高中数学 第一章 计数原理本章整合课件 北师大版选修23.ppt

本章整合 专题1 专题2 专题3 专题一利用两个原理解排列组合问题的常用方法 两个原理 是两种重要的计数方法 它是列式计数时选择加法或者乘法的理论根据 在排列 组合应用题中 正确地使用加法和乘法原理是解决排列 组合应用题的基础 专题1 专题2 专题3 1 树形图法应用1将a b c d四名同学按一定顺序排成一行 要求自左向右 a不排在第一 b不排在第二 c不排在第三 d不排在第四 试写出他们四个人所有不同的排法 专题1 专题2 专题3 由此可写出所有的排法为badc bcda bdac cadb cdab cdba dabc dcab dcba 所以他们四个人共有9种不同的排法 专题1 专题2 专题3 应用2三个人踢毽子 互相传递 每人每次只能踢一下 由甲开始踢 经过5次传递后 毽子又被踢回给甲 则不同的传递方式共有 a 6种b 8种c 10种d 16种提示 充分利用树形图来解决问题 解析 如图 若甲先传给乙 则共有5种方式 同理 甲先传给丙也有5种方式 综上有10种传法 答案 c 专题1 专题2 专题3 2 依次排序法利用分步乘法计数原理求解与排列顺序有关的问题时 可以用依次排序法 依次排序法就是把数字或字母分为前后 首先排前面的数字或字母 再依次排后面的数字或字母 将最后的数字或字母排完 则排列结束 这种方法多用于数字问题 专题1 专题2 专题3 应用3用1 2 3 4四个数字可重复地任意排成三位数 并把这些数由小到大排成一个数列 an 1 写出这个数列的前11项 2 求这个数列共有多少项 3 若an 341 求n 解 1 这个数列的前11项为111 112 113 114 121 122 123 124 131 132 133 2 这个数列的项数就是用1 2 3 4排成的三位数的个数 每一个位置都有4种排法 根据分步乘法计数原理共有4 4 4 64项 3 比an 341小的数有两类 分别是 专题1 专题2 专题3 根据两个计数原理 得数列 an 中比341小的项有n 2 4 4 3 4 44项 所以n 44 1 45 专题1 专题2 专题3 3 转化法一般情况下研究的排列问题是不重复的排列问题 但是在实际生活中常会遇到这样的问题 车辆牌照的号码 电话号码 电报号码等 都是一些重复排列 事实上 解决这些问题借助于 两个原理 非常容易办到 专题1 专题2 专题3 应用4设集合s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 集合a a1 a2 a3 是s的子集 且a1 a2 a3满足a16包含的情况较少 只有a3 9时 a2只能取2 a1只能取1一种情况 应用正难则反思想进行解决 答案 c 专题1 专题2 专题3 应用5用1 2 3 4 5 6 7这7个数字组成没有重复数字的四位数 1 如果组成的四位数必须是偶数 那么这样的四位数有多少个 2 如果组成的四位数必须大于6500 那么这样的四位数有多少个 提示 本题的限制条件是 1 个位数字必须是偶数 2 千 百这两个数位上的数受限制 因此 可以采用分步排位来求解 专题1 专题2 专题3 专题1 专题2 专题3 4 穷举法穷举法主要是适用于用排列组合解决时需分类较多的情况 或用排列组合无从下手解决 或选择支中数目较小 或计数方法有规律可遵循的题目 针对上述题目 与其花大量时间去思考怎么用排列组合知识进行解决 不如用 最笨 的方法 一一列举法进行解决 此法看似笨拙 有时则省时 省力 专题1 专题2 专题3 应用6如图所示 将1 6这六个数字分别填到图中字母的位置 使三角形每条边上的三个数之和相等 则共有 种填写方法 a 24b 21c 18d 12解析 由题意可得位置a b c d e f上的数字满足a b d a c f d e f 由题意得 a b d a c f d e f a b c d e f a d f 一定能被3整除 而a b c d e f的值为1 2 3 4 5 6 21 能被3整除 故a d f也一定能被3整除 由此可得a d f的值可能分别为1 2 3 或1 2 6 或1 3 5 或1 5 6 或2 3 4 或2 4 6 或3 4 5 或4 5 6 专题1 专题2 专题3 专题1 专题2 专题3 专题二排列组合的解题方法1 直接法 元素 位置优先考虑法 1 特殊元素分析法 即以元素为主考虑 先满足特殊元素的要求 再考虑其他元素 2 特殊位置分析法 即以位置为主考虑 先安排有特殊要求的位置 再考虑其他位置 应用150件产品中有3件是次品 从中任意取4件 1 至少有1件次品的抽法有多少种 2 至多有两件次品的抽法有多少种 专题1 专题2 专题3 专题1 专题2 专题3 2 插空法不相邻问题常用插空法 我们可以根据题目的具体特点 先排某些元素 再将余下的元素进行插空 这样处理有关的排列组合问题 往往能收到良好的解题效果 应用2马路上有9盏路灯 为了节约用电 可以关掉其中的三盏路灯 要求关掉的路灯不能相邻 且不在马路的两头 那么不同的关灯方案共有多少种 解 本题可以看成被关掉的路灯夹在6盏亮着的灯的空当里 6盏亮着的灯排在一起 中间有5个空当 从5个空当中选出某3个 插进去三盏关掉的路灯 因此 不同的关灯方案 专题1 专题2 专题3 3 捆绑法对于几个元素要求相邻的排列问题 可先将相邻的元素 捆绑 起来 看作一个元素 与其他元素排列 然后再考虑它们 内部 的排列 这种解决排列问题的方法称为 捆绑法 应用3用1 2 3 4 5这五个数字组成没有重复数字的五位数 其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数有多少个 提示 本题中一个奇数夹在两个偶数之间可以捆绑在一起看作一个元素 体现了捆绑法的应用 专题1 专题2 专题3 专题1 专题2 专题3 4 间接法间接法是求解排列组合问题的常用方法 带有限制条件的排列组合问题 常用 元素分析法 和 位置分析法 当直接考虑对象较为复杂时 可用逆向思维 使用间接法 排除法 即先不考虑约束条件 求出所有排列 组合总数 然后减去不符合条件的排列 组合种数 应用4从12人中选出5人去参加一项活动 按下列要求 有多少种不同选法 1 a b c三人至少一人入选 2 a b c三人至多二人入选 提示 解决排列组合题目时 从正面入手 情况较复杂 不易解决时 可以从问题的反面入手 往往能收到意想不到的效果 专题1 专题2 专题3 专题1 专题2 专题3 专题1 专题2 专题3 5 隔板法这类问题的特征是 1 被分的元素没有区别 2 被分的元素的个数不少于分得的组数 3 每个小组至少分得一个元素 具备这些条 专题1 专题2 专题3 应用5某地区有9所学校 现有先进教师名额11个 要求每所学校至少有一个名额 共有多少种不同的分配方法 提示 本题符合隔板法的特点 解 因为名额没有区别 因此 可以在11个名额所产生的10个空隙 专题1 专题2 专题3 专题1 专题2 专题3 专题1 专题2 专题3 2 赋值法应用2已知 1 x 6 1 2x 5 a0 a1x a11x11 则a1 a2 a11 提示 求展开式中各项系数的和的一个有效办法就是赋值法 赋予变量的值往往是0 1 1等 解析 欲求a1 a2 a11 需先求a0 再求a0 a1 a11 应用赋值法求解 令x 0 得a0 1 0 6 1 0 5 1 再令x 1 得a0 a1 a11 1 1 6 1 2 5 26 所以a1 a2 a11 26 1 65 答案 65 专题1 专题2 专题3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2016 全国甲高考 如图 小明从街道的e处出发 先到f处与小红会合 再一起到位于g处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 a 24b 18c 12d 9解析 由题意知 小明从街道的e处出发到f处的最短路径有6条 再从f处到g处的最短路径有3条 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6 3 18 故选b 答案 b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2015 课标全国 高考 a x