江苏省无锡一中高二数学下学期期中试卷 理（含解析）苏教版.doc

2012-2013学年江苏省无锡一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1（5分）已知（i为虚数单位），则复数z的共轭复数是1i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念专题：计算题分析：把给出的等式的分母乘到右边，然后采用单项式乘以多项式化简复数z，则z的共轭复数可求解答：解：由，得z=i（1+i）=1+i所以复数z的共轭复数是1i故答案为1i点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题2（5分）从5名男生和4名女生中选出3名代表，代表中必须有女生，则不同的选法有74种（用数字作答）考点：计数原理的应用专题：计算题分析：代表中没有女生的选法共有=10种，所有的选法共有=84种，由此求得代表中必须有女生时不同的选法种数解答：解：代表中没有女生的选法共有=10种，所有的选法共有=84种，故代表中必须有女生，则不同的选法有8410=74种，故答案为 74点评：本题主要考查组合问题、组合数公式的应用，用间接解法求解，属于中档题3（5分）若，则x=3或6考点：组合数公式的推导；组合及组合数公式专题：计算题分析：由组合数公式，由c18x=c183x6，找到其与x与3x6的关系，即可得答案解答：解：利用组合数的性质易得若c18x=c183x6，则：x=3x6或x+3x6=18，则x=3或6故答案为：3或6点评：本题考查组合数公式的运用本题主要考查组合数的性质的运用，属于基础题，须准确记忆公式4（5分）由1、2、3、4、5组成个位数字不是3的没有重复数字的五位奇数共有48个（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：由题意，末尾数字为5或3，其余位置任意排列，从而可得结论解答：解：由题意，末尾数字为5或3，其余位置任意排列，所以奇数共有2=48个故答案为：48点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题5（5分）设n为奇数，则除以9的余数为7考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：所给的式子即 （91）n1 的展开式，除了最后2项外，其余的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数解答：解：由于n为奇数，=（1+7）n1=（91）n1=+1，显然，除了最后2项外，其余的各项都能被9整除，故此式除以9的余数即最后2项除以9的余数而最后2项的和为2，它除以9的余数为7，故答案为 7点评：本题主要考查二项式定理的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题6（5分）已知复数乘法（x+yi）（cos+isin）（x，yr，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转得到的点的坐标为考点：旋转变换；复数乘法的棣莫弗公式专题：计算题分析：根据复数乘法（x+yi）（cos+isin）（x，yr，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转角，即可得所求点的坐标解答：解：复数乘法（x+yi）（cos+isin）（x，yr，i为虚数单位）的几何意义是将复数x+yi在复平面内对应的点（x，y）绕原点逆时针方向旋转角，则将点（6，4）绕原点逆时针方向旋转得到的点的对应的复数为：（6+4i）（cos+isin）=（6+4i）（+i）=得到的点的坐标为 故答案为：点评：考查点的旋转问题；根据复数乘法的棣莫弗公式是解决本题的关键7（5分）展开式中有理项共有3 项考点：二项式定理专题：计算题；概率与统计分析：先求出展开式通项公式，当项为有理项时，x的次方应该为整数，由此得出结论解答：解：展开式通项公式为tr+1=若为有理项时，则为整数，r=0、6、12，故展开式中有理项共有3项，故答案为：3点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题8（5分）已知一个关于正整数n的命题p（n）满足“若n=k（kn*）时命题p（n）成立，则n=k+1时命题p（n）也成立”有下列判断：（1）当n=2013时命题p（n）不成立，则n2013时命题p（n）不成立；（2）当n=2013时命题p（n）不成立，则n=1时命题p（n）不成立；（3）当n=2013时命题p（n）成立，则n2013时命题p（n）成立；（4）当n=2013时命题p（n）成立，则n=1时命题p（n）成立其中正确判断的序号是（2）（3）（写出所有正确判断的序号）考点：命题的真假判断与应用专题：探究型分析：利用归纳法的证明过程进行推理判断解答：解：（1）根据条件只有命题成立时，才能推导出下一个命题成立，当命题不成立时，则不一定成立，所以（1）错误（2）若n=1时，命题p（n）成立，则一定能推出当n=2013时命题p（n）成立，与当n=2013时命题p（n）不成立，所以（2）正确（3）根据条件可知当n=2013时命题p（n）成立，则n2013时命题p（n）成立（4）当n=2013时命题p（n）成立，只能推出n2013时命题p（n）成立，无法推出n=1时命题p（n）是否成立所以正确的是（2）（3）故答案为：（2）（3）点评：本题主要考查学生的归纳与推理能力，综合性较强9（5分）已知复数z满足，则|z+i|（i为虚数单位）的最大值是考点：复数求模专题：计算题分析：由复数模的几何意义可得复数z对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，由此可得|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，1）的距离加上半径解答：解：由，所以复数z对应的点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆周上，所以|z+i|的最大值是点（2，0）与点（0，1）的距离加上半径，等于故答案为点评：本题考查了复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题10（5分）已知扇形oab，点p为弧ab上异于a，b的任意一点，当p为弧ab的中点时，soap+sobp的值最大现有半径为r的半圆o，在圆弧mn上依次取点（异于m，n），则的最大值为2n1r2sin考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：利用三角形的面积计算公式和数学归纳法即可得出解答：解：=，设mop1=1，p1op2=2，则0i，sini0，猜想的最大值为即sin1+sin2+（）下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，由扇形oab，点p为弧ab上异于a，b的任意一点，当p为弧ab的中点时，soap+sobp的值最大，可知成立（2）假设当n=k（kn*）时，不等式成立，即sin1+sin2+成立（1+2+，i0）则当n=k+1时，左边=即sin1+sin2+，当且仅当i=i+1时取等号左边+=右边，当且仅当i=i+1（in*，且1i2k+11）时取等号即不等式对于nn*都成立故答案为点评：熟练掌握三角形的面积计算公式和数学归纳法是解题的关键11（5分）从红桃2、3、4、5和梅花2、3、4、5这8张扑克牌中取出4张排成一排，如果取出的4张扑克牌所标的数字之和等于14，则不同的排法共有432种（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题专题：计算题分析：根据题意，分析可得，数字之和为14的情况有4，4，3，3；2，2，5，5； 2，3，4，5；再依次求得每种情况下的排法数目，进而由加法原理，相加可得答案解答：解：数字之和为10的情况有4，4，3，3；2，2，5，5； 2，3，4，5；取出的卡片数字为4，4，3，3时；有a44种不同排法；取出的卡片数字为2，2，5，5时；有a44种不同排法；取出的卡片数字为2，3，4，5时；每个数字都有两种不同的取法，则有24a44种不同排法；所以共有2a44+24a44=18a44=432种不同排法故答案为：432点评：本题考查排列的应用，解题时注意数字可能来自一种卡片还是两种卡片12（5分）（2011延安模拟）若，则（a0+a2+a4）2（a1+a3）2的值为1考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：通过对x分别赋值1，1，求出各项系数和和正负号交替出现的系数和，两式相乘得解解答：解：对于，令x=1得=a0+a1+a2+a3+a4令x=1得=a0a1+a2a3+a4两式相乘得1=（a0+a2+a4）2（a1+a3）2故答案为1点评：本题考查解决展开式的系数和问题的重要方法是赋值法13（5分）数列an满足an=，其中kn*，设f（n）=，则f（2013）f（2012）等于42012考点：数列的求和专题：计算题分析：先计算前几项的值，根据所求的值寻求规律，即可求解解答：解：由题意可得，f（2）f（1）=a1+a2+a3+a4（a1+a2）=a3+a4=3+1=4f（3）f（2）=a5+a6+a7+a8=5+3+7+1=42f（4）f（3）=a9+a10+a16=9+5+11+3+13+7+15+1=64=43f（2013）f（2012）=42012故答案为：42012点评：本题主要考查了数列的求和，解题的关键是利用已知递推公式准确求出数列的项，进而发现项的规律14（5分）我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如由等式（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n可得，左边xn的系数为，而右边，xn的系数为，由（1+x）2n=（1+x）n（1+x）n恒成立，可得利用上述方法，化简=考点：二项式定理的应用专题：计算题分析：根据题意，构造等式（x1）2n（x+1）2n=（x21）2n，分别从等式的左边和等式的右边求得x2n的系数，令其相等，即可求得原式的值解答：解：根据题意，构造等式（x1）2n（x+1）2n=（x21）2n，由等式的左边可得x2n的系数为c2n2n（1）2nc2n0+c2n2n1（1）2n1c2n1+c2n2n2（1）2n2c2n2+c2n0（1）0c2n2n，即（c2n0）2（c2n1）2+（c2n2）2（c2n3）2+（c2n2n）2，由右等式的右端可得 x2n的系数为（1）nc2nn，故有（c2n0）2（c2n1）2+（c2n2）2（c2n3）2+（c2n2n）2=（1）nc2nn，故答案为（1）nc2nn点评：本题考查组合数公式的应用，涉及二项式定理的应用，关键要根据题意，充分利用组合数的性质，属于中档题二、解答题（共6大题，共90分）15（15分）设实部为正数的复数z，满足，且复数（1+2i）z在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线，求复数z考点：复数求模；复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：设出复数z，由，复数（1+2i）z的实部和虚部相等联立方程组即可求得复数z解答：解：设z=a+bi，a，br，a0，由题意：a2+b2=10（1+2i）z=（1+2i）（a+bi）=a2b+（2a+b）i，得a2b=2a+b联立，解得a=3，b=1得z=3i点评：本题考查了复数的模，考查了复数的代数表示法和几何意义，是基础的运算题16（15分）4个男同学，3个女同学站成一排（1）男生甲必须排在正中间，有多少种不同的排法？（2）3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？（3）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（4）其中甲、乙两名同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？考点：排列、组合及简单计数问题专题：应用题分析：（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排序（3）先把4个男生排列，然后把3个女生向5个空档插孔（4）先把甲乙排好顺序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序解答：（本题满分15分）解：（1）男生甲位置确定，只要让其余6人全排：；（3分）（2）（捆绑法）先让3个女生“捆绑”成一个整体，内部排序有种，然后把女生看成一个整体，与其余的男生排列有，共有（7分）（3）先把4个男生排练有种排法，然后把3个女生向5个空档插孔，有=1440（11分）（4）先把甲乙排好顺序有种排序，然后从余下的5人中选出3人站在甲乙中间，有种，然后把甲乙及中间的5人看成一个整体，和其余的2人看着3个整体进行排序，有，共有（15分）点评：本题主要考查了排练中常见方法：特殊元素优先安排法，不相邻元素插孔法，相邻元素捆绑法的应用17（15分）已知（m是正实数）的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112（1）求m，n的值；（2）求展开式中奇数项的二项式系数之和；（3）求的展开式中含x2项的系数考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质专题：计算题分析：（1）由题意可得 2n=256，由此解得n=8再根据含x项的系数为 ，求得m的值（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为 ，再根据 二项式系数的性质求得结果（3），可得含x2的系数为，运算求得结果解答：解：（1）由题意可得 2n=256，解得n=8（3分）含x项的系数为 ，（5分）解得m=2，或m=2（舍去） 故m，n的值分别为2，8（6分）（2）展开式中奇数项的二项式系数之和为 （9分）（3），（11分）所以含x2的系数为（15分）点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题18（15分）（2007天津）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现在从甲、乙两个盒内各任取2个球（i）求取出的4个球均为黑色球的概率；（）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望考点：等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列分析：（1）取出的4个球均为黑色球包括从甲盒内取出的2个球均黑球且从乙盒内取出的2个球为黑球，这两个事件是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果（2）取出的4个球中恰有1个红球表示从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球或从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球两种情况，它们是互斥的（3）为取出的4个球中红球的个数，则可能的取值为0，1，2，3结合前两问的解法得到结果，写出分布列和期望解答：解：（i）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件a，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件b事件a，b相互独立，且取出的4个球均为黑球的概率为p（ab）=p（a）p（b）=（ii）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件c，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件d事件c，d互斥，且取出的4个球中恰有1个红球的概率为p（c+d）=p（c）+p（d）=（iii）解：可能的取值为0，1，2，3由（i），（ii）得，又，从而p（=2）=1p（=0）p（=1）p（=3）=的分布列为的数学期望点评：本小题主要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力19（15分）已知ai0（i=1，2，n），考查；归纳出对a1，a2，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明考点：数学归纳法；归纳推理专题：证明题分析：依题意可归纳出：（a1+a2+an）（+）n2；下面用数学归纳法证明：当n=1时易证；假设当n=k时，不等式成立，去证明当n=k+1时，不等式也成立即可，需注意归纳假设的利用与基本不等式的应用解答：结论：（a1+a2+an）（+）n