江苏省无锡新领航教育咨询有限公司高三数学《函数》重点难点高频考点串讲九 恒成立问题.doc

江苏省无锡新领航教育咨询有限公司2014届高三数学函数重点难点高频考点串讲九-恒成立问题 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：(1)xd，f(x)c；(2)xd，f(x)g(x)；(3)x1，x2d，|f(x1)f(x2)|c；(4)x1，x2d，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|.不等式恒成立问题的处理方法(1)转换求函数的最值若不等式af(x)在区间d上恒成立，则等价于在区间d上af(x)在区间d上恒成立，则等价于在区间d上bf(x)maxf(x)的上界小于b.(2)分离参数法将参数与变量分离，即化为g()f(x)(或g()f(x)恒成立的形式；求f(x)在xd上的最大(或最小)值；解不等式g()f(x)max(或g()f(x)min)，得的取值范围(3)转换成函数图象问题若不等式f(x)g(x)在区间d上恒成立，则等价于在区间d上函数yf(x)和图象在函数yg(x)图象上方；若不等式f(x)g(x)的研究对于形如xd，f(x)g(x)的问题，需要先设函数yf(x)g(x)，再转化为xd，ymin0.例1 已知函数f(x)x|xa|2x.(1)若函数f(x)在r上是增函数，求实数a的取值范围；(2)求所有的实数a，使得对任意x1,2时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)2x1图象的下方【解答】 (1)f(x)x|xa|2x由f(x)在r上是增函数，则即2a2，故a的取值范围为2a2.(2)由题意得对任意的实数x1,2，f(x)g(x)恒成立，即x|xa|1在1,2恒成立，也即xa0，从而x为增函数，由此得max；当x1,2时，10，从而x为增函数，由此得min2，所以ac的恒成立问题时，如果函数f(x)含有参数，一般有两种处理方法：一是参数分离，将含参数函数转化为不含参数的函数，再求出最值即可；二是如果不能参数分离，可以用分类讨论处理函数f(x)的最值已知f(x)x36ax29a2x(ar)，当a0时，若对x0,3有f(x)4恒成立，求实数a的取值范围【解答】 f(x)3x212ax9a23(xa)(x3a)，故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,3a)上单调递减，在(3a，)上单调递增(1)当a3时，函数f(x)在0,3上递增，所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(3)，若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有解得a.(2)当1a3时，有a33a，此时函数f(x)在0，a上递增，在a,3上递减，所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(a)，若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有解得a1.(3)当a3a，此时函数f(x)在a,3a上递减，在3a,3上递增，所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(a)或者是f(3)由f(a)f(3)(a3)2(4a3)，0a时，f(a)f(3)，若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有解得a.af(3)，若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有解得a.综上所述，a.x1，x2d，|f(x1)f(x2)|c的研究对于形如x1，x2d，|f(x1)f(x2)|c的问题，因为|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min，所以原命题等价为f(x)maxf(x)minc.已知函数f(x)ax3bx23x(a，br)，在点(1，f(1)处的切线方程为y20.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对于区间2,2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|c，求实数c的最小值【解答】 (1)f(x)3ax22bx3，根据题意，得即解得f(x)x33x.(2)令f(x)3x230，即3x230，解得x1，x2(2，1)1(1,1)1(1,2)2f(x)00f(x)2极大值极小值2f(1)2，f(1)2，当x2,2时，f(x)max2，f(x)min2.则对于区间2,2上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)maxf(x)min4，所以c4，即c的最小值为4.【点评】 在处理这类问题时，因为x1，x2是两个不相关的变量，所以可以等价为函数f(x)在区间d上的函数差的最大值小于c，如果x1，x2是两个相关变量，则需要代入x1，x2之间的关系式转化为一元问题 x1，x2d，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|的研究形如x1，x2d，|f(x1)f(x2)|a|x1x2|这样的问题，首先需要根据函数f(x)的单调性去掉|f(x1)f(x2)|a|x1x2|中的绝对值符号，再构造函数g(x)f(x)ax，从而将问题转化为新函数g(x)的单调性已知函数恒成立，则k的取值范围为【答案】【解析】，当x0时，；当x=0时，；当x0时，,所以f(x)在上单调递减，在0,1上单调递增，对任意， 已知函数f(x)x1alnx(ar)(1)求证：f(x)0恒成立的充要条件是a1；(2)若a1时，f(x)0，所以函数f(x)在(1，)上是增函数，当0x1时，f(x)0.(i)当a0时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)在(0，)上是增函数而f(1)0，所以当x(0,1)时，f(x)0时，因为当xa时，f(x)0，所以函数f(x)在(a，)上是增函数；当0xa时，f(x)0，所以函数f(x)在(0，a)上是减函数所以f(x)f(a)a1alna.因为f(1)0，所以当a1时，f(a)f(1)0，此时与f(x)0恒成立相矛盾所以a1，综上所述，f(x)0恒成立的充要条件是a1.(2)由(1)可知，当a0时，函数f(x)在(0,1上是增函数，又函数y在(0,1上是减函数，不妨设0x1x21，则|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x1)，所以|f(x1)f(x2)|4等价于f(x2)f(x1)，即f(x2)f(x1).设h(x)f(x)x1alnx.则|f(x1)f(x2)|4等价于函数h(x)在区间(0,1上是减函数因为h(x)1，所以所证命题等价于证x2ax40