线性代数下13正规变换-Hermite变换与Hermite二次型.pdf

1 1 线性代数2 杨晶杨晶 2012年年 5月月21日日 第十三讲第十三讲 正规变换正规变换 Hermite变换变换 Hermite二次型二次型 注意注意 本周五有习题课 老地方 本周五有习题课 老地方 你懂的 你懂的 上讲复习上讲复习 2 对称变换与对称矩阵对称变换与对称矩阵 双线性函数 双线性函数 V V F的二元的二元F值函数值函数 逐位线性逐位线性 V 作用在第一分量与作用在第二分量上内积不变作用在第一分量与作用在第二分量上内积不变 是对称变换 是对称变换 在在SOB下的矩阵为实对称阵 对称变换 下的矩阵为实对称阵 对称变换 可可 正交正交 对角化 取定 对角化 取定V中一组基中一组基 n 则则 1111 111 1 nnnn T iijjijij ijij n nnn ffxyx y fX AY ff Af ff 称为 的度量矩阵 Mn F V上的双线性函数上的双线性函数 取定基取定基 1 1对应对应 3 结论结论 双线性函数 双线性函数 f 在不同基下的度量矩阵相合 即在不同基下的度量矩阵相合 即 B PTAP 对称双线性函数 对称双线性函数 f f 反对称双线性函数 反对称双线性函数 f f 结论 结论 双线性函数双线性函数f 是是 反反 对称的 对称的 f 在某基下的度量阵为在某基下的度量阵为 反反 对称阵对称阵 二次型与双线性函数 二次型与双线性函数 Q f SMn R V上的对称 双线性函数 上的对称 双线性函数 1 1对应对应 V上的 二次型 上的 二次型 1 1对应对应 结论 结论 欧氏空间中内积欧氏空间中内积 正定二次型正定二次型 上讲复习上讲复习 上讲复习上讲复习 4 酉空间酉空间 复线性空间复线性空间 内积内积 内积内积 长度长度 夹角夹角 正交正交 C S不等式不等式 标准正交基标准正交基 Schimdt正 交化 正 交化 构造构造 Hermite性性 第一分量线性第一分量线性 正定 的复数值函数 正定 的复数值函数 第二分量半线性第二分量半线性 正定性 正定性 arccos 0 2 0 记作记作 1 2 ijij i jn UR分解分解 AUR 简化内积简化内积 H X Y 正交补正交补 VWW 酉阵酉阵 标准内积标准内积 1 n H ii i x yYX H A AI SOB 酉变换酉变换 5 本讲提要本讲提要 正规变换正规变换 4 存在可逆复矩阵存在可逆复矩阵C 使得 使得A CHC 5 A 的特征值全是正实数 的特征值全是正实数 6 存在正线复上三角矩阵存在正线复上三角矩阵R 使得 使得A RHR 7 A 的各级的各级 顺序顺序 主子式全大于零主子式全大于零 定理定理10 18设设A是是n阶阶Hermite矩阵 以下命题等价 矩阵 以下命题等价 1 A 半正定 半正定 2 以以A 为矩阵的为矩阵的Hermite二次型的正惯性指数二次型的正惯性指数p r n 3 存在可逆复矩阵存在可逆复矩阵P 使得 使得PHAP diag Ir 0 4 存在复矩阵存在复矩阵C 使得 使得A CHC 5 A 的特征值全是非负实数 的特征值全是非负实数 6 A 的各级主子式全的各级主子式全 0 可逆复矩阵 的 可逆复矩阵 的UR分解分解 13 作业作业 习题十习题十 16 19 22 24 25 26 证明定理证明定理10 18 下节内容下节内容 第第11章 矩阵分析初步章 矩阵分析初步 14 本周五有习题课本周五有习题课 形式 现场做题 助教讲解形式 现场做题 助教讲解 时间地点 选择其中任意时间地点 选择其中任意1场场 内容 第十章相关 题目见网络学堂内容 第十章相关 题目见网络学堂 or 现场发放现场发放 本章内容是之前所学的综合应用 存在难度系数较 大的题目 对学习理解的要求较高 本章内容是之前所学的综合应用 存在难度系数较 大的题目 对学习理解的要求较高 希望大家认真 参加本学期最后一次习题课 希望大家认真 参加本学期最后一次习题课 时间教室时间教室1教室教室2 周五第周五第5大节大节 17 05 18 40 五教五教5205 110人 赵明慧 五教 人 赵明慧