高三数学二轮复习 第二篇 数学思想 一 函数与方程思想课件 理.ppt

一 函数与方程思想 思想解读 总纲目录 应用一解决图象交点或方程根的问题例1设f x 是定义在r上的偶函数 对任意x r 都有f x 4 f x 且当x 2 0 时 f x 6 若在区间 2 6 内关于x的方程f x loga x 2 0 a 1 恰有3个不同的实数根 则实数a的取值范围是 答案 2 解析由f x 4 f x 得函数f x 的周期为4 若x 0 2 则 x 2 0 则f x 6 3x 6 因为f x 是偶函数 所以f x 3x 6 f x 即f x 3x 6 x 0 2 设g x loga x 2 作出函数f x g x 的图象如图 当a 1时 方程f x loga x 2 0恰有3个不同的实数根 等价于函数f x 与g x loga x 2 有3个不同的交点 则满足即 解得 a 2 故a的取值范围是 2 技法点评 利用函数与方程思想解决交点或方程根的问题的思路 1 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题 应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题 2 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数问题解决 函数f x 的零点个数为 a 2b 3c 4d 5答案d当x 0时 令ex x2 1 0 则ex 1 x2 令g x ex h x 1 x2 作出两函数图象 如图1 图象有两个交点 即ex x2 1 0有两个解 跟踪集训 图1 当x 0时 f x x3 2x2 3x 1 则f x x2 4x 3 x 3 x 1 x 3 x 1是函数f x 的极值点 又f 1 f 3 1 在 0 上f x 的大致图象如图2所示 图2 f x 的图象与x轴在x 0 上有3个交点 综上 函数f x 的零点个数为5 故选d 应用二解决最值或范围问题例2已知a b c为平面上三个向量 又a b是两个相互垂直的单位向量 向量c满足 c 3 c a 2 c b 1 则对于任意实数x y c xa yb 的最小值为 答案2 解析由题意可知 a b 1 a b 0 又 c 3 c a 2 c b 1 所以 c xa yb 2 c 2 x2 a 2 y2 b 2 2xc a 2yc b 2xya b 9 x2 y2 4x 2y x 2 2 y 1 2 4 当且仅当x 2 y 1时 c xa yb 2 min 4 所以 c xa yb 的最小值为2 技法点评 求最值或参数范围的技巧 1 充分挖掘题设条件中的不等关系 构建以待求字母为元的不等式 组 求解 2 充分应用题设中的等量关系 将待求参数表示成其他变量的函数 然后应用函数知识求解 3 当问题中出现两数积与这两数和时 应构建一元二次方程 再利用方程知识使问题巧妙解决 4 当问题中出现多个变量时 往往要利用等量关系去减少变量的个数 跟踪集训 2017湖南五市十校联考 圆锥的母线长为l 过顶点的最大截面的面积为l2 则圆锥底面半径与母线长的比的取值范围是 a 0r lcos45 l 所以 1 应用三解决与不等式有关的问题例3关于x的不等式ex 1 x 0在x 上恰成立 则a的取值集合为 答案 2 解析关于x的不等式ex 1 x 0在x 上恰成立 函数g x 在上的值域为 因为g x 令 x ex x 1 x2 1 x 则 x x ex 1 因为x 所以 x 0 故 x 在上单调递增 所以 x 0 因此g x 0 故g x 在上单调递增 则g x g 2 所以a 2 解得a 2 所以a的取值集合为 2 技法点评 解决不等式问题的方法及注意点 1 在解决不等式恒成立问题时 一种最重要的思想方法就是构造适当的函数 利用函数的图象和性质解决问题 2 要注意在一个含多个变量的数学问题中 需要确定合适的变量和参数 从而揭示函数关系 使问题更明朗化 一般地 已知存在范围的量为变量 而待求范围的量为参数 跟踪集训1 函数f x 的定义域为r f 1 2 对任意x r f x 2 则f x 2x 4的解集为 a 1 1 b 1 c 1 d 答案b设g x f x 2x 4 则g 1 f 1 2 1 4 0 g x f x 2 0 则g x 为增函数 解g x 0 即g x g 1 得x 1 选b 2 若0lnx2 lnx1b x1d x2 x1 应用四解决与数列有关的问题例4已知数列 an 是各项均为正数的等差数列 1 若a1 2 且a2 a3 a4 1成等比数列 求数列 an 的通项公式an 2 在 1 的条件下 数列 an 的前n项和为sn 设bn 若对任意的n n 不等式bn k恒成立 求实数k的最小值 解析 1 因为 an 是正项等差数列 所以d 0 由题意知 a2 a4 1 又a1 2 所以 2 2d 2 2 d 3 3d 解得d 2或d 1 舍去 所以数列 an 的通项公式an 2n 2 易知sn n n 1 则bn 令f x 2x x 1 则f x 2 当x 1时 f x 0恒成立 所以f x 在 1 上是增函数 故当x 1时 f x min f 1 3 即当n 1时 bn max 要使对任意的正整数n 不等式bn k恒成立 则须使k bn max 所以实数k的最小值为 技法点评 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型 1 数列中的恒成立问题 转化为最值问题 利用函数的单调性或不等式求解 2 数列中的最大项与最小项问题 利用函数的有关性质或不等式组 n 2 n n 求解 3 数列中前n项和的最值 转化为二次函数 借助二次函数的单调性或求使an 0 an 0 成立时最大的n值即可求解 跟踪集训 2017长沙统一模拟考试 已知数列 an 为等差数列 其中a2 a3 8 a5 3a2 1 求数列 an 的通项公式 2 记bn 设 bn 的前n项和为sn 求最小的正整数n 使得sn 解析 1 设等差数列 an 的公差为d 依题意有解得a1 1 d 2 从而 an 的通项公式为an 2n 1 2 因为bn 所以sn 1 令1 解得n 1008 故n 1009 应用五解决与解析几何 立体几何有关的问题例5设椭圆中心在坐标原点 a 2 0 b 0 1 是它的两个顶点 直线y kx k 0 与直线ab相交于点d 与椭圆相交于e f两点 1 若 6 求k的值 2 求四边形aebf面积的最大值 解析 1 由题设条件可得 椭圆的方程为 y2 1 直线ab的方程为x 2y 2 0 设d x0 kx0 e x1 kx1 f x2 kx2 其中x1 x2 由得 1 4k2 x2 4 解得x2 x1 由 6得x0 x1 6 x2 x0 x0 6x2 x1 x2 由d在ab上 得x0 2kx0 2 0 x0 化简 得24k2 25k 6 0 解得k 或k 2 根据点到直线的距离公式和 式可知 点e f到ab的距离分别为d1 d2 又 ab 四边形aebf的面积为s ab d1 d2 2 2 2 2 2 当且仅当4k k 0 即k 时 等号成立 故四边形aebf面积的最大值为2 技法点评 解析几何中的最值是高考的热点 在圆锥曲线的综合问题中经常出现 求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中 抓住函数关系 将目标量表示为一个 或者多个 变量的函数 然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 跟踪集训1 2015湖南 10 5分 某工件的三视图如图所示 现将该工件通过切削 加工成一个体积尽可能大的长方体新工件 并使新工件的一个面落在原工件的一个面内 则原工件材料的利用率为 a b c d 2 2016山