高中数学 第一章 数列 1.2.2.1 等差数列的前n项和课件 北师大版必修5.ppt

2 2等差数列的前n项和 第1课时等差数列的前n项和 1 数列的前n项和对于数列 an 一般地 我们称a1 a2 a3 an为数列 an 的前n项和 用sn表示 即sn a1 a2 a3 an 2 等差数列 an 的前n项和 做一做1 1 在等差数列 an 中 如果s10 120 那么a1 a10的值是 a 12b 24c 36d 48 2 记等差数列 an 的前n项和为sn 若 s4 20 则公差d 答案 1 b 2 3 3 等差数列前n项和sn的主要性质 1 若数列 an 为等差数列 则sn s2n sn s3n s2n 组成的数列 tn 也为等差数列 公差为n2d 2 若等差数列 an 的项数为偶数2n n n 则 证明方法如下 若等差数列 an 的项数为偶数2n n n 做一做2 若数列 an 是含 2n 1 项的等差数列 则其奇数项的和与偶数项的和之比为 答案 b 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 等差数列 an 的前n项和sn的表达式一定为关于n的二次函数 2 若等差数列 an 的首项为负 公差为正 则数列 an 的前n项和sn肯定无最大值 但有最小值 3 若等差数列 an 的前n项和sn an2 bn c 则c 0 4 若sn为等差数列 an 的前n项和 则数列一定为等差数列 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思想方法 例1 在等差数列中 1 已知a1 105 an 994 d 7 求sn 2 已知a6 10 s5 5 求a8和s8 3 已知a3 a15 40 求s17 分析 1 先根据a1 an和公差d计算出项数n的值 再代入等差数列的前n项和公式即可求解 2 把a6 s5分别用a1和d表示出来 解方程组即可求出a1和d 进而求出a8和s8 3 由等差数列的性质可得a3 a15 a1 a17 将其代入求和公式求解即可 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 由等差数列的前n项和公式及通项公式可知 若已知a1 d n an sn中的三个便可求出其余的两个 即 知三求二 知三求二 的实质是方程思想 即建立方程组求解 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练1已知等差数列 an 中 探究一 探究二 探究三 思想方法 例2 求解下列各题 1 已知一个等差数列 an 的前n项和为25 前2n项和为100 求该数列的前3n项的和 分析 根据题目已知条件的特点 选用相应的性质求解 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟在等差数列的有关计算问题中 合理地运用等差数列及其前n项和的性质 可以简化计算 优化解题过程 常用的性质主要有 1 在等差数列 an 中 s2n 1 2n 1 an 2 若等差数列的前n项和为sn 则sn s2n sn s3n s2n 仍成等差数列 3 若数列 an bn 为等差数列 sn tn分别是其前n项和 则有结论 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练2求解下列各题 1 在等差数列 an 中 a2 a7 a12 24 求s13 2 某等差数列的前12项的和为354 前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32 27 求该数列的公差d 解 1 a2 a12 a1 a13 2a7 a2 a7 a12 24 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 例3 在等差数列 an 中 a1 25 s17 s9 则数列前多少项之和最大 求此最大值 分析 sn是n的二次函数 可用二次函数求最值的方法 也可用等差数列的单调性进行转化 sn最大 an 0 且an 1 0或利用s17 s9 则sn有对称性 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 解法三 因为s17 s9 即a1 a2 a17 a1 a2 a9 所以a10 a11 a12 a17 0 又因为a10 a17 a11 a16 a12 a15 a13 a14 即4 a13 a14 0 所以a13 a14 0 又因为a1 25 0 所以 an 为递减数列 故a13 0 a14 0 因此前13项和最大 且最大值为169 解法四 由解法一知d 2 则an 27 2n 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 等差数列前n项和最值的求法 1 用等差数列前n项和的函数表达式sn an2 bn 通过配方或求二次函数最值的方法求得 但要注意求其正整数解 2 利用等差数列的单调性 由通项公式及正负转折项求最值 2 本例给我们的启发是 若需求出sn的最值 则一般采用解法一 若只需求出sn取最值时n的值 则可采用解法二 三 四 这样处理较为简捷 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练3 1 在等差数列 an 中 a1 7 公差为d 前n项和为sn 当且仅当n 8时sn取得最大值 则d的取值范围为 探究一 探究二 探究三 思想方法 基本元素法与利用性质巧解法的对比 典例 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s4 8 s8 20 则a11 a12 a13 a14 解析 方法一 基本元素法 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法二 利用性质巧解法 设等差数列 an 的公差为d 因为s4 a1 a2 a3 a4 8 s8 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a1 a2 a3 a4 a1 4d a2 4d a3 4d a4 4d 2 a1 a2 a3 a4 16d 20 所以16 16d 20 即16d 4 答案 18 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法点睛一般地 涉及等差数列的通项 求和等问题 总是可以用体现数列的基本元素a1 d n an sn将已知条件形成方程或方程组来求解 这种方法的特点是 万物归一 我们称之为基本元素法 如果能利用等差数列的相关性质将条件整理成特定结构 这样就避免了烦琐的计算 这两种方法在平时解题时要注意互相补充 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练已知等差数列 an 共有 2n 1 项 所有奇数项之和为132 所有偶数项之和为120 求n的值 解法一 依题意可列方程组 解法二 等差数列共有 2n 1 项 1 2 3 4 5 1 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且s3 6 a1 4 则公差d等于 解析 由题意 得6 3 4 解得d 2 答案 c 1 2 3 4 5 2 在等差数列 an 中 若a2 a10 70 则s11等于 a 770b 385c 770d 385解析 由a2 a10 70得2a6 70 即a6 35 答案 b 1 2 3 4 5 3 设sn为等差数列 an 的前n项和 若s3 3 s6 24 则a9 解析 因为sn s2n sn s3n s2n 组成的数列也为等差数列 公差为n2d 所以s6 s3 s3 32d 3 9d 21 解得d 2 又因为s3 3a1 2 3 所以a1 1 所以a9 1 8 2 15 答案 15 1 2 3 4 5 4 在等差数列 an 中 a6 4 a13 18 则a21 a22 a40的值为 解析 方法1 由a6 4 a13 18