高中数学 第1章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系 1.2.4 第二课时 两平面垂直课件 苏教版必修2.ppt

第二课时两平面垂直 第1章立体几何初步 学习导航 第1章立体几何初步 1 二面角的概念 1 半平面 平面内的一条直线把这个平面分成 其中的每一部分都叫做半平面 2 二面角 一条直线和由这条直线出发的 所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做 每个半平面叫做 如图 中 棱为l或ab 面为 记作 l ab 或p l q p ab q p q分别为在 内且不在棱上的点 两部分 两个半平面 二面角的棱 二面角的面 任意一点 垂直于棱 符号语言 l o l oa ob aob为二面角 l 的平面角 4 二面角大小的度量 二面角的大小可以用它的 来度量 二面角的平面角是多少度 就说这个二面角是多少度 二面角 的大小范围是 平面角是直角的二面角叫做 oa l ob l 平面角 0 180 直二面角 3 两个平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 l l 3 平面与平面垂直的性质定理 垂直于 1 经过平面 外一点和平面 内一点与平面 垂直的平面有 个 解析 记这两点确定的直线为l 当l是平面 的斜线时 设l在 内的射影为m 则l与m确定一个平面 这时 当l 时 则过l的任一平面都与 垂直 2 下列命题中 是真命题的为 填序号 二面角的大小范围是大于0 且小于90 一个二面角的平面角可以不相等 二面角的平面角的顶点可以不在棱上 二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直 1或无数 解析 二面角的大小范围是 0 180 故 不正确 一个二面角的平面角可以有许多个 由等角定理 这些平面角必相等 故 为假命题 由二面角的平面角的定义可知 不正确 由线面垂直的判定定理可知 正确 3 下列说法 两个相交平面组成的图形叫做二面角 异面直线a b分别和一个二面角的两个面垂直 则a b所成的角与这个二面角相等或互补 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内作射线所成角的最小角 其中正确的是 填序号 解析 对于 混淆了平面与半平面的概念 是错误的 对于 由于a b分别垂直于两个平面 所以也垂直于二面角的棱 但由于异面直线所成的角为锐角 或直角 所以应是相等或互补 是正确的 对于 因为不垂直于棱 所以是错误的 4 如图 在正四面体p abc 棱长均相等 中 e是bc的中点 则平面pae与平面abc的位置关系是 解析 因为pb pc e是bc的中点 所以pe bc 同理ae bc 又ae pe e 所以bc 平面pae 又bc 平面abc 所以平面pae 平面abc 垂直 如图 在四面体sabc中 asc 90 asb bsc 60 sa sb sc 求证 平面asc 平面abc 链接教材p48例2 面面垂直的判定 法二 同上可证得ba bc bs 作bd 平面asc交于d 连结da dc ds ba bc bs da dc ds d为 acs的外心 acs中 as cs acs的外心落在斜边的中点上 即d ac bd 平面abc 平面asc 平面abc 方法归纳根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化成了求二面角的平面角 通常情况下利用判定定理要比定义简单些 是证明面面垂直的常用方法 即要证面面垂直 只要转证线面垂直 其关键与难点是在其中一个平面内寻找一条直线与另一平面垂直 1 如图 设ab是圆o的直径 c是圆周上除a b外的任意一点 pa 平面abc 求证 平面pac 平面pbc 证明 在圆o中 ab是直径 c为圆o上除a b外的一点 故 acb 90 即ac bc 又pa 平面abc bc 平面abc pa bc 故bc 平面pac bc 平面pbc 平面pbc 平面pac 如图 正方形abcd和四边形acef所在的平面互相垂直 ef ac ab ce ef 1 求证 cf 平面bde 链接教材p49练习t6 面面垂直性质定理的应用 方法归纳在应用面面垂直的性质定理时必须注意两个条件 线在平面内 线垂直于两平面的交线 因此找准两平面的交线是关键 在应用线面平行 垂直的判定和性质定理证明有关问题时 善于运用转化思想的同时 还应注意寻找线面平行 垂直所需的条件 如图 在三棱锥v abc中 va vb ac bc 2 ab 2 vc 1 试画出二面角v ab c的平面角 并求它的度数 链接教材p47例1 求二面角的大小 解 取ab的中点e 连结ve ce va vb ac bc 2 ve ab ce ab vec就是二面角的平面角 ve ec vc 1 vec 60 方法归纳 1 求空间角 如二面角 直线和平面所成的角等 都是找出或作出平面角 再把平面角放在三角形中 利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值 2 求二面角的大小 其步骤一般有三步 作 作出二面角的平面角 证 证明所作的角是二面角的平面角 求 解三角形 求出这个角 规范与警示 1 在线面垂直和面面垂直的判定定理中 有一些非常重要的限制条件 如 两条相交直线 一个平面经过另一个平面的一条垂线 等 这既为证明指明了方向 同时又有很强的制约性 所以使用这些定理时 一定要注意体现逻辑推理的规范性 2 注意掌握好以下几个相似的结论 垂直于同一平面的两条直线平行 垂直于同一条直线的两个平面平行 垂直于同一平面的两个平面平行或相交 垂直于同一条直线的两条直线平行 相交或者异面 错因与防范 1 使用线面平行的判定定理时 必须证得三个条件同时具备 才能判定直线与平面平行 不可省略任何一个条件 2 由面 面 线 面 面 面 注意转化思想的应用 每步必须满足定理的条件 如若省略条件 将导致证明推理过程不严密而丢分 3 解题过程要表达准确 格式要符合要求 每步推理要有根有据