高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.1课件 新人教A版选修23.ppt

2 2二项分布及其应用2 2 1条件概率 主题1条件概率的概念1 三张奖券中只有一张能中奖 现分别由三名同学无放回地抽取 问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小 提示 若抽到中奖奖券用 y 表示 没有抽到用 表示 那么三名同学的抽奖结果共有三种可能 用b表示事件 最后一名同学抽到中奖奖券 则b仅包含一个基本事件 由古典概型计算概率的公式可知 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 2 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券 那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少 提示 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券 所以可能出现的基本事件只有而 最后一名同学抽到中奖奖券 包含的基本事件仍是 由古典概型计算概率的公式可知 最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 3 设a表示事件 第一名同学没有抽到中奖奖券 ab表示事件 第一名同学没有抽到中奖奖券 而最后一名同学抽到中奖奖券 b a表示事件 已知第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下 最后一名同学抽到中奖奖券 试求p a p ab p b a 三者间的关系 提示 p a p ab p b a 所以p b a 结论 条件概率的概念设a b为两个事件 且p a 0 称p b a 为在事件a发生的条件下 事件b发生的条件概率 p b a 读作 发生的条件下 发生的概率 a b 微思考 1 若事件a b互斥 则p b a 是多少 提示 a与b互斥 即a b不同时发生 所以p ab 0 所以p b a 0 2 若p a 0 则p ab p b a p a 这种说法正确吗 提示 正确 由p b a 得p ab p b a p a 主题2条件概率的性质1 依据条件概率的定义以及概率的范围 试写出条件概率的范围 提示 因为p b a p a 0 且每个事件的概率都大于或等于0且小于或等于1 所以0 p b a 1 2 如果b和c是两个互斥事件 试写出求p b c a 的公式 提示 由于b与c是互斥事件 所以p b c a p b a p c a 结论 条件概率的性质 1 p b a 2 如果b与c是两个互斥事件 则p b c a 0 1 p b a p c a 微思考 对任意的两两不相容的事件ai i 1 2 如何求p ai b 的概率 提示 p ai b p ai b 预习自测 1 下列式子成立的是 a p a b p b a b 0 p b a 1c p ab p b a p a d p ab a p b 解析 选c 由p b a 得p ab p b a p a 而p a b 知a不正确 c正确 当p b 为零时知p b a 0 所以b也不正确 d选项应是p ab a p b a 故d不正确 2 已知则p ab 解析 选c 由p b a 得p ab p b a p a 3 把一枚硬币任意抛掷三次 事件a 至少一次出现正面 事件b 恰有一次出现正面 则p b a 解析 选a 由题意 所以p b a 4 抛掷红 白两枚骰子 事件a 红骰子出现3点 事件b 白骰子出现的点数是奇数 则p a b 解析 利用条件概率的定义求解 p a b 答案 5 将一颗骰子先后抛掷两次 在朝上的一面数字之和为6的条件下 两次都为偶数的概率是 解析 朝上的一面数字之和为6的情况有5种 两次都是偶数且数字之和为6的情况有2种 所求概率为 答案 6 高二 1 班和高二 2 班两班共有学生120名 其中女同学50名 若 1 班有70名同学 而女生30名 问在碰到 1 班同学时 正好碰到一名女同学的概率 仿照教材p53例1的解析过程 解析 在碰到 1 班同学时 正好碰到一名女同学的概率即为a发生的条件下 b发生的概率 由题意可知n a 70 n ab 30 由条件概率公式求得 类型一条件概率的计算 典例1 现有6个节目准备参加比赛 其中4个舞蹈节目 2个语言类节目 如果不放回地依次抽取2个节目 求 1 第1次抽到舞蹈节目的概率 2 第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率 3 在第1次抽到舞蹈节目的条件下 第2次抽到舞蹈节目的概率 解题指南 先设第1次抽到舞蹈节目为事件a 第2次抽到舞蹈节目为事件b 再求p a p ab 再由条件概率的计算公式求p b a 解析 设第1次抽到舞蹈节目为事件a 第2次抽到舞蹈节目为事件b 则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件ab 1 从6个节目中不放回地依次抽取2个事件数为n 30 根据分步乘法计数原理n a 20 得p a 2 因为n ab 12 所以p ab 3 方法一 由 1 2 得在第1次抽到舞蹈节目的条件下 第2次抽到舞蹈节目的概率为p b a 方法二 因为n ab 12 n a 20 所以p b a 方法总结 利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法将原来的基本事件全体 缩小为已知的条件事件a 原来的事件b缩小为ab 而a中仅包含有限个基本事件 每个基本事件发生的概率相等 从而可以在缩小的事件空间上利用古典概型公式计算条件概率 即p b a 这里n a 和n ab 的计数是基于缩小的基本事件范围的 巩固训练 设某种动物能活到20岁的概率为0 8 能活到25岁的概率为0 4 现有一只20岁的这种动物 问它能活到25岁的概率是多少 解析 设事件a为 能活到20岁 事件b为 能活到25岁 则p a 0 8 p b 0 4 而所求概率为p b a 由于b a 故ab b 于是p b a 0 5 所以一只20岁的这种动物能活到25岁的概率是0 5 补偿训练 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张 将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞 求两张都是假钞的概率 解析 若a表示 抽到的两张中至少有一张为假钞 b表示 抽到的两张都是假钞 则所求概率为p b a 因为p ab p b p a 所以p b a 类型二条件概率性质及应用 典例2 1 若b c是互斥事件且p b a p c a 则p b c a 2 一袋中有6个黑球 4个白球 依次取出3个球 不放回 已知第一次取出的是白球 求第三次取出黑球的概率 解题指南 1 可直接利用条件概率的性质p b c a p b a p c a 求解 2 第三次取出黑球是在第一次取得白球的条件下发生的 符合条件概率 因此可用条件概率公式求解 解析 1 选d 因为b c是互斥事件 所以p b c a p b a p c a 2 设a 第一次取出白球 c 第三次取出白球 则 延伸探究 1 典例 2 中条件 不放回 改为 放回 则结论如何 解析 有放回 则第三次取球不受第一次取球影响 记第三次取到黑球为事件d 则p d 2 典例 2 中条件不变 改为求第三次取出白球的概率 解析 由例题知p c a 方法总结 复杂条件概率问题的处理策略对于比较复杂的事件 可以先分解为两个 或若干个 较简单的互斥事件的并 求出这些简单事件的概率 再利用加法公式p b c a p b a p c a 即得所求的复杂事件的概率 补偿训练 1 在某次考试中 要从20道题中随机地抽出6道题 若考生至少能答对其中的4道题即可通过 若至少能答对其中5道题就获得优秀 已知某考生能答对20道题中的10道题 并且知道他在这次考试中已经通过 求他获得优秀成绩的概率 解析 设事件a为 该考生6道题全答对 事件b为 该考生答对了其中5道题 另一道答错 事件c为 该考生答对了其中4道题 而另2道题答错 事件d为 该考生在这次考试中通过 事件e为 该考生考试中获得优秀 则a b c两两互斥 且d a b c e a b 由古典概型的概率公式及加法公式可知p d p a b c p a p b p c p ad p a p bd p b p e d p a b d p a d p b d 故所求的概率为 2 甲袋中有2个白球和4个红球 乙袋中有1个白球和2个红球 现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋 然后从乙袋中随机地取出一球 问从乙袋中取出的是白球的概率是多少 解析 设a表示事件 从甲袋中移入乙袋中的球是白球 b表示事件 最后从乙袋中取出的是白球 所以p b p a p b a 误区警示 解答本题易出现如下两点错误 一是不能分清事件a 事件b 事件ab以及事件b a与事件b 二是将p b p a p b a 误认为p b p a p b a 类型三几何概型中的条件概率 典例3 1 如图所示的正方形被平均分成9个部分 向大正方形区域随机地投掷一个点 每次都能投中 设投中最左侧3个小正方形区域的事件为a 投中最上面3个小正方形或中间1个小正方形区域的事件记为b 则p a b 2 2017 福州高二检测 如图 efgh是以o为圆心 半径为1的圆的内接正方形 将一颗豆子随机地扔到该圆内 用a表示事件 豆子落在正方形efgh内 b表示事件 豆子落在扇形ohe 阴影部分 内 则p b a 解题指南 1 借助图形 分清a b ab a b各个事件是什么 然后求其概率 2 此题是几何概型问题 用面积法求出事件a的概率p a 同理求出p ab 再依据条件概率公式求出p b a 解析 1 依题意知 p a b 答案 2 依题意得 所以p b a 答案 方法总结 几何概型中的条件概率p b a 巩固训练 2017 驻马店高二检测 如图 abc和 def都是圆内接正三角形 且bc ef 将一颗豆子随机地扔到该圆内 用a表示事件 豆子落在 abc内 b表示事件 豆子落在 def内 则p b a 解析 选d 如图所示 作三条辅助线 根