江苏省无锡新领航教育咨询有限公司中考数学 数与式中典型例题串讲二.doc

数与式中典型例题串讲二课前集训巩固提高1已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列5个结论：abc0；ba+c；4a+2b+c0；2c3b；a+bm（am+b）（m1的实数）其中正确的结论有（ ）a2个 b3个 c4个 d5个【答案】b【解析】试题分析：由图象可知：a0，b0，c0，abc0，错误；当x=-1时，y=a-b+c0，即ba+c，错误；由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c0，正确；当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c0，且x=-=1，即a=-，代入得9（-）+3b+c0，得2c3b，正确；当x=1时，y的值最大此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+cam2+bm+c，故a+bam2+bm，即a+bm（am+b），正确正确故选b考点：二次函数图象与系数的关系2函数y=与y=kx2+k（k0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） 【答案】b【解析】试题分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致由解析式可得：抛物线对称轴x=0；a、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故a错误；b、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故b正确；c、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故c错误；d、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k0，则k0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故d错误考点：反比例函数、二次函数的图象及性质点评：本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求3若互为相反数，互为倒数，则_【答案】1【解析】试题分析：根据题意得：，则原式=01=1故答案为：1考点：1有理数的混合运算；2相反数；3倒数4若x2+2（a-3）x+16是完全平方式，则a = 【答案】-1或7【解析】试题分析：本题考查的是完全平方式，这里首末两项是x和4的平方，那么中间项为加上或减去x和4的乘积的2倍，故2（a-3）=8，解得a的值即可试题解析：由于（x4）2=x28x+16=x2+2（a-3）x+16，2（a-3）=8，解得a=-1或a=7考点：完全平方式5定义一种对正整数n的“f”运算：当n为奇数时，结果为3n+5；当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行例如：取n=26，则：若，则第201次“f”运算的结果是 【答案】【解析】试题分析:根据题意：,所以, 所以运算结果为 考点：1阅读新教材;2规律6 定义：对于实数a，符号a表示不大于a的最大整数例如：57=5，5=5，-=-4（1）如果a=-2，那么a的取值范围是 _（2）如果 ，满足条件的所有正整数x有_【答案】-3a-2 5,6【解析】试题分析：（1）根据a=-2，得出-3a-2，求出a的解即可；（2）根据题意得出34,求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解考点：一元一次不等式组的应用点评：此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式的解7已知三角形的两边长是方程x 25x6=0的两个根，则该三角形的周长的取值范围是 【答案】610【解析】试题分析：，（x2）（x3）=0，x=2或x=3，即三角形的两边长是2和3，第三边a的取值范围是：1a5，该三角形的周长的取值范围是610考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系点评：本题考查了用因式分解法解一元二次方程的方法：把方程左边分解成两个一次式的乘积，右边为0，从而方程就转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可也考查了三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边8若满足不等式的整数k只有一个，则正整数n的最大值 .【答案】112； 【解析】试题分析：已知，则8n+8k15，解得k，且，则7n+7k6m，解得k所以k通分得。又因为k只有一个。只有n=112时，考点：不等式点评：本题难度较大，主要考查学生对不等式知识点的掌握。最值问题突破1如图，e是边长为l的正方形abcd的对角线bd上一点，且be=bc，p为ce上任意一点，pqbc于点q，prbe于点r，则pq+pr的值为（ ） a b c d 【答案】a【解析】试题分析：连接bp，利用面积法求解，pq+pr的值等于c点到be的距离，即正方形对角线的一半解：连接bp，过c作cmbd，即又，be=bc=1且正方形对角线，又bc=cd，cmbd，m为bd中点，又bdc为直角三角形，即pq+pr值是考点：正方形的性质点评：本题的解题关键是作出正确的辅助线，利用全等三角形的判定和性质的应用，来化简题目2如图所示，mn是圆o中一条固定的弦，劣弧mn的度数为1200，点c是圆o上一个动点（不与m、n重合）。连接mc、nc，d、e分别是nc和mc的中点，直线de交圆o于点a、b。已知圆o的半径为，那么在点c的运动过程中ae+bd的最小值为 。【答案】【解析】试题解析：解：如下图所示，点d、e分别是nc、mc的中点，点c在劣弧mn的中点时，ab的长度最小，此时demn，连接oa、om，连接oc与mn、ab分别交于点f、g，劣弧mn的度数是120，omn（180120）30，的半径是，ofom，mf，d、e分别是nc、mc的中点，fg（ocof），ogoffg，在rtaog中，ag，aebd2agde2.考点：三角形的中位线定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系点评：本题主要考查了三角形的中位线定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是判断出当点c在劣弧mn的中点时aebd的值最小.3如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6.（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中abc的度数；（2）如果a是底面圆周上一点，从点a拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到a点，求这根绳子的最短长度【答案】解：（1）圆锥的高= ， 底面圆的周长等于：22= ，解得：n=120；（2）连结ac，过b作bdac于d，则abd=60 由ab=6，可求得bd=3，ad=，ac=2ad= ，即这根绳子的最短长度是 【解析】试题分析：（1）根据勾股定理直接求出圆锥的高，再利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关系，求出侧面展开图中abc的度数即可；（2）首先求出bd的长，再利用勾股定理求出ad以及ac的长即可考点：圆锥的计算；勾股定理；平面展开-最短路径问题点评：此题主要考查了圆锥的计算、勾股定理、平面展开-最短路径问题得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的突破点经典压轴题突破1锐角中，两动点分别在边上滑动，且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为（1）中边上高 ；（2）当恰好落在边上（如图1）；求正方形的边长（3）当在外部时（如图2），求关于的函数关系式（写出的取值范围），并求出为何值时最大，最大值是多少？【答案】解：（1）sabc=12，又bc=6，ad=4；（2）设ad与mn相交于点h，mnbc，amnabc，即，解得，x=，当x=时正方形mpqn的边p恰好落在bc边上；（3）设mp、nq分别与bc相交于点e、f，设hd=a，则ah=4a，由，得，解得，a=，矩形mefn的面积=mnhd，（2.4x6）当x=3时，y取最大值为6【解析】试题分析：（1）利用三角形的面积公式，三角形的面积=底高计算即可；（2）根据amn与abc相似，相似三角形对应高的比等于相似比列式计算；（3）设正方形在abc内的边长为a，也就是abc的高在正方形内的长度，然后利用同（2）的运算，计算出a的长度，再利用矩形的面积公式进行解答考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质2已知过原点o的两直线与圆心为m（0，4），半径为2的圆相切，切点分别为p、q，pq交y轴于点k，抛物线经过p、q两点，顶点为n（0，6），且与x轴交于a、b两点（1）求点p的坐标；（2）求抛物线解析式；（3）在直线y=nx+m中，当n=0，m0时，y=m是平行于x轴的直线，设直线y=m与抛物线相交于点c、d，当该直线与m相切时，求点a、b、c、d围成的多边形的面积（结果保留根号）【答案】（1）点p的坐标为（，3） （2） （3）4+2或6【解析】试题分析：（1）由切线的性质可得mpo=90，根据勾股定理可求出po，然后由面积法可求出pk，然后运用勾股定理可求出ok，就可得到点p的坐标；（2）可设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，然后将点p的坐标代入就可求出抛物线的解析式；（3）直线y=m与m相切有两种可能，只需对这两种情况分别讨论就可求出对应多边形的面积试题解析：解：（1）如图1，m与op相切于点p，mpop，即mpo=90点m（0，4）即om=4，mp=2，op=2m与op相切于点p，m与oq相切于点q，oq=op，pok=qokokpq，qk=pkpk=ok=3点p的坐标为（，3）（2）如图2，设顶点为（0，6）的抛物线的解析式为y=ax2+6，点p（，3）在抛物线y=ax2+6上，3a+6=3解得：a=1则该抛物线的解析式为y=x2+6（3）当直线y=m与m相切时，则有=2解得；m1=2，m2=6m=2时，如图3，则有oh=2当y=2时，解方程x2+6=2得：x=2，则点c（2，2），d（2，2），cd=4同理可得：ab=2则s梯形abcd=（dc+ab）oh=（4+2）2=4+2m=6时，如图4，此时点c、点d与点n重合sabc=aboc=26=6综上所述：点a、b、c、d围成的多边形的面积为4+2或6考点：切线的性质，勾股定理，二次函数的图像与性质，梯形及三角形的面积3如图，ab是o的直径，点c在o上，bac=43o，点p在线段ob上运动，设acp=x，则x的取值范围是 。【答案】43x90【解析】试题分析：分别从若点p与点o重合与若点p与点b重合去分析求解即可求得答案解：若点p与点o重合，oa=oc，x=acp=bac=43；若点p与点b重合，ab是直径，x=acb=90，x的取值范围是：43x90考点：圆周角定理点评：此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用4如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点a（2，0）和点b（6，0），与y轴交于点c（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点m ，在对称轴上存在点p，使cmp为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点p的坐标（3）设点q是抛物线对称轴上的一个动点，当点q满足最大时，求出q点的坐标（4）如图，若点e为第二象限抛物线上一动点，连接be、ce，求四边形boce面积的最大值，并求此时e点的坐标【答案】（1）y=-x2-2x+6；（2）p（-2，）或p（-2，2）或p（-2，-2）或p（-2，12）；（3）当q在（-2，12）的位置时，|qb-qc|最大；（4）最大值为；e坐标为（-3，）【解析】试题分析：（1）将点a（2，0）和点b（-6，0）分别代入y=ax2+bx+6，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线的解析式；（2）根据（1）的函数解析式得出抛物线的对称轴为x=-2，再求出m点的坐标，由于c是抛物线与y轴的交点，因此c的坐标为（0，6），根据m、c的坐标求出cm的距离然后分三种情况进行讨论：cp=pm；cm=mp；cm=cp；（3）由抛物线的对称性可知qb=qa，故当q、c、a三点共线时，|qb-qc|最大，连结ac并延长，交对称轴于点q，利用待定系数法求出直线ac的解析式，再将x=-2代入，求出y的值，进而得到q点的坐标；（4）由于四边形boce不是规则的四边形，因此可将四边形boce分割成规则的图形进行计算，过e作efx轴于f，四边形boce的面积=三角形bfe的面积+直角梯形foce的面积直角梯形foce中，fo为e的横坐标的绝对值，ef为e的纵坐标，已知c的纵坐标，就知道了oc的长在三角形bfe中，bf=bo-of，因此可用e的横坐标表示出bf的长如果根据抛物线设出e的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形boce的面积与e的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形boce的最大值及对应的e的横坐标的值即可求出此时e的坐标试题解析：（1）由题知： ，解得：，故所求抛物线解析式为：y=-x2-2x+6；（2）抛物线解析式为：y=-x2-2x+6，对称轴为x=，设p点坐标为（-2，t），当x=0时，y=6，c（0，6），m（-2，0），cm2=（-2-0）2+（0-6）2=40当cp=pm时，（-2）2+（t-6）2=t2，解得t=，p点坐标为：p1（-2，）；当cm=pm时，40=t2，解得t=2，p点坐标为：p2（-2，2）或p3（-2，-2）；当cm=cp时，由勾股定理得：40=（-2）2+（t-6）2，解得t=12，p点坐标为：p4（-2，12）综上所述，存在符合条件的点p，其坐标为p（-2，）或p（-2，2）或p（-2，-2）或p（-2，12）；（3）点a（2，0）和点b（-6，0）关于抛物线的对称轴x=-2对称，qb=qa，|qb-qc|=|qa-qc|，要使|qb-qc|最大，则连结ac并延长，与直线x=-2相交于点q，即点q为直线ac与直线x=-2的交点，设直线ac的解析式为y=kx+m，a（2，0），c（0，6），解得，y=-3x+6，当x=-2时，y=-3（-2）+6=12，故当q在（-2，12）的位置时，|qb-qc|最大；（4）过点e作efx轴于点f，设e（n，-n2-2n+6）（-6n0），则ef=-n2-2n+6，bf=n+6，of=-n，s四边形boce=bfef+（oc+ef）of=（n+6）（-n2-2n+6）+（6-n2-2n+6）（-n）=-n2-9n+18=-（n+3）2+，所以当n=-3时，s四边形boce最大，且最大值为此时，点e坐标为（-3，）考点：二次函数综合题5（9分）（2014云南）已知如图平面直角坐标系中，点o是坐标原点，矩形abco是顶点坐标分别为a（3，0）、b（3，4）、c（0，4）点d在y轴上，且点d的坐标为（0，5），点p是直线ac上的一动点（1）当点p运动到线段ac的中点时，求直线dp的解析式（关系式）；（2）当点p沿直线ac移动时，过点d、p的直线与x轴交于点m问在x轴的正半轴上是否存在使dom与abc相似的点m？若存在，请求出点m的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点p沿直线ac移动时，以点p为圆心、r（r0）为半径长画圆得到的圆称为动圆p若设动圆p的半径长为，过点d作动圆p的两条切线与动圆p分别相切于点e、f请探求在动圆p中是否存在面积最小的四边形depf？若存在，请求出最小面积s的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x5 （2）点m的坐标为（，0）或（，0） （3）四边形depf面积的最小值为【解析】试题分析：（1）只需先求出ac中点p的坐标，然后用待定系数法即可求出直线dp的解析式（2）由于dom与abc相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出om的长，即可求出点m的坐标（3）易证sped=spfd从而有s四边形depf=2sped=de由dep=90得de2=dp2pe2=dp2根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当dpac时，dp最短，此时de也最短，对应的四边形depf的面积最小借助于三角形相似，即可求出dpac时dp的值，就可求出四边形depf面积的最小值解：（1）过点p作phoa，交oc于点h，如图1所示