中南大学工程力学、材料力学第9章(扭转).pdf

两力偶作用面之间的各 横截面绕轴线相对转动 两力偶作用面之间的各 横截面绕轴线相对转动 两力偶作用面之间的各 横截面绕轴线相对转动 两力偶作用面之间的各 横截面绕轴线相对转动 杆件受到一对等值 反 向 作用面与轴线垂直的力 偶作用 杆件受到一对等值 反 向 作用面与轴线垂直的力 偶作用 杆件受到一对等值 反 向 作用面与轴线垂直的力 偶作用 杆件受到一对等值 反 向 作用面与轴线垂直的力 偶作用 变形特点变形特点 受力特点受力特点 一 功率 转速与扭力偶矩之间的关系一 功率 转速与扭力偶矩之间的关系 外力偶矩与功率 角速度关系外力偶矩与功率 角速度关系 外力偶矩与功率 角速度关系外力偶矩与功率 角速度关系 外力偶矩与功率 转速关系外力偶矩与功率 转速关系 外力偶矩与功率 转速关系外力偶矩与功率 转速关系 PM 9549 kW N m r min P M n 7024 PS N m r min P M n 30 n 二 扭矩二 扭矩 0 x MF 0TM TM 由右手螺旋法则确 定 扭矩矢量与截面外 法线一致 扭矩为正 反之为负 由右手螺旋法则确 定 扭矩矢量与截面外 法线一致 扭矩为正 反之为负 由右手螺旋法则确 定 扭矩矢量与截面外 法线一致 扭矩为正 反之为负 由右手螺旋法则确 定 扭矩矢量与截面外 法线一致 扭矩为正 反之为负 扭转正负规定扭转正负规定 xx 例 图所示传动轴 主动轮例 图所示传动轴 主动轮B 输入的功率输入的功率PB 10kW 若不 计轴承摩擦所耗的功率 两个从动轮输出的功率分别为 若不 计轴承摩擦所耗的功率 两个从动轮输出的功率分别为PA 4kW PC 6kW 轴的转速 轴的转速n 500r min 试作轴的扭矩图 试作轴的扭矩图 扭矩沿轴线方向变化的图形 横坐标表示横截面的位 置 纵坐标表示扭矩的大小 扭矩沿轴线方向变化的图形 横坐标表示横截面的位 置 纵坐标表示扭矩的大小 扭矩沿轴线方向变化的图形 横坐标表示横截面的位 置 纵坐标表示扭矩的大小 扭矩沿轴线方向变化的图形 横坐标表示横截面的位 置 纵坐标表示扭矩的大小 三 扭矩图三 扭矩图 解 计算外力偶矩解 计算外力偶矩 A A 4 9549954976 4N m 500 P M n B B 10 95499549191N m 500 P M n C C 6 95499549114 6N m 500 P M n 计算轴各段的扭矩 计算轴各段的扭矩 0 x MF 1A 0TM 解得 解得 1 76 4N mT 2C 0TM 2 114 6N mT 绘制扭矩图 解得 绘制扭矩图 解得 0 x MF 2 2 1 1 一 薄壁圆管的扭转应力一 薄壁圆管的扭转应力 各圆周绕轴线相对转 动 形状 大小 距离不 变 各圆周绕轴线相对转 动 形状 大小 距离不 变 各圆周绕轴线相对转 动 形状 大小 距离不 变 各圆周绕轴线相对转 动 形状 大小 距离不 变 1 变形几何关系 实验现象 1 变形几何关系 实验现象 各纵向线倾斜相同的角 度 仍为直线 表面矩形变 为平行四边形 各纵向线倾斜相同的角 度 仍为直线 表面矩形变 为平行四边形 各纵向线倾斜相同的角 度 仍为直线 表面矩形变 为平行四边形 各纵向线倾斜相同的角 度 仍为直线 表面矩形变 为平行四边形 各圆周绕轴线相对转动 形状 大小 距离不变 各圆周绕轴线相对转动 形状 大小 距离不变 各圆周绕轴线相对转动 形状 大小 距离不变 各圆周绕轴线相对转动 形状 大小 距离不变 各纵向线倾斜相同的角 度 仍为直线 表面矩形变为 平行四边形 各纵向线倾斜相同的角 度 仍为直线 表面矩形变为 平行四边形 各纵向线倾斜相同的角 度 仍为直线 表面矩形变为 平行四边形 各纵向线倾斜相同的角 度 仍为直线 表面矩形变为 平行四边形 dx dy u 微元体有垂直于半径方向 的切应变 圆周上所有的剪切 变形相同 微元体有垂直于半径方向 的切应变 圆周上所有的剪切 变形相同 微元体有垂直于半径方向 的切应变 圆周上所有的剪切 变形相同 微元体有垂直于半径方向 的切应变 圆周上所有的剪切 变形相同 微元体无轴向 横向 径 向正应变 微元体无轴向 横向 径 向正应变 微元体无轴向 横向 径 向正应变 微元体无轴向 横向 径 向正应变 薄壁圆筒横截面点有垂直 于半径方向的切应变 所有的 切应变大小相同 薄壁圆筒横截面点有垂直 于半径方向的切应变 所有的 切应变大小相同 薄壁圆筒横截面点有垂直 于半径方向的切应变 所有的 切应变大小相同 薄壁圆筒横截面点有垂直 于半径方向的切应变 所有的 切应变大小相同 薄壁圆筒横截面点无轴向 横向 径向正应变 薄壁圆筒横截面点无轴向 横向 径向正应变 薄壁圆筒横截面点无轴向 横向 径向正应变 薄壁圆筒横截面点无轴向 横向 径向正应变 d0 x d0y 0 薄壁圆筒横截面点 在轴向 横向无正应力 在垂直于半径方向上 有相同的切应力 薄壁圆筒横截面点 在轴向 横向无正应力 在垂直于半径方向上 有相同的切应力 薄壁圆筒横截面点 在轴向 横向无正应力 在垂直于半径方向上 有相同的切应力 薄壁圆筒横截面点 在轴向 横向无正应力 在垂直于半径方向上 有相同的切应力 2 物理关系 薄壁圆筒横截面点 无轴向 横向 径向正 应变 有垂直于半径方 向的切应变 所有的切 应变大小相同 2 物理关系 薄壁圆筒横截面点 无轴向 横向 径向正 应变 有垂直于半径方 向的切应变 所有的切 应变大小相同 薄壁圆筒横截面点 无轴向 横向 径向正 应变 有垂直于半径方 向的切应变 所有的切 应变大小相同 薄壁圆筒横截面点 无轴向 横向 径向正 应变 有垂直于半径方 向的切应变 所有的切 应变大小相同 E G 0 ddAR 2 0 2 T R 3 静力关系3 静力关系 0 R O 2 22 00 0 d2RRT 横截面上有扭矩横截面上有扭矩T 横截面上有扭矩横截面上有扭矩T T dA 0 dA R 0 d A A R dA 二 切应力互等定理二 切应力互等定理 1 纯剪切 微元体的四个侧面上 只存在切应力无正应力 1 纯剪切 微元体的四个侧面上 只存在切应力无正应力 微元体的四个侧面上 只存在切应力无正应力 微元体的四个侧面上 只存在切应力无正应力 2 切应力互等定理 在微元体的两个互相垂直的截面上 垂直于截面交 线的切应力数值相等 方向均指向或背离该交线 2 切应力互等定理 在微元体的两个互相垂直的截面上 垂直于截面交 线的切应力数值相等 方向均指向或背离该交线 在微元体的两个互相垂直的截面上 垂直于截面交 线的切应力数值相等 方向均指向或背离该交线 在微元体的两个互相垂直的截面上 垂直于截面交 线的切应力数值相等 方向均指向或背离该交线 0 z MF d d d d d dy zxx zy dx dy dz 三 剪切胡克定律三 剪切胡克定律 当切应力不超过材料的 剪切比例极限时 切应力与 切应变成正比 当切应力不超过材料的 剪切比例极限时 切应力与 切应变成正比 当切应力不超过材料的 剪切比例极限时 切应力与 切应变成正比 当切应力不超过材料的 剪切比例极限时 切应力与 切应变成正比 G 2 1 E G 弹性模量 剪切弹性模量 泊松比之间的关系弹性模量 剪切弹性模量 泊松比之间的关系 弹性模量 剪切弹性模量 泊松比之间的关系弹性模量 剪切弹性模量 泊松比之间的关系 G 剪切弹性模量 剪切弹性模量 P O 各纵向线倾斜相同的 角度 仍为直线 表面矩 形变为平行四边形 各纵向线倾斜相同的 角度 仍为直线 表面矩 形变为平行四边形 各纵向线倾斜相同的 角度 仍为直线 表面矩 形变为平行四边形 各纵向线倾斜相同的 角度 仍为直线 表面矩 形变为平行四边形 圆轴扭转时横截面仍 保持为平面 其形状 大 小 间距不变 半径仍为 直线 各横截面绕轴线相 对转动 圆轴扭转时横截面仍 保持为平面 其形状 大 小 间距不变 半径仍为 直线 各横截面绕轴线相 对转动 圆轴扭转时横截面仍 保持为平面 其形状 大 小 间距不变 半径仍为 直线 各横截面绕轴线相 对转动 圆轴扭转时横截面仍 保持为平面 其形状 大 小 间距不变 半径仍为 直线 各横截面绕轴线相 对转动 平面假设平面假设 一 扭转切应力的一般公式一 扭转切应力的一般公式 1 变形几何关系 各圆周线绕轴线相对 转动 形状 大小 间距 不变 1 变形几何关系 各圆周线绕轴线相对 转动 形状 大小 间距 不变 各圆周线绕轴线相对 转动 形状 大小 间距 不变 各圆周线绕轴线相对 转动 形状 大小 间距 不变 实验现象实验现象 dx dy d0 x d0y 横截面保持为平面 其 形状 大小 间距不变 横截面保持为平面 其 形状 大小 间距不变 横截面保持为平面 其 形状 大小 间距不变 横截面保持为平面 其 形状 大小 间距不变 微小体无轴向 横向 径向正应变 微小体无轴向 横向 径向正应变 微小体无轴向 横向 径向正应变 微小体无轴向 横向 径向正应变 微小体有垂直于半径方 向的切应变 微小体有垂直于半径方 向的切应变 微小体有垂直于半径方 向的切应变 微小体有垂直于半径方 向的切应变 横截面上的点有垂直于 半径方向的切应变 横截面上的点有垂直于 半径方向的切应变 横截面上的点有垂直于 半径方向的切应变 横截面上的点有垂直于 半径方向的切应变 横截面上的点无轴向 横向 径向正应变 横截面上的点无轴向 横向 径向正应变 横截面上的点无轴向 横向 径向正应变 横截面上的点无轴向 横向 径向正应变 d0z dz tan d dx bb ab 横截面上点的切应变 与该点到横截面圆心的距 离成正比 切应变方向与 半径垂直 横截面上点的切应变 与该点到横截面圆心的距 离成正比 切应变方向与 半径垂直 横截面上点的切应变 与该点到横截面圆心的距 离成正比 切应变方向与 半径垂直 横截面上点的切应变 与该点到横截面圆心的距 离成正比 切应变方向与 半径垂直 d0 x d bbbb d dabx 1 O 2 O a b b d dx 2 物理关系2 物理关系 G d d G x d dx 横截面上点的切应 力与该点到横截面圆心 的距离成正比 切应力 方向与半径垂直 横截面上点的切应 力与该点到横截面圆心 的距离成正比 切应力 方向与半径垂直 横截面上点的切应 力与该点到横截面圆心 的距离成正比 切应力 方向与半径垂直 横截面上点的切应 力与该点到横截面圆心 的距离成正比 切应力 方向与半径垂直 d d G x d dx G O max O max O 3 静力关系3 静力关系 dA P d d T xGI d d G x 2 d d d A GAT x GIP 抗扭刚度 构件 抵抗扭转变形的能力 抗扭刚度 构件 抵抗扭转变形的能力 GIP 抗扭刚度 构件 抵抗扭转变形的能力 抗扭刚度 构件 抵抗扭转变形的能力 P d dI T xG 横截面上有扭矩横截面上有扭矩T 横截面上有扭矩横截面上有扭矩T T d A A 2d d d A AGT x P d d GIT x O dA 4 扭转切应力的一般公式4 扭转切应力的一般公式 P T I P d d T xGI d d G x 二 最大扭转切应力二 最大扭转切应力 P P max I W max P T W max max P T I max P I T P I T P T I T P T I O 一 实心圆截面一 实心圆截面 2 P d A IA 3 P 16 d W 2 2 0 2d d 4 P 32 d I D z y O d 4 32 d 3 P P max 16 Id W 4444 P 1 3232 DdD I 34 P 1 16 D W 2 2 2 2d D d 2 P d A IA 二 空心圆截面二 空心圆截面 d 34 P P max 1 16 ID W 44 32 Dd 44 1 32 D z y O d D 三 薄壁圆截面三 薄壁圆截面 2 0d A RA 2 P0 2WR 2 P d A IA 3 P0 2IR z y O 0 R 3 0 2 R 2P P0 max 2 I WR 一 扭转失效与扭转极限应力一 扭转失效与扭转极限应力 1 塑性材料的扭转失效1 塑性材料的扭转失效 断口横截面 最大切应力引起剪 切破坏 断口横截面 最大切应力引起剪 切破坏 断口横截面 最大切应力引起剪 切破坏 断口横截面 最大切应力引起剪 切破坏 低碳钢抗剪能 力比抗拉能力差 低碳钢抗剪能 力比抗拉能力差 低碳钢抗剪能 力比抗拉能力差 低碳钢抗剪能 力比抗拉能力差 断口材料呈片 状 剪切破坏 断口材料呈片 状 剪切破坏 断口材料呈片 状 剪切破坏 断口材料呈片 状 剪切破坏 2 脆性材料的扭转失效2 脆性材料的扭转失效 断口断口45o的螺旋 面 最大拉应力引 起的脆性断裂 的螺旋 面 最大拉应力引 起的脆性断裂 断口断口45o的螺旋 面 最大拉应力引 起的脆性断裂 的螺旋 面 最大拉应力引 起的脆性断裂 断口材料呈颗粒 状 脆性断裂破坏 断口材料呈颗粒 状 脆性断裂破坏 断口材料呈颗粒 状 脆性断裂破坏 断口材料呈颗粒 状 脆性断裂破坏 铸铁抗拉能力 比抗剪能力差 铸铁抗拉能力 比抗剪能力差 铸铁抗拉能力 比抗剪能力差 铸铁抗拉能力 比抗剪能力差 二 轴的强度条件二 轴的强度条件 maxmax P T W 三 圆轴合理截面与减缓应力集中三 圆轴合理截面与减缓应力集中 设计轴截面宜将材料远离圆心 平均半径越 大 壁厚越小 切应力分布越均匀 材料的利用 率越高 设计轴截面宜将材料远离圆心 平均半径越 大 壁厚越小 切应力分布越均匀 材料的利用 率越高 设计轴截面宜将材料远离圆心 平均半径越 大 壁厚越小 切应力分布越均匀 材料的利用 率越高 设计轴截面宜将材料远离圆心 平均半径越 大 壁厚越小 切应力分布越均匀 材料的利用 率越高 设计轴减少截面尺寸的急剧改变 以减缓应 力集中 设计轴减少截面尺寸的急剧改变 以减缓应 力集中 设计轴减少截面尺寸的急剧改变 以减缓应 力集中 设计轴减少截面尺寸的急剧改变 以减缓应 力集中 maxmax P W T maxmax P W T maxmax P T W 例 图所示阶梯形空心圆截面轴 在横截面例 图所示阶梯形空心圆截面轴 在横截面A B C处承 受扭力偶作用 已知 处承 受扭力偶作用 已知MA 150N m MB 50N m MC 100N m 许用切 许用切 90MPa应力 试校核轴的强度 应力 试校核轴的强度 解 解 AB与与BC段的扭矩分别为段的扭矩分别为 AB 150N mT BC 100N mT AB maxAB 34 PAB 16 150 80 8MPa 0 018 0 0241 0 024 T W BC maxBC 34 PBC 16 100 86 7MPa 0 018 0 0221 0 022 T W 所以轴满足强度条件所以轴满足强度条件 AB与与BC段进行强度校核段进行强度校核 例 某传动轴 轴内的最大扭矩例 某传动轴 轴内的最大扭矩T 1 5kN m 若许用 切应力 若许用 切应力 50MPa 试按下列两种方案确定轴的横截面尺 寸 并比较其重量 实心圆截面 空心圆截面 其内外 径的比值 试按下列两种方案确定轴的横截面尺 寸 并比较其重量 实心圆截面 空心圆截面 其内外 径的比值di d0 0 9 解 计算实心轴直径 解 计算实心轴直径 max3 P 16TT Wd 3 3 3 6 1616 1 5 10 53 5mm 50 10 T d 计算空心轴外径 计算空心轴外径 max34 P0 16 1 TT Wd 3 3 3 0446 1616 1 5 10 76 3mm 1 10 9 50 10 T d 空心轴内径空心轴内径 0 0 90 9 76 368 7mm i dd 确定空心轴与实心轴的重量比 确定空心轴与实心轴的重量比 22 2 76 368 7 0 385 53 5 W W 空心 实心 空心 实心 max34 P0 16 1 TT Wd 一 圆轴扭转变形一 圆轴扭转变形 单位 长度 单位 长度dx的 扭转角度 的 扭转角度 单位 长度 单位 长度dx的 扭转角度 的 扭转角度 P dd T x GI 相距相距l 两截面的相 对扭转角 两截面的相 对扭转角 相距相距l 两截面的相 对扭转角 两截面的相 对扭转角 P d l T x GI 扭矩 切变模量为常数 等截面圆 轴相距 扭矩 切变模量为常数 等截面圆 轴相距l的两截面的相对扭转角的两截面的相对扭转角 扭矩 切变模量为常数 等截面圆 轴相距 扭矩 切变模量为常数 等截面圆 轴相距l的两截面的相对扭转角的两截面的相对扭转角 P Tl GI P d d T xGI 二 圆轴扭转刚度条件二 圆轴扭转刚度条件 maxmaxmax P d d T xGI 例 图所示圆截面轴例 图所示圆截面轴AC 承受扭力偶矩 承受扭力偶矩MA MB MC作用 已 知 作用 已 知MA 180N m MB 320N m MC 140N m IP 3 0 105mm4 l 2m G 80GPa 0 5o m 试计算该轴的总扭转角 试计算该轴的总扭转角 AC AC 并校核轴的刚度 并校核轴的刚度 maxmaxmax P d d T xGI maxmaxm x P a d d T GIx maxmaxm x P a d d T GIx 解 计算轴的总扭转角解 计算轴的总扭转角 AB 180N mT BC 140N mT 2 AB AB9512 P 180 2 1 50 10 rad 80 103 0 1010 Tl GI 2BC BC9512 P 140 2 1 17 10 rad 80 103 0 1010 T l GI 222 ACABBC 1 50 10 1 17 10 0 33 10 rad 校核轴的刚度 校核轴的刚度 omaxAB max9512 PP 180 180 0 43 m 80 103 0 1010 TT GIGI 所以轴的刚度满足要求所以轴的刚度满足要求 例 两端固定的等截面圆杆例 两端固定的等截面圆杆AB 在截面 在截面C 受一扭转力偶矩受一扭转力偶矩 M作用 已知杆的抗扭刚度为作用 已知杆的抗扭刚度为GIP 试求两端的约束力偶矩 试求两端的约束力偶矩 解 以圆杆解