（应用数学专业论文）qadic切比雪夫范德蒙型矩阵的位移结构与快速求逆公式.pdf

中国农业大学硕士学位论文 摘要 摘要 近2 0 年来，位移结构理论一直是矩阵论及其应用研究的中心课题之一范德蒙矩阵是矩阵 论及其应用中的一类重要的矩阵，在函数插值与函数逼近理论等i 目题中有着很多应用同时，范 德蒙矩阵也是一类重要的位移结构矩阵近年来，随着位移结构理论的发展，对古典范德蒙矩阵 的位移结构理论在多个方面做了推广其中特别是，乙h y a n g 等将复数域上的古典范德蒙矩阵 的位移结构理论推广到了任意的非代数闭域情形，引入了q - a d c 范德蒙型矩阵，并给出了q - - a d c 范德蒙型矩阵的三种位移结构方程及快速求逆公式t k a i l a t h 等将复数域上的古典范德蒙型矩阵 的位移结构理论推，i + 到了切比雪夫基情形，研究了复数域上的切比雪夫范德蒙矩阵的位移结构理 论，给出了两类切比雪夫范德蒙矩阵的位移结构方程及快速求逆公式 本文的主要工作是将复数域上的切比雪夫一范德蒙型矩阵的位移结构理论推广至任意的非代 数闭域情形，同时，也是将任意非代数闭域上关予标准幂基的q - - a d c 范德蒙型矩阵的位移结构理 论推广到了切比雪夫基情形本文前两章是一些预备知识和对国内外相关方面研究进展的介绍 引入了第二类q - a d c 切比雪夫一范德蒙型矩阵的概念，给出了第二类q - a d c 切比雪夫一范德蒙型 矩阵的三种位移结构方程及快速求逆公式最后还引入了第一类q - a d c 切比雪犬一范德蒙型矩阵 的概念，并给出了第一类q - a d c 切比雪夫一范德蒙型矩阵的两种位移结构方程 关键词：q - a d i c 切比雪夫一范德蒙型矩阵，位移结构，求逆公式 a b s t r a c t i nt h e 删2 0 y c a n gt h ed i s p l a c a m a e n ts r i i c r i r t h e o r yi smi m p o r t a n tp a r to f t h em a t r i x 岫 a n di t sa p p l i c a t i o n s v a n d e r m o n d em a 缸a n di t sa t t c a s i o n s _ mi m p o r t a n tm a t r i o m 缸a p p l i e dm a u l x t h e o r y t h e y h a w m a n ya p p l i c a t i o n s i n f u n c t i o n a l a p p r o x i m a t i o n 出珂a n d i n t e r p o l a t i o n p r o b l e m , c t c a n d , v a n d e n m o n d em a t r i xi s 柚硫忡r t a l l | tc l a s so f d k s p l a c a m e n t r l l l o l l r e $ m a t r i x i nt h e 删y e a r s , s o n i cr m m l t so f t h ed i s p i 踮卿啪ts m m m r c sl h e o t y o f t h ec l a t m i c a lo ro i 加9 k 、l i 咖锄蛐g 曲m a t d xh a v e b o c a g e n e r a l i z e d w i t h t h e d c v d o p m a a t o f t i m d i s p l a c a m e n t t m a c m r c s t i l ”珥e s p e d a l l y , 五h y 哪e t c i n t r o d u c e dan e wc l a s so fa n - c a l l e d q - a d cv a n d e r m o n d c - l i k em a t r i 淄o v e r 髓舡b h r v n o n - a l g e b r a i c a l l yd o s e df i e l d t h i sc l a s sg e n e r a l i z e st h eo r d i j i 址yv a n d c r m o n d e m i l mm a a i c 目t h e c o m p l e xf i d d a n d , n mk i n d so f d i 印l a c a m e n ts t l m c t u r c sa a df a s ti a v e m i o nf o r m u l a sf o rt h i se l a uo f m a u i c e s h a d b e e n p r 酷e n t e d b y r u i n g d i s p l a c e m e n ts 协蝣m 惜t h e o r y m e t h o d t k a i l a t h e r e g 锄= a l i z c s t h ed i s p l a c e m e n ts 缸虻h l r 髂t h e o r yo ft h e 删d i 岫f yv 缸i d e f m 咖如k k cm a t r i c e st ot h ec h e b y s h e vb a s i s o 惯t h e e o m p l 既 f i e l d s t u d i e dt h e d i 鄙岫朋m 枷$ t n l o m r e * t h e o r yo f t h e c l m b y s h e v - v a n d c r m o n d c - l i k em a t r i c e sa n dp r e s e n t e di t sd i s p l a c a m e n t 剐n l 咖r e sa n df a s ti n v e r s i o n f o r m u l a s t h em a i nw o t k so ft h i sp a p e rg e n e r a l i z et h ed i s p l a c c m c n ! s t 脚c st h e o q - o ft h ec h e b y s h e v - v a n d e r m o n d e l i k em a t r i c e so v e rt h ec o m p l e xf i e l dt ot h ec a s eo fa r b i t r a r yn o n - a l g e b r a i c a l l yd o s e d f i e l d 锄d g e n e r a l i z e t h e d i s p l a c e m e n ts t r u c t u r e s t h e o r y o f t h e o r d i n a 珂v a n d e r m o n d e - l i k e m a t r i c e s f m t h en o n - a l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d 幻t h ec h e b y s h e vb a s i sc a t h i sp a p e rm 打e d u c aan wc l a s so f s o - c a l l e dt h es e c o n dk i n d g 4 咖c h e b y s h e v - v a n d c r m o n d e - i i k vm a t r i c e so v e r a ra r b i t r a r y n o n - a l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l d a n dt h e np r e s e n tt h r e ek i n d so fd i s p l a c e m e n ts t l m c t u r e sa n df a s t i n v e r s i o nf o r m u l a sf o rt h i sc l a s so fm a t r i c e s i nt h el a s to ft h i sp a p e rw ea l s oi n t r o d u c at h ef i r s tk i n d q - - a d c 凸曲y s h “叫抽d c d 一i l 【cm a t r i c e so v c l * na r b i t r a r yn o n - a l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l da n d 珥糕删t o w k i n d s o f d i s p h c a m e n t 曲m c t u 瑚o f i h i sc l a 嚣o f m a u i c 簋 k e yv o r d s ：q d c c h e b y s h e v - v a n d e r m o n d e - l i k e m a t r i x ；d i s p l a c e m e n ts t r u c t u r e ；i n v e r s i o n f o r m u l a i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国农业大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 李往时间：土一7 年厂月仔日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国农业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存，汇编学位论文同意中国农业大学可以用不同方式在不同媒体上发表、 传播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此协议) 研究生签名：巷彳兰_ 导师躲杨乙参 时间：工的7 年月，珀 时间：加7 7 年勘一日 中国农业大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言 i i 研究背景 位移结构理论是矩阵论及其应用研究的一个重要课题，位移结构矩阵具有一些特殊的性质， 如位移结构矩阵的逆、乘积与s h u r 余量仍然是结构矩阵，以及由来知矩阵的位移结构方程可以恢 复原未知矩阵等【l 】结构矩阵这样的性质，使得我们可以得到这类矩阵的三角分解、q r 分解和 求逆的快速算法。在函数逼近、插值问题、控制论，信号处理与系统理论等问题中经常出现结构 矩阵位移结构理论在矩阵论的应用中有非常重要的意义【2 】 很多信号处理问题都需要求解大型的线性方程组。基本的求解工具是矩阵的三角分解与 q r 分解。然而对于一个m n 的矩阵，三角分解与q r 分解通常需要d ( 矿) 或o ( m n 2 ) 的运算量。 这样的运算量通常是非常庞大的因此我们就需要考虑减少运算量以及相关硬件问题，这样就使 得我们将注意力集中在结构矩阵上 范德蒙矩阵是矩阵论及其应用中的一类重要的矩阵，在函数插值与函数逼近理论等问题中有 着很多应用同时，范德蒙矩阵也是一类重要的位移结构矩阵，满足一些特殊的位移结构方程， 并可以由这些位移结构方程得到它的快速求逆公式及快速算法【3 1 t k a i l a t h 等在文献 4 d p 研究了复数域c 上的切比雪夫靠i 德蒙矩阵的位移结构理论，给出了 弼类切比雪夫范德蒙矩阵的位移结构方程及快速求逆公式z h y a n g 等在【5 】中将复数域c 上的 古典范德蒙矩阵的位移结构理论推广到了任意的非代数闭域f 情形引入了一类新的矩阵。称作 q - a d i c 范德蒙型矩阵，并给出了q - a d i c 范德蒙型矩阵的三种位移结构方程及快速求逆公式。这使 我们想到有必要将复数域c 上的切比雪夫一范德蒙型矩阵的位移结构理论也推广至任意的非代数 闭域情形，同时义将任意1 r 代数闭域f 上的古典范德蒙型矩阵的位移结构推，“到了切比雪丈基情 形，弗系统的研究这一新的矩阵类型的位移结构理论，因此，本文可以看作是对文献 4 , t t l 文献【5 】 的共同推广。本文的主要结果已写成论文【2 6 】，投递至有关学术期刊，一等待评审臻果。 1 2 国内外研究进展 近2 0 年来，位移结构理论一直是矩阵论及其应_ 【i j 研究的中心课题之t k a i l a t h ) 及其合作者 在文献【l 】中通过研究t o e p l i t z 矩阵，首次明确提出了位移结构矩阵与位移秩的概念一般来讲， 设qa e 彳是给定的n x n 复矩阵，它们通常是一些简单的矩阵( 如对角阵，三对角阵或三角阵等) ， 则广义的位移算子和方程定义如下： v l n a ，j ( 动d r a f r 4 = g b , ( 1 2 1 ) 其中g 是 x 口的矩阵，口是口x n 的矩阵如果口与一无关或口远小于厅，则称r 是一个关于位 移算子v n a ，埘( ) 和位移结构方程( 1 2 1 ) 的位移结构矩阵，口称为r 关于位移算子v n a ，卅( ) 的位移秩，矩阵对 g ，研称为r 关于位移算子v 皿a 州 ( ) 的生成元( 1 2 1 ) 的一种特殊情况是如 下s y l v = t e r 形式的位移结构方程 v f o d d a ( r ) sr 次一r a = g b ， ( 1 2 2 ) 中国农业大学硕士学位论文第一章引言 其中，v 叫棚( r ) 以后可简记为v n 棚( r ) 例如，对于形如 t = 坼。】：产i = f o吒 f o ： f - + if - + 2 “ ：一缸i ，( 。2 r 3 ) ：i ，j 的月阶t o c p l i t z 矩阵，它满足位移方程( 1 2 1 ) 的定义，其中位移算子q 为 阶单位矩阵，为 向前位移矩阵s ，一为向后位移矩阵s 7 ，其中 s = 00 0 i l0 0 l ：l ， ( 1 2 4 ) 。l 0 10 i 即，t o e p l i t z 矩阵满足如下的具有s t e i n , f 够式的位移结构方程， v ，j ，j ( d 暑r 一，丁s t = g b ， ( 1 2 5 ) 其中生成元 g - - 巨 1 - l0 0 1 口2 【等 。j ( 1 2 6 ) 由位移秩的定义及( 1 2 6 ) 可知，t o e p t i t z 矩阵的位移秩口= 2 t k a i l a t h 及其合作者在文献【l 】中还给出了一个位移秩的性质，即 定理1 2 1 矩阵的位移秩与它的逆矩阵的位移秩相等，即 口( r ) = a ( r - ) ( i 2 7 ) 同时，t k a i l a t h 与j c h u a 在【6 】中又进一步研究了块t o e p l i t z 矩阵，t o e p l i t z 块矩阵与t o e p l i t z 型 矩阵的位移结构并给出了其快速三角分解算法 t k a i l a t h 与j c h u n 在【3 】中研究t h a n k e l 矩阵与古典范德蒙型矩阵的位移结构理论，给出了 h a n k e l 矩阵与古典范德蒙型矩阵的位移结构方程，并得到了它们的快速三角分解算法 对于形如 d 曩1 - 【 州n ：h ： ( 1 z 8 ) i 。 l l h 一- 丸t 。j 的 阶h a n k d 矩阵，它满足如下的s y l v e s 栅式的位移结构方程： v s , s t ( 日) 2 跚一点珞。2g b , ( 1 2 9 ) 其中，生成元 ， 2 中国农业大学硕士学位论文 第一章引言 g 一睦 占_ 三 o 吨 冀 ( 1 2 1 0 ) 由位移秩的定义及( 1 2 1 0 ) 可知，l - i a n k e l 矩阵的位移秩口= 2 gh e i n i g 等在文献【刀中最早用位移结构方法研究了柯西谁德蒙型矩阵。给出了其快速求逆 公式与算法，又在文献【8 】中用位移结构方法研究了广义柯西范德蒙型矩阵 tk a i l a t h 在文献 g l e e 介绍了矩阵的位移结构与s c h i f 算法的联系，以及位移结构在矩阵的快 速算法、插值问题、控制论，信号处理与系统理论等领域中的应用 t k a i l a t h 与vo l s h e v s k y 在文献 4 1 6 e 对已有范德蒙矩阵的位移结构理论进行推广，研究了复 数域c 上的切比雪夫范德德矩阵或称为三项递推范德蒙矩阵的位移结构理论，给出了两类切比 雪夫范德蒙矩阵的位移结构方程及快速求逆公式，又在文献【1 0 1 中研究了多项式范德蒙矩阵的位 移结构理论。【3 ，4 l o 】研究的结果都是在单插值结点的情况下得到的，【l l 】将【3 ，4 ，l o 】中的主要结 果推广到了具有多重插值结点的情形 上述所有文献的研究结果都是在复数域c 或代数闭域上得到的文献【5 】将复数域c 上的古 典范德蒙矩阵的位移结构理论推广到了任意的非代数闭域f 上。引入了一类新的矩阵，称作的 q - a d e 范德蒙型矩阵前面提到文献 4 】研究了复数域c 上的切比雪夫范德蒙矩阵的位移结构理 论，那么能否按照【5 】的思路将【4 】中复数域c 上的切比雪夫范德蒙矩阵的位移结构理论推广到了 非代数闭域情形，或者说按照【4 】的思路，将【5 】中1 f 代数闭域上的古典范德蒙矩阵的位移结构理论 推广至任意的非代数闭域上的切比雪夫壕；德蒙情形? 本文便是基于这样的思路进行研究讨论 1 3 研究内容 具体地，本文主要包括三个部分：第二章作为本文研究过程预备知识，介绍了矩阵的 k r o n e e k e r 积的概念、性质及k r o n e e k e r 积在矩阵方程中的应用，并给出了古典b e z o u t 矩阵与插 值型多项式序列的广义b e z o u t 矩阵的一些重要的结果及性质，以及研究过程中所需要的一些概念 或专用词语作为研究关下q - - a d i c 切比雪夫一范德蒙型矩阵的位移结构理论的准备工作，第三章 主要介绍了已有的复数域c 上古典范德蒙矩阵的位移结构理论，并介绍了如何将复数域c 上的古 典范德蒙矩阵的位移结构理论推广至任意的非代数闭域f 上，引入了q - a d i c 范德蒙型矩阵的概念， 给出了q - a d i c 范德蒙型矩阵的三种位移结构方程及快速求逆公式第四章也是作者研究所得结论 的主要部分，首先介绍了已有的复数域c 上切比雪夫一范德蒙型矩阵位移结构理论，在此基础上， 将其推广至非代数闭域f 上，引入了第二类q - a d i c 切比雪夫一范德蒙型矩阵的概念，给出了第二 类q - a d i c 切比雪夫一范德蒙型矩阵的三种位移结构方程及快速求逆公式本章最后还引入了第一 类q - a d i c 切比雪夫一范德蒙型矩阵的概念，并给出了第一类q - a d i e 切比雪夫一范德蒙型矩阵的两 种位移结构方程 3 中国农业大学硕士学位论文第二章预备知识 2 1 矩阵的k r o n e c k e r 积 第二章预备知识 k r o n e c k a c 积f 1 2 】也称为张量积，它是一种重要的矩阵乘积 定义2 1 1 设彳= 【吩】= z i ，口一- - t # 1 l i ”, j 1 ，则与口的i g = o n e c k c r 积是一个妒w 矩阵，记作 彳。曰，定义为 lq i bq 2 b a i bl 彳。口：ia 2 ：1 口a 2 ：t 一4 引也哪 川) i i l l b 2 b 4 。曰j 由定义可知，任何两个矩阵作k r o n e c k e r 职, 都是有意义的。但应当注意，一般 a o b b o a 即矩阵的k r o n e c k e r 积不具有交换律普通矩阵乘法的某些性质对k r o n e c k e r 积同样成立，但某些 性质也有变动。 定理2 1 2k r o n e c k e r 积, 具有下列性质： ( 1 ) ( a 彳) o ( 动= 五( 彳。占) ，五，a 是常数，a c 懈4 ，b ( y m ； ( 2 ) ( 爿+ 口) o c = 似oc ) + 0c ) a ，b c ，c c ”； ( 3 ) a o ( b + c ) = ( 一。口) + ( 彳o c ) ，a c 耐4 ，雪，c c 9 x 叮； ( 4 ) 似。曰) o c = a 0 ( 口固c ) ，a e c ，b c ”，c c ”； ( 5 ) ( a o b ) 7 = a 7 0 8 7 ，a c ，b c 一； ( 6 ) a o b = ( a o t x l o 口) = ( o 口) ( 一o l ) ，a c ，b c 。”； ( 7 ) 若a ，c c ”“，b ，d c “。，则( 爿圆研( c o d ) = a c o b d ； ( 8 ) 若一，口是非奇异矩阵，则a o b 也非奇异矩阵，( 爿。功1 = a “o b 一 推论2 1 3 若4 ，4 ，4 e c ，马，最，廓c ”，则 ( 4 0 b 4 0 岛) ( 4 圆屏) = ( 4 4 4 ) ( 且最砟) 下面我们给出矩阵的向量值函数的概念，它与矩阵的k r o n c c k c r 积有紧密联系 定义2 1 矩阵a c “。将a 写成按列分块矩阵的形式彳= 【4 l 如4 。】，其中 a j c 一，_ ，= l ，2 ，万贝向量 c ”， 注意，向量值函数是线性的，即v a ，b e c 。”与a ，c ，有 4 厶如；厶 州怍记数函值量向的 4 阵矩为称 中国农业大学硕士学位论文第二章预备知识 v e c ( ；t a + b ) = 2 v e e a + z v e e b ( 2 1 2 ) 2 2k r o n e c k e r 积在矩阵方程中的应用 对于许多线性矩阵方程，可以通过k r o n e e k e r 积与向量值函数将其转化为线性方程组求解 定理2 2 1 设a c “。b c ”和c e c 4 ”是给定的。而x c ”是未知的，则矩阵方程 五绉= c( 2 2 1 ) 等价于含w 个未知数的具有m q 个方程的线性方程组 ( b to a ) v e c x - v e e c , ( 2 2 2 ) 亦即 v e e ( 4 x 君) = ( 口o a ) v e c , x ( 2 2 3 ) 这样我们就可以运用已有的线性方程组的解理论。来判定矩阵方程是否有解以及解的唯一 性。 推论2 2 2 设a ，b ，c ，4 ，4 ，骂，晟，x e c ，则 ( 1 ) a x = b 亭u o a ) v e c x = v e e b ( 2 2 4 ) ( 2 ) a x + x b = c “j 固彳) + p 。o d ) v o 盯= v e e c ( 2 2 5 ) ( 3 ) 4 碣4 - 4 - 4 墨= c 铮“研0 4 ) + 4 - ( b ? 0 4 ) ) v e e r = v e e c ( 2 2 6 ) 通过我们熟悉的线性方程组的论及推论2 2 2 ，我们可以有下面的结论： 推论2 2 3 对于一般形式的矩阵方程 4 x b , + + 4 x b k = c j ( 2 2 7 ) 令g = ( 墨。0 4 ) + + ( 霹0 4 ) ，c = v e e c ，n 方n ( 2 2 7 ) 有解，当且仅当 r a n k gc 】= r a n k g 推论2 2 4 方程( 2 2 7 ) 有唯一解，当且仅当矩阵g 非奇异 定义2 2 5 设a c “，b c 4 “，则矩阵 ( ，l o a ) 4 - ( b 1o ) ( 2 2 8 ) 称为a 与口的k r o n e e k e r 希1 k r o n e c k e r $ 1 1 自然的出现在下面给出的一种特殊结构的矩阵方程中 矩阵方程 御? + j 圆= c( 2 2 9 ) 称为s y t v e s t e r 型方程这个方程在本文中将多次出现方程( 2 2 8 ) 的k r o n e e k e r 积的表示形式为 “，o 句4 - p 。o ，) ) v 茁。v e e c , ( 2 2 1 0 ) 其系数矩阵就是a 与b r 的妇妇和。 矩阵彳与曰的特征值与一与b k r o n e c k e r ：积a b 的特征值有着简单的联系对于一个二元 复系数多项式 ， p “力= 勺办， ( 2 2 1 1 ) 5 中国农业大学硕士学位论文第二章预备知识 其中善，y 是变量，白c ，是正整数若彳c ，b c “，我们考虑下面形式的删l x 搠孵 矩阵 ， p ( a ，曰) = 勺o 口7 ( 2 2 1 2 ) 1 , 1 = o 下面的定理给出了a 与口的特征值与p ( 彳，曰) 之间的联系 定理2 2 6 设彳c 一，b c ，2 ( 彳) = ，厶) ，( 曰) = “，以，则，( 一，功的特 征值是p ( 4 ，肛) ，r - - - l ，m ，s = l ，m 推论2 2 7 设a c 一，b c “，则 ( 1 ) 如果五五( 彳) 且工c 。是相应于a 的特征向量，乒e 一( 占) 且y e c 是相应于的特 征向量那么五+ 是k n c c k 盯和( l 圆爿) + ( 矿o l ) 的特征值，h y o x e c ”是对应的特征 向量。 ( 2 ) k m n e c k 口和的特征值可以表示为a 与口的特征值的和也就是说，如果 五( 一) = ，以) ，a ( s ) = 0 ，) 则 五( ( o 彳) + ( 口o ) ) = 以+ ，：f = l ，m ；j = l ，玎， ( 2 2 1 3 ) 通过上述定理及推论，我们可以得到矩阵方程( 2 2 驯构解的判定定理。 定理2 2 7 设a c ”。，b c ”，则矩阵方程( 2 2 9 ) 对于每个c e c ”有惟一解x c “4 的 充分必要条件是 a ( 爿) n 五( _ 口) = o ( 2 2 1 4 ) 2 3 古典b e z o u t 矩阵及其性质 给定一对复系数多项式 ， p ( 力= n 一( p ，o ) ，g ( = g j ， i , - o i - 曲 则由如下二元多项式 万( x ，y ) -p ( x ) _ q ( y ) - - q ( x ) p ( y ) ：篁篁j 7 工一，面面。 确定的矩阵口= ) u a - i 称为p ( 曲与g ( 力的( 古典) b t 矩阵，记为曰= a ( p ，g ) 由b c 2 0 u t 矩阵的定义我们很容易得到下面的结论 i， 定理2 3 1 1 2 ，1 3 1 设，( 力= p l 一( 研o ) 、g ( 的= 吼一为两个给定的复多项式( 为避免繁 i0“田 琐下面提到p ( 力、q ( x ) 如无特别说明均指此种形式) ，则 ( 1 ) a ( p ，g ) 7 = 口( p ，g ) ： 6 中国农业大学硕士学位论文第二章预备知识 ( 2 ) b ( q ，p ) = 一b ( p ，g ) ： 下面是与b e z o u t 矩阵有关的一些概念和结论 定义2 3 2 1 2 ，1 3 】若p ( 功= p j 一( a o ) ，那么如下形式的上三角h a n k d 矩阵 l = o s。p，：口。p，。，：f；p：2：；e；l；罩1， g 3 3 ， s c p ，= 口c p ，t ，= 1 1 2 ：j ：l ， ( 2 3 3 ， 【力0 0j 称为多项式p ( 曲的对称化子 定义2 3 31 1 2 ，1 4 1 若p ( 曲= p f 一( 岛o ) ，矩阵 5 、0 10 i ?7： c ( 4 ) = ijj ： i 一旦一且 lp ，p ， o o l 一组 p l 称为多项式p ( 功的第一友矩阵；c 7 ( ，) 称为多项式，( 曲的第二友矩阵。c ( p ) 也常记作c b e z o u t 矩阵的一个重要的结论就是b a r n e t t 因式分解公式 定理2 3 4 ( b a r n e n 乘法分解公式) 【1 5 】 b ( p ，g ) = s ( p ) q ( c p ) = 一s ( q ) p ( c 。) ( 2 3 5 ) 多项式p ( 工) 与g ( j ) 的b e z o t l t 矩阵b ( p ，q ) 与，( x ) 的友矩阵c 。满足如下的缠绕关系 定理2 3 5 【1 2 】 c ：b ( p ，g ) = 曰( p ，口) c i ( 2 3 6 ) 2 4 插值型多项式及其广义b e z o u t 矩阵 令饥( 力) k 为一多项式序列，其中心( 曲是次数为| 的首一多项式，如果以o ) ) ：。满足 函数方程 监等型= 杰咖i - f ( j ，) ，o k n l 1 ) 工一yi j 那么称序列饥( 习) k 为插值型多项式序列由于 7 芝z ：壹矿，。o k - 1 ，d c g ( y ) = 二。= 将标准幂基石( 功中的每一个元素关于吼o ) 作吼一4 缸展开就得到 ，。篁n ( 曲毋( + g j ( 砷一( 叶， ( 3 2 6 ) 卸 r一，=ri耋1=co矩哆，e窖f， c 王2 乃 其中哆是巧”( 力的标准坐标列将( 3 2 1 0 ) 式中的坐标列台并成一个，| 阶矩阵 y c ，= ：乏 = c c 通巧c y ，_ ， 。2 s ， 巧( = 肛( m 。 ，= 【l 】【。，【吐。j ，【】【。 ， 。0 2 9 ) 形，q a d c 范德蒙矩阵与所谓的超友阵( j j 口冒 删如”) 【2 l 。2 2 2 3 】有关设g ( 力= a o + a n x + + q i j h + 一是域f 上的首一不可约多项式，l i j q q ( x ) 。相关的超友阵月j 是一个用m 的 中国农业大学硕士学位论文 第三章q - - a d i c 范德蒙型矩阵的位移结构理论 分块矩阵，定义如下： 其中， 厶= h 广2 o oo lo o o1o ： o o 厶0 0 0 0 0 ，； ；n 厶0 0 0n 厶 嘞 1 ： ： q i -； o o o f40 0 1 八以，= i 予：? i = e u ，彤，- ，”u ， 【以一44 j 州几，= 日 1 3 ( 3 2 1 0 ) ( 3 2 i l ) h 2 h ，是 ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) 以a ， f 3 2 1 4 ) 3 3q - - a d i c 范德蒙型矩阵 本节给出t q - a d l c 范德蒙矩阵y ( 矿) 满足的三种位移结构方程【5 1 ，推广了在复数域c 情形下 的相关结果 定理3 3 1 【5 】设q - 越c 范德蒙矩阵矿( 妒) 定义如( 3 2 t o - ( 3 2 t t ) ，s 是 阶下位移矩阵，定义如 ( 1 2 a ) ，日= d i a g ( h ? ，) j 1 是对应于基本多项式y ( 对的超友阵，则矿满足下面的s y l 僧s 6 自r 型 位移结构方程； 坼 朋( y ( 州= 胛渺) 一v ( c ) s = i ；l ( o o l 】，( 3 川 l 啪l 其中q = 月0 。q = 【l0 o r 定理3 j 2 【5 】设y ( p ) ，s 与定义同定理3 3 1 ，且妒( o ) 乒o ，则y ( 妒) 满足下面的位移结构方 程： v hi j t ( y 舻) ) = 日- r 缈) 一r 缈) = 圻1 气1 ；| 10 o 】( 3 3 - 2 ) 巧。e l j 第三种位移结构方程中包含了一个给定多项式的友阵设p ( 砷= ：乞巳吖一是任意给定的 次数为n 的多项式，是h 功的友矩阵定义如o 上l2 ) 则有f 面的定理： 定理3 3 3 1 5 1 设矿( 妒) ，s ， h 与0 定义如前，卿矿( ) 满足下面的s y i v 嚣时型位移结构方程： v f “ ( 矿( ) ) = 圩矿( ) 一矿( 缈) 4 = 尸【q ) q 1 i l 【o 01 1 ( 3 3 3 ， h q k j 定理3 3 i - 3 3 3 表明覃屯d 趾范德蒙矩阵矿关于3 种不同的s y j 懈恼型位穆算子v o ， v 扩，i ( ) 与v f 肌。 ( ) 具有相同的位移秩l 和不同的生成元我f f j 将关下以上3 个s y l v 髓l 盯型位 移算子，椰( 中的任何一个具有充分小的位移秩扛 n ) 的矩阵叫做g 噜把范德蒙型矩阵 3 4q - a d i c 范德蒙型矩阵的快速求逆公式 为了得到竹口托范德蒙型矩阵的求逆公式，我们首先讨论如何将卵耐配范德蒙型矩阵从它的 位移结构方程中恢复过来为此，我们需要引入一些记号，对于任意非代数闭域f 中的一个n 维 列向量- 将_ 按照与原指标序列 乜，) ) 二相一致的方式划分成j 个子列向量，即 = c o l ( q 墨。，其中q 的长度为竹o = l ，：，力定义块对角矩阵 三( 丑) = d i a g l ) ， ( 3 t 4 - 1 ) 4 这里q - - a , ，q q ，研- 1 q 】，局= 王0 ，以= 纽( 耳) 如果将q 进一步划分为啊个子列向 矗=砉c一”，yc妒，i墨btj,；n；-i主， 。棚 置=喜三。，矿缈，l芎孝-joj：b。,， 。a 回 1 5 r = 窆k = l ( 孰j - t 州钆心，) ， r = 工( c i ”) 矿( 妒) i 6 i ，+ 。_ 4 ( ) j ， ( 3 4 ，9 ) k， l 眨弭 引o ， p 悖爿 4 1 0 ) 1 00 = 玑j 粤 l 毛：芝1pc，7三。耻， t ，4 j ， 定理3 4 6 1 5 1 设r 是一个由生成元 g 栅生成的关于位移算子v ，1 0 的罪阶郫d 如范德蒙 型矩阵，即胄满足位移结构方程 v i h - , j ) ) 俾) = 日r r s = g b 如果r 可逆，则有 1 6 中国农业大学硕士学位论文 第三章q - a d i c 范德蒙型矩阵的位移结构理论 r 一1 _ - y 噍。噍： 畋： 丸0亨矿cy，7c一”，7一， 。4 t s ， 其中c 【”与噍分别由下面两个线性方程确定： r 7 【。h - 1 r o w ( c m ) ：i - - b ，r r o w ( ) ：i - - a ( 3 4 1 4 ) 定理3 4 7 1 5 1 设r 是一个由生成元 g 声，生成的关于位移算子v ( ) 的耳阶q - a d i c 范德蒙型 矩阵，即r 满足位移结构方程 v o l ( r ) = h r j 让p = g b 如果r 可逆，则有 。厂、 r 一= r ，i 以州i ，4 一僻) p 缈) 7 ) 7 a 一， ( 3 4 1 5 ) t - o l = l 其中c ”与以分别由下面两个线性方程确定： r 7 【_ 1 p ( h ) r o w ( c ”) ：i i 】= b 7 ，r f ，r o w ( a ：) ：_ l 】= g ( 3 4 1 6 ) 求逆公式( 3 4 1 1 ) ，( 3 4 1 3 ) 与( 3 4 1 5 ) 表f f j q - a d c 范德蒙型矩阵的逆，可以通过求解两个分别 以r 与r 为系数矩阵的线性方程纽来得到，即( 3 4 1 2 ) ，( 3 4 1 4 ) 与( 3 4 1 6 ) 。当口远小于栉或者 说口与 无关时，求逆公式是相当快速的。例如，当口= l 时，( 3 2 1 0 ) 式定义的q - a d i c 范德蒙矩 阵矿( ) 的逆可以通过两个分别以矿( 缈) 与矿( | l c ，) 。为系数矩阵的线性方程组来求得，这与求一个 没有特殊结构的n 阶非奇异矩阵的逆，需要求解厅个线性方程组相比是相当快速的。 1 7 中国农业大学硕士学位论文 第四章q - a d i e 切比雪夫一范德蒙型矩阵的位移结构理论 第四章q - a d i c 切比雪夫一范德蒙型矩阵的位移结构理论 本章对第三章中介绍的古典范德蒙矩阵及g m d 缸范德蒙型矩阵位移结构理论进行推广，得到 q - - a d c 切比雪夫一范德蒙型矩阵位移结构理论 4 1 切比雪夫一范德蒙型矩阵及其快速求逆公式 本节介绍复数域c 上的切比雪夫一范德蒙阵或称为三项递推范德蒙矩阵的位移结构理论【4 】， 给出了两类切比雪夫一范德蒙矩阵的位移结构方程及快速求逆公式，推广了复数域c 上古典范德 蒙矩阵的位移结构理论。 首先，给出切比雪夫一范德蒙矩阵的定义 设五，而，为n 个不同的复数，则矩阵 r 写“ = 降 k ( 毛 与 五( 五) 石( 而) 石阮) ( 4 1 1 ) 1 “) u “) 【o ( 五) l 屹( 力：i 呼) u , ( x d 一0 l ， ( 4 j 1 2 ) 【( ) u ( ) u 一。( ) j 分别称为第一类与第二类切比雪夹一范德蒙矩阵。其中五( x ) ，五( j ) ，一，( 工) 表示第一类切比雪 瓦( 力= 1 ，五( 力= 工，正( = 2 x r 一。( 曲一瓦一：( 曲 ( 4 1 3 ) “( 曲，q ( 破，0 i 表示第二类切比雪夫多项式满足如下三项递推关系 = l ，q = 2 x ，以= 2 x 咋。一昧： ( 4 1 4 ) 切比雪夫一范德蒙矩阵关具有如下s y l v 臀缸形式的位移结构： v 即，( r ) ；职一r a ， ( 4 1 5 ) ，：p ：d i a 9 4 ，上，与，( 4 1 6 ) i s -=1-一j “魄；瓴 0 o o 中国农业大学硕士学位论文 第四章q - a d i c 切比雪夫一范德蒙型矩阵的位移结构理论 _ | ! ! _ i l _ _ l e e i e 自! | e ! e s _ _ - _ - _ e | e e s 目目_ l i _ - 目s ! ! g 目_ _ - _ e ! 自_ _ i 这里要求所有五0 ， a = w = 02o 2o oo 2o 2 。o 0 。2 0 00 r 1 1 = 2 曼( 一i ) “( s 1 ) 2 “， ( 4 1 1 7 ) s 是( 1 2 4 ) 式定义的 阶向前位移矩阵以下是切比雪夫- 范德蒙矩阵位移结构方程的具体形式 定理4 1 1 1 4 设切比雪夫一范德蒙矩阵巧( 并) 与屹( 力定义如( 4 i l h 4 i 2 ) ，d 上是( 4 l 6 ) 式给出的对角矩阵，定义如( 4 i 7 ) 式，d o = d i a g ( ，l ，1 ) ，则巧( 力与( 力分别满足下面 的s y l v c s t e r 型位移结构方程： v 吨j r ( 巧( 力d o ) 2 名( 巧( 力d o ) 一( ( 力d o ) 矿 b0 - 10 1 0 - l 】， ( 4 1 8 ) v d l ( ( 力) 2 名屹( 曲一屹( x ) 形 上 而 土 气 ： l 毛 【l 0 - 101 0 1 】 ( 4 i 9 ) 通过类比( 4 1 8 ) 与( 4 1 9 ) 式，我们将满足如下位移结构方程的矩阵r v d i ，l ( r ) = d 上r 一月= g b ，g ：占e c 脚， ( 4 1 1 0 ) ； 称为切比雪夫一范德蒙型矩阵其中g ，矗给定。矩阵对