江西省抚州市临川二中、余江一中高三数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

江西省抚州市临川二中、余江一 中2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1已知集合a=cos0，sin270，b=x|x2+x=0，则ab为( )a0，1b1，1c1d0考点：交集及其运算 专题：集合分析：利用特殊角的三角函数值确定出a中的元素，求出b中方程的解得到x的值，确定出b，找出a与b的交集即可解答：解：a=cos0，sin270=1，1，b=x|x2+x=0=x|x（x+1）=0=1，0，ab=1，故选：c点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2在复平面内，复数，（i为虚数单位）对应的点分别为a，b，若点c为线段ab的中点，则点c对应的复数为( )ab1cidi考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：根据复数的几何意义进行运算即可解答：解：=，则a（，），=，则b（，），则c（，0），即点c对应的复数为，故选：a点评：本题主要考查复数的几何意义，根据复数的基本运算是解决本题的关键3已知随机变量服从正态分布n（2，2），p（4）=0.84，则p（24）=( )a0.68b0.34c0.17d0.16考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题；概率与统计分析：根据随机变量x服从正态分布n（2，2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴=2，根据正态曲线的特点，即可得到结果解答：解：随机变量x服从正态分布n（2，2），=2，p（4）=0.84，p（24）=0.84.5=0.34故选：b点评：本题考查正态分布的曲线特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题4下列命题中，真命题是( )ax0r，使得ex00bsin2x+3（xk，kz）cxr，2xx2da1，b1是ab1的充分不必要条件考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：根据指数函数的值域为（0，+），可判断a；举出反例，sinx=1可判断b；举出反例x=3，可判断c；根据充要条件的定义，可判断d解答：解：ex0恒成立，故ax0r，使得ex00错误；当sinx=1时，sin2x+=1，故b错误；当x=3时，2332，故c错误；当a1，b1时，ab1成立，反之，当ab1时，a1，b1不一定成立，故a1，b1是ab1的充分不必要条件，故d正确；故选：d点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了全称命题，特称命题，充要条件等知识点，难度不大，属于基础题5圆（x1）2+y2=1被直线xy=0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )a1：2b1：3c1：4d1：5考点：直线与圆相交的性质 专题：计算题分析：根据圆的方程求得圆心坐标和半径，进而根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离，利用勾股定理求得直线被圆截的弦长，进而可利用勾股定理推断出弦所对的角为直角，进而分别求得较短的弧长和较长的弧长，答案可得解答：解：圆的圆心为（1，0）到直线xy=0的距离为=弦长为2=根据勾股定理可知弦与两半径构成的三角形为直角三角形，较短弧长为21=，较长的弧长为2=较短弧长与较长弧长之比为1：3故选b点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质一般采用数形结合的方法，在弦与半径构成的三角形中，通过解三角形求得问题的答案6某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，起直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为( )abcd考点：椭圆的定义 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a2b2=c2，和离心率公式e=，计算即可解答：解：设正视图正方形的边长为2，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=2，俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=2，则椭圆的半焦距c=1，根据离心率公式得，e=；故选d点评：本题主要考查了椭圆的离心率公式，以及三视图的问题，属于基础题7在程序框图中，当nn（n1）时，函数fn（x）表示函数fn1（x）的导函数，若输入函数f1（x）=sinx+cosx，则输出的函数fn（x）可化为( )asin（x）bsin（x）csin（x+）dsin（x+）考点：循环结构 专题：图表型分析：先根据流程图弄清概括程序的功能，然后计算分别f1（x），f2（x）、f3（x）、f4（x）、f5（x），得到周期，从而求出f2015（x）的解析式解答：解：由框图可知n=2015时输出结果，由于f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=sinx+cosx，f3（x）=sinxcosx，f4（x）=sinxcosx，f5（x）=sinx+cosx，所以f2015（x）=f4503+3（x）=f3（x）=sinxcosx=sin（x+）故选：d点评：本题主要考查程序框图，解题的关键是识图，特别是循环结构的使用、同时考查周期性及三角变换，属于中档题8如图，矩形abcd的四个顶点的坐标分别为a（0，1），b（，1），c（，1），d（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形abcd内交于点f，向矩形abcd区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )abcd考点：几何概型 专题：概率与统计分析：利用定积分计算公式，算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域d内的图形面积为s=2，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率解答：解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，其面积为（sinxcosx）dx=（cosxsinx）|=1（）=1+；又矩形abcd的面积为2，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；故选b点评：本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题9设等差数列an满足：=1，公差d（1，0）若当且仅当n=9时，数列an的前n项和sn取得最大值，则首项a1取值范围是( )a（，）b（，）cd考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围解答：解：由=1，得：，即，由积化和差公式得：，整理得：，sin（3d）=1d（1，0），3d（3，0），则3d=，d=由=对称轴方程为n=，由题意当且仅当n=9时，数列an的前n项和sn取得最大值，解得：首项a1的取值范围是故选：b点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力，是中档题10如果自然数a的各位数字之和等于8，我们称a为“吉祥数”将所有“吉祥数”从小到大排成一列a1，a2，a3，若an=2015，则n=( )a83b82c39d37考点：数列递推式 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：利用“吉祥数”的定义，分类列举出“吉祥数”，推理可得到结论解答：解：由题意，一位数时只有8一个；二位数时，有17，26，35，44，53，62，71，80共8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0，1，7）有4个，（0，2，6）有4个，（0，3，5）有4个，（0，4，4）有2个，（1，1，6）有3个，（1，2，5）有6个，（1，3，4）有6个，（2，2，4），有3个，（2，3，3）有3个，共1+43+2+33+62=36个，四位数小于等于2015：（0，0，1，7）有3个，（0，0，2，6）有1个，（0，1，1，6）有6个，（0，1，2，5）有7个，（0，1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个，（1，1，3，3）有3个，（1，2，2，3）有3个，共有34+63+1+7=38个数，小于等于2015的一共有1+8+36+38=83个，即a83=2015故选：a点评：本题考查新定义，涉及简单计数原理和排列组合的知识，属中档题11若双曲线x2y2=a2（a0）的左、右顶点分别为a、b，点p是第一象限内双曲线上的点，若直线pa、pb的倾斜角分别为，且=k（k1），那么的值是( )abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设p（m，n），得直线pa、pb的斜率kpa和kpb满足：kpakpb=，由点p是双曲线x2y2=a2上的点，得n2=m2a2，整理得kpakpb=1由斜率与倾斜角的关系，得tantan=1，结合三角函数诱导公式，得+=，最后根据=化简整理，即可得到本题的答案解答：解：双曲线方程为x2y2=a2，即=1（a0）双曲线的左顶点为a（a，0），右顶点为b（a，0）设p（m，n），得直线pa的斜率为kpa=；直线pb的斜率为kpb=kpakpb=（1）p（m，n）是双曲线x2y2=a2上的点，m2n2=a2，得n2=m2a2，代入（1）式得kpakpb=1，直线pa、pb的倾斜角分别为，得tan=kpa，tan=kpb，tantan=1，p是第一象限内双曲线上的点，得、均为锐角+=（k+1）=，解之得=，故选d点评：本题给出等轴双曲线上一点p，求p与两个顶点连线的倾斜角之间的一个关系式，着重考查了直线的斜率、三角函数公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题12如图，已知正方体abcda1b1c1d1棱长为4，点h在棱aa1上，且ha1=1在侧面bcc1b1内作边长为1的正方形efgc1，p是侧面bcc1b1内一动点，且点p到平面cdd1c1距离等于线段pf的长则当点p运动时，|hp|2的最小值是( )a21b22c23d25考点：点、线、面间的距离计算 专题：空间位置关系与距离分析：建立空间直角坐标系，过点h作hmbb，垂足为m，连接mp，得出hp2=hm2+mp2；当mp最小时，hp2最小，利用空间直角坐标系求出mp2的最小值即可解答：解：建立空间直角坐标系，如图所示，过点h作hmbb，垂足为m，连接mp，则hmpm，hp2=hm2+mp2；当mp最小时，hp2最小，过p作pncc，垂足为n，设p（x，4，z），则f（1，4，3），m（4，4，3），n（0，4，z），且4x0，4z0；pn=pf，=x，化简得2x1=（z3）2；mp2=（x4）2+（z3）2=（x4）2+2x1=x26x+156，当x=3时，mp2取得最小值，此时hp2=hm2+mp2=42+6=22为最小值故选：b点评：本题考查了空间直角坐标系的应用问题，也考查了空间中的距离的最值问题，是较难的题目二、填空题（每小题5分，共20分）13已知=（2，1），=（3，4），则在方向上的投影为2考点：向量的投影 专题：计算题分析：根据向量的数量积的几何意义可知，向量在向量上的投影为 ，代入数据计算即可解答：解：=（2，1），=（3，4），=23+14=10，|=5向量在向量方向上的投影为|cos=2故答案为2点评：本题考查向量的投影，关键是牢记定义与公式，分清是哪一个向量在哪一个向量上的投影14设n=（4sinx+cosx）dx，则二项式（x）n的展开式中x的系数为10考点：二项式定理 专题：二项式定理分析：计算定积分求出n=5，再根据（x）5的展开式的通项公式，求出展开式中x的系数解答：解：n=（4sinx+cosx）dx=（sinx4cosx）=1（4）=5，则二项式（x）n=（x）5的展开式的通项公式为tr+1=（1）rx52r，令52r=1，求得r=2，可得展开式中x的系数为=10，故答案为：10点评：本题主要考查定积分的计算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15设实数x，y满足约束条件，若目标函数z=（a2+2b2）x+y的最大值为8，则2a+b的最小值为考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=（a2+2b2）x+y得y=（a2+2b2）x+z，由图象可知当y=（a2+2b2）x+z，经过点a时，目标函数的截距最大，此时z最大，由，解得，即a（1，4），则a2+2b2+4=8，即a2+2b2=4，即，设a=2sin，b=cos，则2a+b=4sin+cos=3sin（+），其中为参数，则当sin（+）=1时，2a+b有最小值为，故答案为：点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及三角换元法是解决本题的关键16已知o是锐角abc的外接圆的圆心，且，其外接圆半径为r，若，则m=考点：正弦定理；平面向量的基本定理及其意义；与圆有关的比例线段 专题：解三角形；平面向量及应用分析：先把等式中向量用表示出来，然后两边同与向量作数量积运算，结合正弦定理化边为角即可求得m值解答：解：由，得=，两边同时乘向量，得+=，即+=mr2，所以+=，由正弦定理可得，m，所以2sinccosb2sinbcosc=m，即2sin（b+c）=m，也即2sina=2sin=m，所以m=故答案为：点评：本题考查平面向量的基本定理、向量数量积运算、正弦定理等知识，本题解答的关键是两边同乘向量，具有一定技巧三、解答题（本题共5小题，共70分）17等差数列an的前n项和为sn，数列bn是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+s2=10，a52b2=a3（）求数列an和bn的通项公式；（）令cn=设数列cn的前n项和tn，求t2n考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：（i）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（）由a1=3，an=2n+1得sn=n（n+2）则n为奇数，cn=“分组求和”，利用“裂项求和”、等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（）设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，由b2+s2=10，a52b2=a3得，解得an=3+2（n1）=2n+1，（）由a1=3，an=2n+1得sn=n（n+2），则n为奇数，cn=，n为偶数，cn=2n1t2n=（c1+c3+c2n1）+（c2+c4+c2n）=点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲合计男同学124622女同学081220合计12121842（）在统计结果中，如果把几何证明选讲和坐标系与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下22列联表：（单位：人）几何类代数类总计男同学16622女同学81220总计241842据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？（）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做不等式选讲的同学中求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；记抽到数学科代表的人数为x，求x的分布列及数学期望e（x）下面临界值表仅供参考：p（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：考点：线性回归方程；古典概型及其概率计算公式 专题：综合题；概率与统计分析：（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数（2）令事件a为“这名学委被抽取到”；事件b为“两名数学科代表被抽到”，利用条件概率求得两名数学科代表也被选中的概率，或利用古典概型概率公式求解；记抽取到数学科代表的人数为x，由题x的可能值有0，1，2依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可解答：解：（）由表中数据得k2的观测值k=4.5823.841所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关 （）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学方法一：令事件a为“这名班级学委被抽到”；事件b为“两名数学科代表被抽到”，则p（ab）=，p（a）=所以p（b|a）=方法二：令事件c为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到”，则p（c）=由题知x的可能值为0，1，2依题意p（x=0）=；p（x=1）=；p（x=2）=从而x的分布列为x012p于是e（x）=0+1+2=点评：本题考查离散型随机变量及其分布列、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题19如图，pd垂直于梯形abcd所在的平面，adc=bad=90f为pa中点，pd=，ab=ad=cd=1四边形pdce为矩形，线段pc交de于点n（）求证：ac平面def；（）求二面角abcp的大小；（）在线段ef上是否存在一点q，使得bq与平面bcp所成角的大小为？若存在，请求出fq的长；若不存在，请说明理由考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）连接fn，证明fnac，然后利用直线与平面平行的判定定理证明ac平面def（）以d为原点，分别以da，dc，dp所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系dxyz，求出平面pbc的法向量，平，通过向量的数量积求解二面角abcp的大小（） 设存在点q满足条件设，通过直线bq与平面bcp所成角的大小为，列出关系式，求出，然后求解fq的长解答：（本小题满分14分）解：（）证明：连接fn，在pac中，f，n分别为pa，pc中点，所以fnac，因为fn平面def，ac平面def，所以ac平面def（）如图以d为原点，分别以da，dc，dp所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系dxyz则设平面pbc的法向量为，则，即，解得，令x=1，得 ，所以因为平，所以，由图可知二面角abcp为锐二面角，所以二面角abcp的大小为（） 设存在点q满足条件由设，整理得 ，因为直线bq与平面bcp所成角的大小为，所以 ，则2=1，由01知=1，即q点与e点重合故在线段ef上存在一点q，且点评：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力20已知椭圆c：+=1（ab0），直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆c的短半轴为半径的圆相切，f1，f2为其左右焦点，p为椭圆c上的任意一点，f1pf2的重心为g，内心为i，且igf1f2（）求椭圆c的方程；（）已知a为椭圆c上的左顶点，直线过右焦点f2与椭圆c交于m，n两点，若am，an的斜率k1，k2满足k1+k2=，求直线mn的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）设p（x0，y0），i（x1，y1），则g（），由已知条件推导出a=2c，b=由此能求出椭圆方程（）设直线l为y=k（x1），直线l和椭圆交于m（x1，y1），n（x2，y2）将y=k（x1）代入3x2+4y2=12中，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由此利用韦达定理能求出直线mn的方程解答：解：（）设p（x0，y0），i（x1，y1），则g（）又igf1f2，|f1f2|=2c，=|f1f2|y0|=2c=，故a=2c又直线y=x+与以原点为圆心，以椭圆c的短半轴为半径的圆相切，b=，a=2，c=1（）若直线l斜率不存在，显然k1+k2=0不合题意；则直线l的斜率存在设直线l为y=k（x1），直线l和椭圆交于m（x1，y1），n（x2，y2）将y=k（x1）代入3x2+4y2=12中，得：（3+4k2）x28k2x+4k212=0，依题意：=9k2+90，由韦达定理知：，又kam+kan=k（）=k，=，从而kam+kan=k（23）=，解得k=2，符合0故所求直线mn的方程为：y=2（x1）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用21已知函数f（x）=exsinxcosx，g（x）=xcosxex，其中e是自然对数的底数（1）判断函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）x1，x2，使得f（x1）+g（x2）m成立，试求实数m的取值范围；（3）若x1，求证：f（x）g（x）0考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；导数的运算 专题：导数的综合应用分析：（1）利用导数得到函数y=f（x）在（0，）上单调递增，f（0）=10，f（）0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1；（2）确定函数f（x）在上单调递增，可得f（x）min=f（0）=1；函数g（x）在上单调递减，可得g（x）max=g（0）=，即可求出实数m的范围；（3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证，令h（x）=，x1，利用导数求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作点a（sinx，cosx）与点b（，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k的最大值，即可证明解答：解：（1）函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1，理由如下：f（x）=exsinxcosx，f（x）=ex（sinx+cosx）+sinx，x（0，），f（x）0，函数y=f（x）在（0，）上单调递增，f（0）=10，f（）0，根据函数零点存在性定理得函数y=f（x）在（0，）内的零点的个数为1（2）f（x1）+g（x2）m，f（x1）mg（x2），f（x1）minmin，f（x1）minmg（x2）max，当x时，f（x）0，函数f（x）在上单调递增，f（x）minf（0）=1，g（x）=xcosxex，g（x）=cosxxsinxex，x，0cosx1，xsinx0，ex，g（x）0，函数g（x）在上单调递减，g（x）maxg（0）=，1m+，m1，实数m的取值范围为（，1）；（3）x1，要证：f（x）g（x）0，只要证f（x）g（x），只要证exsinxcosxxcosxex，只要证ex（sinx+）（x+1）cosx，由于sinx+0，x+10，只要证，下面证明x1时，不等式成立，令h（x）=，x1，h（x）=，x1，当x（1，0）时，h（x）0，h（x）单调递减，当x（0，+）时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）min=h（0）=1令k=，其可看作点a（sinx，cosx）与点b（，0）连线的斜率，直线ab的方程为y=k（x+），由于点a在圆x2+y2=1上，直线ab与圆相交或相切，当直线ab与圆相切且切点在第二象限时，直线ab的斜率取得最大值为1，当x=0时，k=1=h（0），x0时，h（x）1k，综上所述，当x1，f（x）g（x）0点评：本题考查了函数零点存在性定理，导数和函数的最值的关系，以及切线方程，考查分类整合思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力注意认真体会（3）问中几何中切线的应用，属于难题选做题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）【选修4-1：几何证明选讲】22如图，ab、cd是圆的两条平行弦，beac，be交cd于e、交圆于f，过a点的切线交dc的延长线于p，pc=ed=1，pa=2（）求ac的长；（）求证：be=ef考点：与圆有关的比例线段；弦切角 专题：计算题；证明题分析：（1）由pa是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得pd，再由角相等得三角形相似：paccba，从而求得ac的长；（2）欲求证：“be=ef”，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合