高中数学 第一章 立体几何初步 7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课件 北师大版必修21.ppt

7 2棱柱 棱锥 棱台和圆柱 圆锥 圆台的体积 第一章 7简单几何体的面积和体积 学习目标1 掌握柱体 锥体 台体的体积计算公式 会利用它们求有关几何体的体积 2 掌握求几何体体积的基本技巧 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一柱 锥 台体的体积公式 sh s上 s下 h sh 知识点二柱体 锥体 台体的体积公式之间的关系 思考辨析判断正误 1 锥体的体积等于底面面积与高之积 2 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 题型探究 例1如图 四边形abcd为正方形 qa 平面abcd pd qa qa ab pd 1 证明 pq 平面dcq 类型一多面体的体积 证明 证明由题知四边形pdaq为直角梯形 因为qa 平面abcd qa 平面pdaq 所以平面pdaq 平面abcd 交线为ad 又四边形abcd为正方形 dc ad 所以dc 平面pdaq 可得pq dc 则pq qd 又dc qd d dc qd 平面dcq 所以pq 平面dcq 2 求棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值 解答 解设ab a 由题设知aq为棱锥q abcd的高 由 1 知pq为棱锥p dcq的高 故棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值为1 反思与感悟求几何体体积的四种常用方法 1 公式法 规则几何体直接代入公式求解 2 等积法 如四面体的任何一个面都可以作为底面 只需选用底面积和高都易求的形式即可 3 补体法 将几何体补成易求解的几何体 如棱锥补成棱柱 三棱柱补成四棱柱等 4 分割法 将几何体分割成易求解的几部分 分别求体积 跟踪训练1如图 在三棱柱中 若e f分别为ab ac的中点 平面将三棱柱分成体积为的两部分 那么 解析 答案 7 5 解析设三棱柱的高为h 底面的面积为s 体积为v 则v v1 v2 sh 因为e f分别为ab ac的中点 类型二旋转体的体积 例2体积为52cm3的圆台 一个底面面积是另一个底面面积的9倍 求截得这个圆台的圆锥的体积 解答 解由底面面积之比为1 9知 体积之比为1 27 截得的小圆锥与圆台体积比为1 26 小圆锥的体积为2cm3 故原来圆锥的体积为54cm3 反思与感悟要充分利用旋转体的轴截面 将已知条件尽量归结到轴截面中求解 分析题中给出的数据 列出关系式后求出有关的量 再根据几何体的体积公式进行运算 解答 1 求台体的体积 其关键在于求高 在圆台中 一般把高放在等腰梯形中求解 2 还台为锥 是求解台体的体积问题的重要思想 作出截面图 将空间问题平面化 是解决此类问题的关键 跟踪训练2设圆台的高为3 如图 在轴截面中母线aa1与底面直径ab的夹角为60 轴截面中的一条对角线垂直于腰 则圆台的体积为 21 答案 解析 解析设上 下底面半径 母线长分别为r r l 作a1d ab于点d 则a1d 3 a1ab 60 又 ba1a 90 ba1d 60 21 圆台的体积为21 类型三几何体体积的求法 命题角度1等体积法例3如图 已知abcd a1b1c1d1是棱长为a的正方体 e为aa1的中点 f为cc1上一点 求三棱锥a1 d1ef的体积 解答 解 又三棱锥f a1d1e的高为cd a 反思与感悟 1 三棱锥的每一个面都可当作底面来处理 2 利用等体积法可求点到面的距离 跟踪训练3如图所示 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 在三棱锥a1 abd中 求a到平面a1bd的距离d 解答 解在三棱锥a1 abd中 aa1是三棱锥a1 abd的高 命题角度2割补法例4如图 在多面体abcdef中 已知面abcd是边长为4的正方形 ef ab ef 2 ef与平面ac的距离为3 求该多面体的体积 解答 解如图 连接eb ec ac 四棱锥e abcd的体积ve abcd 42 3 16 因为ab 2ef ef ab 所以s eab 2s bef 所以该多面体的体积v ve abcd vf ebc 16 4 20 反思与感悟通过 割补法 解决空间几何体的体积问题 需要思路灵活 有充分的空间想象力 什么时候 割 什么时候 补 割 时割成几个图形 割成什么图形 补 时补上什么图形 都需要灵活的选择 跟踪训练4如图所示 一个底面半径为2的圆柱被一平面所截 截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3 求该几何体的体积 解答 解用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱 如图所示 则圆柱的体积为 22 5 20 故所求几何体的体积为10 达标检测 1 已知高为3的棱柱abc a1b1c1的底面是边长为1的正三角形 如图 则三棱锥b1 abc的体积为 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 解析设圆锥的底面半径为r 母线长为l 解得r 4 1 2 3 4 5 2 3 3 棱台的上 下底面面积分别是2 4 高为3 则该棱台的体积是a 18 6b 6 2c 24d 18 4 5 1 答案 解析 4 已知某圆台的上 下底面面积分别是 4 侧面积是6 则这个圆台的体积是 解析设圆台的上 下底面半径分别为r和r 母线长为l 高为h 则s上 r2 s下 r2 4 r 1 r 2 s侧 r r l 6 l 2 答案 解析 2 3 4 5 1 5 如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯 水中放着一个底面直径为6cm 高为20cm的圆锥形铅锤 当铅锤从水中取出后 杯里的水将下降 cm 2 3 4 5 1 0 6 答案 解析 2 3 4 5 1 解析将铅锤取出后 水面下降部分实际是圆锥的体积 设水面下降的高度为xcm 则得x 0 6cm 1 柱体 锥体 台体的体积之间的内在关系为2 在三棱锥a bcd中 若求点a到平面bcd的距离h 可以先求va bcd h 这种方法就是用等体