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命题人：吴明芬_审批人：_ 试卷分类（A卷或B卷）_五邑大学 试卷课程：_矩阵分析_专业：_电子、交通、机械研究生 学号：_学期：05 至06 学年度第_一_学期 姓名：_ 得分：_ _一 设三阶方阵，求W的维数与基。（8分）解：W的维数是5，一组基为 四设方程组如下 （8分） 用系数矩阵的LU分解求解方程组，要写出矩阵L，U。 五证明对任意的矩阵，若定义，则| |是一种矩阵范数，但不是算子范数（从属于向量范数的矩阵范数）。 （10分）证明：由定义显然知 （1）； （2） （3）设 则 （4）设 则 所以|。|是矩阵范数 下面说明它不是算子范数。如果它是算子范数，则存在某个向量范数，使得，但是对单位矩阵而言，左边|E|=n，右边=1，矛盾。六 设V为数域P上的二维线性空间，为V的一组基，线性变换T在基下的矩阵是 。 （1）计算T在基下的矩阵。 （2）求 。 （12分）解：设V为数域P上的二维线性空间，为V的一组基，线性变换T在基下的矩阵是 。（1）计算T在基下的矩阵。 （2）求 。 八求矩阵的Jordan标准形。 （8分）解：九 求微分方程组 满足初始条件的解。，设，得，十。求到自身的一个线性变换及其在某个基下的矩阵，使得的像Im包含向量,而的核Ker由向量生成. 又, 这样的线性变换是否唯一?为什么?解 设题中给出的三个向量依次为a1，a2，a3。取的一组基为。构造到自身的一个映射为：，再将线性拓展到整个上。则是满足题意的一个线性变换。上述线性变换显然不是唯一的（实际上有无穷多个）：比如，将上面的线性变换第一个基元素的像与第二个基元素的像对调，即可得一个新的满足题意的线性变换。原因在于除去k（k是任意复数）的像（0）确定外，其与相邻的像不是完全确定的。十一。 复数域C是实数域R上的2维线性空间. 试定义C上的一个内积,使得1与 成为C的一个标准正交基；并求的长度.解 对任意xj+yjiC，j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)1+yj(1+i)。为使1与成为C的一个标准正交基，必要且只要=0，=1，=1, 必要且只要=(x1-y1) (x2-y2)+ y1y2 .上式定义了一个C上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是x1，x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。在上述内积下，向量x+yi的长度等于(x-y)2+y21/2;因此1i的长度为51/2.十二。设，求。解I A的Jordan标准形与过渡矩阵分别为。因此 解2 利用A的最小多项式(x-1)2. 可知必有一次多项
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