江苏省无锡一中高三数学上学期第一次质量检测试卷 文（解析版）苏教版.doc

2012-2013学年江苏省无锡一中高三（上）第一次质量检测数学试卷（文科）一填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1（5分）设全集u=1，2，3，4，5，6，集合p=1，2，3，4，q=3，4，5，则p（cuq）=1，2考点：交、并、补集的混合运算专题：计算题分析：找出全集u中不属于q的元素，确定出q的补集，找出p与q补集的公共元素，即可确定出所求的集合解答：解：全集u=1，2，3，4，5，6，q=3，4，5，cuq=1，2，6，又p=1，2，3，4，则p（cuq）=1，2故答案为：1，2点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键2（5分）已知i是虚数单位，若1+7i=（x+yi）（2i）（x，yr），则xy=3考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件专题：计算题分析：利用两复数相等的条件即可求得x，y的值，从而得到答案解答：解：1+7i=（x+yi）（2i）（x，yr），1+7i=2x+y+（2yx）i，（x，yr），由两复数相等的条件（实部与实部相等，虚部与虚部相等）得：，解得x=1，y=3xy=3故答案为：3点评：本题考查复数相等的充要条件及复数代数形式的乘除运算，属于基础题3（5分）甲、乙、丙三人站成一排，其中甲、乙两人不排在一起的概率为考点：古典概型及其概率计算公式专题：计算题分析：根据甲、乙两人站在一起的站法有a22a22=4 种，所有的站法有a33=6种，由此求得甲、乙两人站在一起的概率，进而可得所求解答：解：甲、乙两人站在一起的站法有a22a22=4 种，所有的站法有a33=6种，故其中甲、乙两人站在一起的概率是，故甲、乙两人不排在一起的概率为：1=故答案为：点评：本题考查等可能事件的概率，含有不相邻问题，从对立事件的角度来考虑是解题的关键，属于基础题4（5分）已知向量的夹角为120，且，则=考点：平面向量数量积的运算；向量的模专题：计算题分析：直接利用向量的数量积的性质可得，|=，代入即可求解解答：解：由题意可得，|=故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题5（5分）（2012北京）在abc中，若a=3，b=，则c的大小为考点：正弦定理专题：计算题分析：利用正弦定理=，可求得b，从而可得c的大小解答：解：abc中，a=3，b=，由正弦定理=得：=，sinb=又ba，ba=b=c=故答案为：点评：本题考查正弦定理，求得b是关键，易错点在于忽视“中大变对大角，小边对小角”结论的应用，属于基础题6（5分）观察下列事实：|x|+|y|=1的不同整数解（x，y）的个数为4|x|+|y|=2的不同整数解（x，y）的个数为8，则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为80考点：排列、组合及简单计数问题；类比推理专题：规律型；等差数列与等比数列分析：利用事实，归纳不同整数解的个数构成一个首项为4，公差为4的等差数列，即可求得结论解答：解：观察可得不同整数解的个数4，8，12，可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为an=4n，则所求为第20项，所以a20=80故答案为：80点评：本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题7（5分）已知，则cos2=考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数专题：三角函数的求值分析：将已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin+cos的值，两边平方并利用同角三角函数间的基本关系化简求出2sincos的值小于0，由的范围，得到sin大于0，cos小于0，利用完全平方公式求出sincos的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用平方差公式变形，将各自的值代入即可求出值解答：解：sin（+）=（sin+cos）=，sin+cos=，（sin+cos）2=1+2sincos=，即2sincos=0，0，sin0，cos0，即sincos0，（sincos）2=12sincos=，sincos=，则cos2=cos2sin2=（cos+sin）（cossin）=故答案为：点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键8（5分）（2012天津）设m，nr，若直线l：mx+ny1=0与x轴相交于点a，与y轴相交于点b，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，o为坐标原点，则aob面积的最小值为3考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程专题：计算题分析：由圆的方程找出圆心坐标和半径r，由直线l被圆截得的弦长与半径，根据垂径定理及勾股定理求出圆心到直线l的距离，然后再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，两者相等列出关系式，整理后求出m2+n2的值，再由直线l与x轴交于a点，与y轴交于b点，由直线l的解析式分别令x=0及y=0，得出a的横坐标及b的纵坐标，确定出a和b的坐标，得出oa及ob的长，根据三角形aob为直角三角形，表示出三角形aob的面积，利用基本不等式变形后，将m2+n2的值代入，即可求出三角形aob面积的最小值解答：解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，直线l与圆x2+y2=4相交所得弦cd=2，圆心到直线l的距离d=，圆心到直线l：mx+ny1=0的距离d=，整理得：m2+n2=，令直线l解析式中y=0，解得：x=，a（，0），即oa=，令x=0，解得：y=，b（0，），即ob=，m2+n22|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，|mn|，又aob为直角三角形，sabc=oaob=3，则aob面积的最小值为3故答案为：3点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，直线的一般式方程，以及基本不等式的运用，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理俩来解决问题9（5分）将函数f（x）=sinx（0）的图象向右平移个单位，所得图象经过点，则的最小值是2考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；y=asin（x+）中参数的物理意义专题：计算题分析：求出图象变换后所得图象对应的函数为y=sin（x），再由所得图象经过点，可得=k，由此求得的最小值解答：解：将函数y=sinx（其中0）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin（x）再由所得图象经过点可得sin=sin（）=0，=k，kz又0故的最小值是2，故答案为：2点评：本题主要考查y=asin（x+）的图象变换，以及由y=asin（x+）的部分图象求函数解析式，属于中档题10（5分）满足f（xy）=f（x）+f（y）+1的函数f（x）的解析式可以是f（x）=1考点：函数解析式的求解及常用方法专题：开放型分析：只要写出一个满足所给条件的函数即可解答：解：当f（x）=1时，f（xy）=1，f（x）+f（y）+1=（1）+（1）+1=1所以满足条件f（xy）=f（x）+f（y）+1，故函数函数f（x）的解析式可以是f（x）=1故答案为f（x）=1点评：此题是一个开放型题目，只要写出满足条件的就好，只要细心得分很容易11（5分）（2012黑龙江）数列an满足，则an的前60项和为1830考点：数列递推式；数列的求和专题：计算题；压轴题分析：令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4，则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n3+a4n2+a4n2+a4n+16=bn+16可得数列bn是以16为公差的等差数列，而an的前60项和为即为数列bn的前15项和，由等差数列的求和公式可求解答：解：，令bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4则bn+1=a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=a4n3+a4n2+a4n2+a4n+16=bn+16数列bn是以16为公差的等差数列，an的前60项和为即为数列bn的前15项和b1=a1+a2+a3+a4=10=1830点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的和，等差数列的求和公式的应用，解题的关键是通过构造等差数列12（5分）不等式x21a|x1|对任意的xr恒成立，则实数a的取值范围是（，2考点：其他不等式的解法专题：计算题分析：不等式x21a|x1|含有绝对值，可以分类讨论先去掉绝对值，再利用常数分离法进行求解；解答：解：不等式x21a|x1|对任意的xr恒成立，若x1可得，x21a|x1|=a（x1），ax+1在x1上恒成立，a2；若x=1可得00，恒成立；若x1可得a1x在x1上恒成立，a2，综上取交集可得：a2，故答案为：（，2；点评：本题主要考查了不等式的解法以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题合理地进行变量分离，利用不等式的性质求最值，是解决本题的关键13（5分）（2012黑龙江）设函数f（x）=的最大值为m，最小值为m，则m+m=2考点：导数在最大值、最小值问题中的应用专题：综合题；压轴题分析：函数可化为f（x）=，令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）=的最大值与最小值的和解答：解：函数可化为f（x）=令，则为奇函数的最大值与最小值的和为0函数f（x）=的最大值与最小值的和为1+1+0=2即m+m=2故答案为：2点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题14（5分）已知函数f（x）=|x22|，若f（a）f（b），且0ab，则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积为考点：二元一次不等式（组）与平面区域专题：计算题分析：由f（x）=|x22|，结合f（a）f（b）得出（a22）2（b22）20，分解为（a2+b24）（ab）（a+b）0，又根据且0ab，在平面直角坐标系第一象限角平分线上方画出满足已知条件的约束条件，然后代入面积公式求出可行域的面积解答：解：由f（x）=|x22|，结合f（a）f（b）得出（a22）2（b22）20，分解为（a2+b24）（ab）（a+b）0，可得约束条件：其对应的可行域为扇形，如下图示：其大小为八分之一个圆故所求面积为：故答案为：点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解二解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（12分）已知集合，b=x|（x2）（x3a1）0（1）若a=2，求集合a； （2）若ba，求实数a的取值范围考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；对数函数的定义域专题：函数的性质及应用分析：（1）把a=2代入集合a，根据对数函数的性质，可得，从而求出集合a；（2）因为ba，可以解出集合b，根据子集的性质，讨论集合b为空集的情况，从而进行求解；解答：解：（1）集合，把a=2代入a，根据对数函数的性质，可得得集合a=（，0）（5，+）；（2）当时，b=a，符合题意，当时，有b=（2，3a+1），a=（，0）（a2+1，+），由ba得a2+12，所以，当时，有b=（3a+1，2），a=（，0）（a2+1，+），由ba得a2+13a+1，所以，当a=0时，不合题意，舍去，当a0时，有b=（3a+1，2），a=（0，a2+1），由ba得，无解，综上，实数a的取值范围是（0，1点评：此题主要考查对数函数的定义域，以及子集的性质，是一道基础题，解题过程中用到了分类讨论的思想；16（12分）已知圆心为o，半径为1，弧度数为的圆弧上有两点p，c，其中=（如图）（1）若p为圆弧的中点，e在线段oa上运动，求的最小值；（2）若e，f分别为线段oa，oc的中点，当p在圆弧上运动时，求的最大值考点：平面向量数量积的运算；向量的模专题：平面向量及应用分析：（1）由题意可得c为 的中点，设oe=x（0x1），计算=，利用二次函数的性质求得它的最小值（2）以o为原点，ba所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求出e、f的坐标，设p（x，y），则x2+y2=1（y0），计算 ，可得当x+y取得最小值时，取得最大值，计算求得结果解答：解：（1）由题意= 可得 c为 的中点，设oe=x（0x1），则 =，所以当时，的最小值为（2）以o为原点，ba所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则，设p（x，y），则x2+y2=1（y0），故当x=1 且y=0时，x+y取得最小值为1，所以，的最大值是 1（）=点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，数量的坐标形式的运算，二次函数的性质应用，属于中档题17（12分）在平面直角坐标系xoy中，已知定点a（4，0），b（0，2），半径为r的圆m的圆心m在线段ab的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆m被y轴截得的弦长为（1）若r为正常数，求圆m的方程；（2）当r变化时，是否存在定直线l与圆相切？如果存在求出定直线l的方程；如果不存在，请说明理由考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系专题：计算题分析：（1）设圆心m（a，b），利用圆心在直线ab的垂直平分线上，从而|ma|=|mb|，再结合圆心在y轴右侧（即a0），圆m被y轴截得的弦长为r，列方程组解之即可；（2）依题意，可设直线l：y=2x+m与圆m相切，利用圆心到直线l的距离等于半径求得m，判断即可解答：解：（1）设圆心m（a，b），由题意可知，解得，所以圆m的方程为+（yr3）2=r2；（2）圆心m（r，r+3）在直线y=2x+3上移动，且半径为r，设直线l：y=2x+m与圆m相切，则=r，解得m=3r，所以不存在定直线l与圆相切点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查理解题意与解方程组的能力，属于中档题18（14分）（2011镇江一模）如图，abc为一个等腰三角形形状的空地，腰ca的长为3（百米），底ab的长为4（百米）现决定在空地内筑一条笔直的小路ef（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为s1和s2（1）若小路一端e为ac的中点，求此时小路的长度；（2）求的最小值考点：函数的最值及其几何意义；解三角形的实际应用专题：计算题；应用题分析：（1）根据题意可知f不在bc上，根据余弦定理求出cosa的值，然后根据余弦定理求出ef的长即可；（2）若e、f分别在ac和ab上，设ae=x，af=y，然后利用三角形的面积公式求出s2和s1=s三角形abcs2=，再根据基本不等式求出比值的最值即可，若e、f分别在ac和bc上，设ce=x，cf=y，同上根据基本不等式求出比值的最值即可解答：解：（1）因为：ae=ce= ae+4ce+3 所以f不在bc上，ae+af+ef=ce+cb+fb+ef所以ae=ce af=cb+bf 4bf=bf+3 bf=cosa=所以ef2=ae2+af22aeafcosa=所以ef=e为ac中点时，此时小路的长度为（2）若e、f分别在ac和ab上，sina=设ae=x，af=y，所以s2=xysina=s1=s三角形abcs2=2s2因为x+y=3x+4y+3所以x+y=5=1 xy当且仅当x=y=时取等号所以=当且仅当x=y=时取等号最小值是若e、f分别在ac和bc上， sinc=设ce=x，cf=y同上可得当且仅当x=y=取等号若e、f分别在ac和bc上，最小值是点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，以及利用基本不等式求最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题19（14分）设正项数列an的前n项和为sn，且a1=2，an+1=2sn+2（nn*），（1）求a2以及数列an的通项公式；（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为dn的等差数列（）求证：（nn*）；（）求证：在数列dn中不存在三项dm，ds，dt成等比数列（其中m，s，t依次成等比数列）考点：数列的求和；等比关系的确定；数列递推式专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）由a1=2，an+1=2sn+2（nn*），知a2=2s1+2=6，由an+1=2sn+2，得an+2=2sn+1+2，由此能求出（2）（）由题意可知，通过错项相减能够证明（nn*）（）假设数列dn中存在三项dm，ds，dt成等比数列，则，推导出m=s=t，由题设知m=s=t不成立，故在数列dn中不存在三项dm，ds，dt成等比数列解答：解：（1）a1=2，an+1=2sn+2（nn*），a2=2s1+2=22+2=6，由an+1=2sn+2，得an+2=2sn+1+2，两式相减得an+2=3an+1，又a2=3a1，且an0，所以数列an是等比数列，且a1=2，q=3，（2）（）由题意可知，通过错项相减求得；（）假设数列dn中存在三项dm，ds，dt成等比数列，则，即，整理，得（