 提示 z1z2 a bi a bi a2 b2 3 如何将 1 2i 3 4i 转化为两复数的乘积 提示 1 2i 3 4i 1 2i 1 2i 1 2i 1 2i 结论 1 共轭复数的定义当两个复数实部 虚部互为 时 这两个复数互为共轭复数 复数z的共轭复数记作且z z 2 2 相等 相反数 2 复数除法的法则 a bi c di c di 0 微思考 1 若z 0且z 0 则z是否为纯虚数 提示 是纯虚数 因为z 0 又实数的共轭是它本身 则由z 0且z 0知z不是实数 设z a bi a bi a b r b 0 和z 2a 0 所以a 0 故z为纯虚数 利用这个性质 可证明一个复数为纯虚数 2 复数共轭的共轭是否为复数本身 提示 根据复数的概念 复数共轭的共轭是复数本身 预习自测 1 若z1 x 2 yi与z2 3x i x y r 互为共轭复数 则z1对应的点在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 解析 选c 由z1与z2互为共轭复数 得解得所以z1 x 2 yi 3 i 所以z1对应的点在第三象限 2 已知复数z1 4 8i z2 6 9i 则 z1 z2 i的实部与虚部为 a 2 1b 1 2c 2 1d 1 2 解析 选d z1 z2 4 8i 6 9i 2 i 所以 z1 z2 i 2 i i 2i i2 1 2i 3 复数等于 a 2 ib ic 10 5id i 解析 选a 2 i 4 复数 1 2i i的实部为 解析 由于 1 2i i i 2i2 2 i 故知其实部为 2 答案 2 5 已知复数z 2 i i为虚数单位 则z的共轭复数为 解析 复数的共轭复数与原复数实部相同 虚部互为相反数 因此 2 i 答案 2 i 类型一复数的乘法与除法运算 典例1 1 2016 天津高考 已知a b r i是虚数单位 若 1 i 1 bi a 则 2 已知z是复数 z 2i 均为实数 i为虚数单位 且复数 z ai 2在复平面上对应的点在第一象限 求实数a的取值范围 解题指南 1 利用复数乘法和相等求出a b 再计算 2 设z x yi x y r 利用z 2i 为实数求出x和y 再利用 z ai 2对应点在第一象限 即实部和虚部都大于0 进行求解 解析 1 1 i 1 bi 1 b 1 b i a 所以解得所以 2 答案 2 2 设z x yi x y r 因为z 2i x y 2 i为实数 所以y 2 因为 x 2i 2 i 2x 2 x 4 i为实数 所以x 4 所以z 4 2i 因为 z ai 2 12 4a a2 8 a 2 i 根据条件 可知解得2 a 6 所以a的取值范围为 2 6 方法总结 复数乘除运算的常用技巧 1 按照复数的乘法法则 三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算 混合运算和实数的运算顺序一致 在计算时 若符合乘法公式 则可直接运用公式计算 2 根据复数的除法法则 通过分子 分母都乘以分母的共轭复数 使 分母实数化 这个过程与实数中的 分母有理化 类似 3 运算顺序 复数的运算顺序与实数的运算顺序相同 都是先进行高级运算 乘方 开方 再进行次级运算 乘 除 最后进行低级运算 加 减 如i的幂运算 先利用i的幂的周期性 将其次数降低 然后再进行四则运算 巩固训练 2017 全国甲卷 a 1 2ib 1 2ic 2 id 2 i 解析 选d 2 i 补偿训练 若复数 1 ai 2 i为虚数单位 是纯虚数 则实数a a 1b 1c 0d 1 解析 选d 因为复数 1 ai 2 i为虚数单位 是纯虚数 且 1 ai 2 1 a2 2ai 所以可得a 1 类型二共轭复数及其应用 典例2 1 2016 山东高考 若复数z 其中i为虚数单位 则 a 1 ib 1 ic 1 id 1 i 2 若f z 2z 3i f i 6 3i 求f z 解题指南 1 先去掉分母 再求其共轭复数 2 利用f z 把f i 表示出来 设z a bi a b r 再利用复数相等求出a和b 进而求出f z 解析 1 选b z 1 i 所以 1 i 2 因为f z 2z 3i 所以f i 2 i 3i 2 2i z i 3i 2 z 2i 又因为f i 6 3i 所以2 z 2i 6 3i 设z a bi a b r 则 a bi 所以2 a bi a bi 6 i 即3a bi 6 i 由复数相等的定义 得解得 所以z 2 i 故f z 2 2 i 2 i 3i 6 4i 方法总结 共轭复数的应用 1 求一个复数的共轭复数时 必须先将这个复数化为标准的代数形式 得到其实部与虚部后再据定义求得其共轭复数 2 进行复数除法运算时 主要采用分母实数化的方法 其实质就是将分式的分子 分母同乘以分母的共轭复数 根据公式z z 2 2进行化简并计算 巩固训练 已知z c 解方程z 3i 1 3i 解析 设z x yi x y r 将z x yi代入原方程 得 x yi x yi 3i x yi 1 3i 整理得 x2 y2 3y 3xi 1 3i 所以由 得x 1 将x 1代入 式得y 0或y 3 所以z 1或z 1 3i 补偿训练 如果复数z满足关系式z 2 i 那么z等于 解析 设z a bi a b r 则 a bi 所以a bi 2 i 所以得 解得所以z i 答案 i 类型三in的值的周期性及其应用 典例3 1 2015 湖北高考 i为虚数单位 i607的共轭复数为 a ib ic 1d 1 2 2015 福建高考 若集合a i i2 i3 i4 i是虚数单位 b 1 1 则a b等于 a 1 b 1 c 1 1 d 3 若复数z 求1 z z2 z2018的值 解题指南 1 复数的四则运算 共轭复数的概念 2 利用复数的周期性及集合之间的运算求解 3 先化简z 再利用等比数列的求和公式求解 解析 1 选a 因为i607 i2 303 i i 共轭复数为i 所以应选a 2 选c a i 1 i 1 b 1 1 a b 1 1 3 因为z 所以1 z z2 z2018 方法总结 简化复数运算的常用结论in n n 的周期性计算复数的乘积要用到虚数单位i的乘方 in有如下性质 i1 i i2 1 i3 i i2 i i4 i3 i i2 1 从而对于任何n n 有i4n 1 i4n i i4 n i i 同理可证i4n 2 1 i4n 3 i i4n 4 1 这就是说 如果n n 那么有i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i i4n 4 1 注意 1 上述公式中 说明in n n 具有周期性 且最小正周期是4 2 n可推广到整数集 3 4k k z 是in n n 的周期 显然in in 1 in 2 in 3 0 n n 因为in n n 具有周期性 解题时要灵活运用 或适当变形 创造条件转化为i的计算 一般地 有 1 i 2 2i 巩固训练 计算的结果为 a ib ic 1d 1 解析 选d 拓展类型 复数的综合应用 典例 1 若等比数列 zn 中 z1 1 z2 a bi z3 b ai a b r且a 0 则a b 2 设z是虚数 z 是实数 且 1 2 求 z 的值及z的实部的取值范围 解题指南 1 根据等比数列的性质列等式 由复数相等列方程组计算 2 按常规解法 设z x yi x y r 化简 z 找出实部 虚部可以列出的等量关系式求解 解析 1 因为z1 z2 z3成等比数列 所以 z1z3 即 a bi 2 b ai 所以a2 b2 2abi b ai 所以 a 0 解得答案 2 因为z是虚数 所以可设z x yi x y r 且y 0 所以因为 是实数且y 0 所以 所以x2 y2 1 即 z 1 此时 2x 因为 1 2 所以 1 2x 2 从而有 x 1 即z的实部的取值范围是 延伸探究 1 若本例 2 中条件不变 设u 证明u为纯虚数 证明 设z x yi x y r 且y 0 因为x y 0 所以 0 所以u为纯虚数 2 若本例 2 中条件不变 求的最小值 解析 设z x yi x y r 且y 0 则 因为 0 于是 2 x 1 3 2 3 1 当且仅当2 x 1 即x 0时等号成立 所以 的最小值为1 此时z i 方法总结 复数运算的综合问题解决方法在有关