高中数学 第二章 参数方程 2.3 参数方程化成普通方程课件 北师大版选修44(1).ppt

3参数方程化成普通方程 一 二 一 代数法消去参数1 代入法从参数方程中选出一个方程 解出参数 然后把参数的表达式代入另一个方程 消去参数 得到曲线的普通方程 我们通常把这种方法称为代入法 2 代数运算法通过代数方法 如乘 除 乘方等把参数方程中的方程适当地变形 然后把参数方程中的两个方程进行代数运算 消去参数 一 二 做一做1参数方程 t为参数 t 0 表示的曲线是 a 直线b 圆c 双曲线d 椭圆 答案 c 一 二 二 利用三角恒等式消去参数如果参数方程中的x y都表示为参数的三角函数 那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数 常用的三角恒等式有 sin2 cos2 1 tan2 1 sin cos 2 2sin cos 1等 名师点拨将参数方程化为普通方程时 要注意两个方面 1 根据参数条件 明确x y的取值范围 2 消去参数后 普通方程要与原参数方程中的取值范围保持一致 一 二 做一做2与普通方程x2 y 1 0等价的参数方程为 t为参数 解析 a化为普通方程为x2 y 1 0 x 1 1 y 0 1 b化为普通方程为x2 y 1 0 x 1 1 y 0 1 c化为普通方程为x2 y 1 0 x 0 y 1 d化为普通方程为x2 y 1 0 x r y 1 答案 d 一 二 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 1 将曲线的普通方程化为参数方程时 选取的参数不同 同一条曲线的参数方程会有不同的形式 探究一 探究二 探究三 思维辨析 参数方程化为普通方程 例1 将下列参数方程化为普通方程 并说明方程表示的曲线 分析 解答本题只要消去参数 建立关于x y的二元方程即可 探究一 探究二 探究三 思维辨析 4x 3y 4 0 它就是所求的普通方程 它表示的是一条直线 2 0 t 1 cost 1 0 sint 1 3 x 5 2 y 2 x 1 2 y 2 2 16cos2t 16sin2t 16 x 1 2 y 2 2 16 3 x 5 2 y 2 它表示的曲线是以 1 2 为圆心 半径为4的上半圆 3 由y 1 cos2 可得y 2sin2 把sin2 x 2代入y 2sin2 可得y 2 x 2 即2x y 4 0 又 2 x 2 sin2 3 所求的方程是2x y 4 0 2 x 3 它表示的是一条线段 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思领悟1 将参数方程化为普通方程 关键是消去参数 常用的消元法有代入消元法 加减消元法 如果参数方程是分式方程 那么在运用代入消元或加减消元之前需做必要的变形 另外 熟悉一些常见的恒等式至关重要 如sin2 cos2 1 ex e x 2 ex e x 2 4 1等 2 把普通方程化成参数方程后 很容易改变变量的取值范围 从而使得两种方程所表示的曲线不一致 因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1方程 t为参数 表示的曲线是 a 双曲线b 双曲线的上支c 双曲线的下支d 圆 解析 方法一 x2 y2 2t 2 t 2 2t 2 t 2 4 即y2 x2 4 所以与以上参数方程等价的普通方程为y2 x2 4 y 2 显然它表示焦点在y轴上 以原点为中心的双曲线的上支 故选b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 所以与以上参数方程等价的普通方程为y2 x2 4 y 2 显然它表示焦点在y轴上 以原点为中心的双曲线的上支 故选b 答案 b 探究一 探究二 探究三 思维辨析 普通方程化为参数方程 例2 求方程4x2 y2 16的参数方程 1 设y 4sin 为参数 2 若令y t t为参数 如何求曲线的参数方程 若令x 2t t为参数 如何求曲线的参数方程 分析 解答本题 1 可以直接把y 4sin 代入已知方程 解方程求出x即可 2 可以把y t x 2t分别代入即可 解 1 把y 4sin 代入方程 得到4x2 16sin2 16 于是4x2 16 16sin2 16cos2 x 2cos 由于参数 的任意性 可取x 2cos 探究一 探究二 探究三 思维辨析 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思领悟1 将普通方程化为参数方程的一般方法 2 将普通方程化为参数方程 其步骤如下 1 选择合适的参数t 一般地 常选取有实际意义的变数作为参数 如角 有向线段的数量 斜率 某一点的横坐标 或纵坐标 等 2 将x f t 或y g t 代入普通方程 解出y 或x 3 写出普通方程对应的参数方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2根据所给条件 把曲线的普通方程化为参数方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 参数方程与普通方程的互化及应用 例3 在直角坐标系xoy中 圆c1 x2 y2 4 圆c2 x 2 2 y2 4 1 在以o为极点 x轴正半轴为极轴的极坐标系中 分别写出圆c1 c2的极坐标方程 并求出圆c1 c2的交点坐标 用极坐标表示 2 求圆c1与c2的公共弦的参数方程 分析 1 将直角坐标方程化为极坐标方程 再求交点 2 将极坐标系下的交点坐标化为直角坐标系下的交点坐标 再写出公共弦的参数方程 或先定义x 1 再写出公共弦的参数方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 1 圆c1的极坐标方程为 2 圆c2的极坐标方程为 4cos 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思领悟参数方程 极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式 解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化 达到方便解题的目的 同时注意参数的范围 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练3如图 已知定点a 2 0 点q是圆c x2 y2 1上的动点 aoq的平分线交aq于点m 当点q在圆c上运动时 求点m的轨迹方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 因不注意参数的取值范围而致误典例曲线y x2的一种参数方程为 错解选a b c 正解 在y x2中 x r y 0 在选项a中 x t2 0 不符合题意 在选项b中 x sint 1 1 不符合题意 在选项c中 x 0 不符合题意 故选d 答案 d 探究一 探究二 探究三 思维辨析 纠错心得1 并不是所有的参数方程都能化为普通方程 2 参数方程化为普通方程时要保证转化过程的等价性 坐标x y的变化范围不能扩大或缩小 即对应曲线上的点的坐标不能有增减 实际上 坐标x y的取值范围是由参数方程给定的 所以为了防止转化过程中出现范围的变化 也可以先由参数方