（应用数学专业论文）非线性时滞fokkerplanck方程相关问题及其应用研究.pdf

非线性时滞f o k k e r p l a n c k 方程相关问题及其应用研究 摘要 在神经系统中 神经元的突触之间以及神经元之间的信息传递都存在着时 间延迟现象 我们经常将这样的系统称之为伴有时间延迟的随机时滞动力系统 通常利用对应于随机时滞微分方程 s t o c h a s t i cd e l a yd i f f e r e n ti a l e q u a t i o n s 简记s d d e 的非线性时滞f o k k e r p l a n c k 方程来研究随机时滞动力 系统的动态行为 因此 描述随机系统状态转移概率密度演化的f o k k e r p 1 a n c k 方程越来越引起广大研究工作者的极大兴趣 本文主要从两个方面来讨论f o k k e r p l a n c k 方程 一方面前人只研究了漂 移项中含有时滞的s d d e 并没有考虑扩散项中含有时滞的情况 对于更一般的 随机时滞动力系统来说 漂移项和扩散项中都含有时滞响应 因此 利用摄动 展开法推导了一般的非线性随机时滞动力系统所对应的时滞f p k 方程 并在此 基础上给出了非线性时滞f p k 方程平稳解的近似解法 另一方面 对于多变量 的非线性随机时滞动力系统所对应的时滞f p k 方程 国内外学者并没有做深入 的讨论 我们利用变分原理推导了多变量的非线性随机时滞系统所对应的时滞 f p k 方程 并把多变量的非线性时滞f p k 方程应用到时滞耦合神经振子集群的随机相 变模型中 最后通过对模型的数值分析 在三维空间再现了用于描述神经元集群活动 的数密度随时间的动态演化 数值分析的结果还表明时间延迟对神经元集群同步神经 发放活动具有明显的影响 关键词 随机动力系统f p k 方程近似平稳解k u r a m o t o 模型平均数密度 s o m er e l a t i v ep r o b l e m sa n di t sa p p l i c a t i o n si nn o n l i n e a rd e l a yf o k k e r p l a n c ke q u a t i o n s a b s t r a c t t h e r ea r ev a r i o u se x a m p l e so fs t o c h a s t i cs y s t e m sw i t ht i m e d e l a yf e e d b a c ki n t h ei n a n i m a t ea n da n i m a t ew o r l d i nm a n yc a s e s n o n l i n e a rd e l a yf o k k e r p l a n c k e q u a t i o n si na c c o r d i n gw i t hs t o c h a s t i cd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s d d e a r eu s e d t os t u d yt h ed y n a m i c a lb e h a v i o r so fs t o c h a s t i cd e l a yd y n a m i c a ls y s t e m t h e r e f o r e m o r er e s e a r c h e r sa r ei n t e r e s t e di nf p k e q u a t i o n s w h i c hd e s c r i b et h ee v o l u t i o no f t r a n s i t i o np r o b a b i l i t yo fs t o c h a s t i cs y s t e m t h i sa r t i c l em a i n l yd i s c u s s e st w oa s p e c t so ff o k k e r p l a n c ke q u a t i o n o nt h e o n eh a n d t h es d d eo n l yh a v e b e e ns t u d i e d w h e r ed e l a yi sc o n s i d e r e di nt h ed r i f t c o e f f i c i e n t a n di si g n o r e di nt h ed i f f u s e dc o e f f i c i e n t h o w e v e r i ng e n e r a l s t o c h a s t i cd e l a yd y n a m i c a ls y s t e m s t h ed r i f tc o e f f i c i e n ta n dd i f f u s e dt o e f f i c i e n t b o t hh a v ed e l a y h e n c e w ed e d u c et h ed e l a yf p ke q u a t i o ni na c c o r d i n gw i t ht h e g e n e r a ln o n l i n e a rs t o c h a s t i cd e l a yd y n a m i c a ls y s t e m su s i n gp e r t u r b a t i o nt h e o r y a n dt h e n w ed e t a i nt h ea p p r o x i m a t es t a t i o n a r ys o l u t i o no fn o n l i n e a rd e l a yf p k e q u a t i o n o nt h eo t h e rh a n d t h em u l t i v a r i a t ed e l a yf p ke q u a t i o ni na c c o r d i n gw i t h m u l t i v a r i a t en o n l i n e a rs t o c h a s t i cd e l a yd y n a m i c a ls y s t e m s m o s t l yh a v en o tb e e n i n v e s t i g a t e dd e e p l y w ed e d u c et h ed e l a yf p ke q u a t i o no fm u l t i v a r i a t en o n l i n e a r s t o c h a s t i cd e l a yd y n a m i c a ls y s t e m su s i n gv a r i a t i o n a lt h e o r y t h e n t h es t o c h a s t i c p h a s em o d e lo fn e u r o n a lo s c i l l a t o rp o p u l a t i o nw i t hd e l a yc o u p l i n gh a sb e e ni n v e s t i g a t e d u s i n gt h em u l t i v a r i a t en o n l i n e a rd e l a yf p ke q u a t i o n f i n a l l y n u m e r i c a ls i m u l a t i o nh a s s h o w nt h a tan u m b e rd e n s i t y w h i c hi su s e dt od e s c r i b et h ea c t i v i t i e so f n e u r o n a lp o p u l a t i o l l i sd y n a m i c a le v o l u t i o nw i t ht i m e n u m e r i c a ls i m u l a t i o na l s oh a ss h o w nt h a tt h et i m e d e l a y h a ss i g n i f i c a n t l yi m p a c tt h es y n c h r o n o u sf i r i n gp a t t e r n si nn e u r o n a lp o p u l m i o n k e y w o r d s s t o c h a s t i cd y n a m i c a ls y s t e m f p ke q u a t i o n a p p r o x i m a t es t a t i o n a r y s o l u t i o n k u r a m o t om o d e l a v e r a g en u m b e rd e n s i t y 插图清单 图 1 数密度关于相位的演化图 2 2 图 2 神经元集群放电密度 2 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 据我所知 除了文中特别加以标志和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果 也不包含为获得金月巴王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说 明并表示谢意 学位论文作者签字 警 小娟签字日期 姗7 年i f 月i o e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王业太堂 有关保留 使用学位论文的规定 有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许论文被查阅或借阅 本人 授权 金胆王些太堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检 索 可以采用影印 缩印或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文者签名 书水娟 签字日期 砌7 年牛月t o 日 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 新繇彬 缎 签字吼砷年争月i o e l 签字日期 办川年孕月 f 电话 邮编 致谢 今天终于要进行论文答辩了 求学期间的点点滴滴历历涌上心头 时光匆 匆飞逝 三年的努力与付出 随着论文的完成 终于让研究生的生活 得以划 下了圆满的句号 论文得以完成 首先要感谢我的导师焦贤发教授 三年来 焦老师既是我 的老师又是我的长辈 是他教会我怎样从一个只会看书的学生转变为可以提出 问题到解决问题的思考者 而这一点也是我研究生求学阶段的最主要的收获 我相信这样的收获对我以后的人生也会产生深远的影响 在此 我真诚地感谢 焦老师 谢谢您 同时 论文的顺利完成 离不开其他各位老师 同学和朋友的关心和帮助 在整个的论文写作中 各位老师 同学和朋友积极帮助我查资料和提供有利于 论文写作的建议和意见 在他们的帮助下 论文得以不断的完善 最终帮助我 完整的写完了整个论文 另外 要感谢在求学期间所有传授我知识的老师 是 你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识 这也是论文得以完成的基础 感 谢所有给我帮助的老师和同学 谢谢你们 另外 本研究承蒙安徽省自然科学基金 n o 0 7 0 4 1 6 2 3 1 资助 特此致谢 作者 黄小娟 2 0 0 9 年3 月 第一章引言 1 1 时滞随机动力系统的研究现状 动力学是力学最古老最根本的部分 但也是不断出现新发展 新方向的领 域 很多复杂的动力系统都可以被认为是自我调整的系统 其自我调整的过程 是一段有限的时间 这时动力系统就可能具有明显的滞后效应 这种时间延迟 系统有很多应用 例如 光反馈的激光系统 l 刁 中i k e d a 和l a n g k o b a y a s h i 方程 1 4 1 自我调整的电压控制的振子1 5 6 以及已经在时滞自我调整系统的背景下被 讨论的流体动力学的问题 7 引 网络系统 9 和生物系统 1 0 等 应用的广泛性要求我们建立关于时滞动力系统的有关理论 尽管在过去的 处理中 人们常常忽略时滞并解决了许多问题 但随着对动力系统的动力学行 为要求越来越精确化 就需要考虑时滞对系统的影响 已经有结果表明 即使 是毫秒级的时滞也会导致系统复杂的动力学行为 另一方面 对于许多时滞系 统 如果忽略时滞就会导致错误的结论 已有充分的证据表明 时滞系统普遍 存在于自然和工程实际中 它的普遍性在于时滞的普遍性 从自然界到人类社 会 从自然科学 工程技术到社会科学 时间滞后 d e l a y t i m ed e l a y l a g 简称 时滞 现象无处不在 无论何种时滞系统 随时间的演化不仅依赖于系统当前的 状态 而且依赖于系统过去某一段时间的状态 换句话说 系统过去某一段时 间的状态对系统目前状态的影响存在一个时间上的滞后 时滞 于是 一个非 常直观并且容易理解的问题被提出来 即时滞或时滞长短是否会影响系统的动 力学行为呢 另一方面 在几乎所有的受控系统中 特别是对于一个大系统 由于传输和测量的时间滞后 是否会对系统的群体动力学行为产生本质的影 响 因此 深入研究含时滞的力学系统的动力学特性不仅对认识这些系统本身 具有重要的意义 也会对生物 生态 神经网络 物理学 电子与信息科学 机械工程 燃烧动力学 化学工程和经济等研究领域的研究起到促进作用 1 1 1 虽然对于时滞的确定性和混沌系统的研究已经获得了很多重要的结论 2 3 5 8 1 2 1 3 但是在很多系统特别是生物力学中 学者们不仅要研究时滞系统还 要研究时滞随机系统 1 4 1 7 因此 怎样处理时滞随机系统显得尤为重要 众所周知 现实世界中一切随时间变化的过程 往往都要受到某些不确定 因素的作用 这些不确定的因素往往又服从某种统计规律 把这种具有统计规 律的不确定因素称为 随机因素 所谓随机系统 就是指用以描述这类受随机 因素作用的时间过程的一些数学模型 这类数学模型一般是某些含随机过程的 差分方程或微分方程 因此 往往通过研究微分方程来研究随机系统 在物理 化学 生物学中 系统的随机性往往通过噪声的形式来反映 特别是近十年来 化学与生物学界的科学家逐渐体会到 噪声在非线性动力系统中可起积极的作 用 18 1 朱位秋教授等人将非线性随机动力学与控制的研究从l a g r a n g e 体系转到 h a m i l t o n 体系 将非线性随机动力系统表示成随机激励的耗散的h a m i l t o n 系统 根据相应h a m i l t o n 系统的可积性与共振性 将系统分成不可积 可积非共振 可积共振 部分可积非共振五类 提出与发展了随机激励的耗散的h a m i l t o n 系 统理论 包括g a u s s 白噪声激励下耗散的h a m i l t o n 系统的精确平稳解与等效非 线性系统法 拟h a m i l t o n 系统随机平均法 拟h a m i l t o n 系统随机稳定性 随 机分岔 首次穿越以及分别以振动最小 稳定度或可靠度最大目标的菲线性随 机最优控制理论方法 构成了一个崭新的非线性随机动力学与控制的h a m i l t o n 系统理论体系的框架 特别为解决多自由度强非线性系统随机动力学与控制问 题提供了一整套理论方法 得到了非线性随机动力系统四类能量非等分精确平 稳解 打破了自1 9 3 3 年以来一直只有能量等分解的局面 虽然 在时滞动力系统和随机动力系统这两个领域中都分别有了一些重要 的结果 但是对于时滞随机动力系统的研究仍然是动力学的一个难题 到目前 为止 分析性的研究还仅仅集中在线性时滞随机动力系统和存在弱波动力的时 滞双稳态系统 1 9 通过恰当的变换 非线性的时滞随机系统可以被映射成线性 的时滞随机系统和具有小的时间延迟的随机动力系统 1 9 在这个理论背景下 由g u i l l o u z i c 等人提出的时滞f p k 方程 2 0 成为了产生分析性结果的最有力的工 具 利用对应于时滞随机微分方程的非线性时滞f p k 方程研究时滞随机动力系 统的动态行为成为近几年的热点问题 2 0 2 5 1 但是至今还很难得到非线性时滞 f p k 方程的精确解析解 k u c h l e r 和m e n s c h 首先研究了对应于线性s d d e 的时滞 f p k 方程平稳解的存在性 并得到了伴随有限时滞的线性f p k 方程的平稳解 2 4 g u i l l o u z i c 等用线性近似s d d e 的方法 得出了相应的f p k 方程的近似平稳解 1 2 1 2 2 a 然而 时滞f p k 方程的理论仍然是不成熟的 因此 本文主要研究一类非 线性时滞f p k 方程的近似平稳解 研究描述多变量时滞随机动力系统状态演化 的时滞f p k 方程 并将其应用于耦合神经元集群同步神经发放模式的研究 1 2 本文的结构 在本文中 我们主要是通过非线性时滞系统在g a u s s 白噪声激励下的响应 方程来讨论非线性时滞随机动力系统 非线性时滞系统在g a u s s 白噪声激励下 的响应是扩散的m a r k o v 过程 l 引 简称扩散过程 本文第二章 我们主要向大家介绍f p k 方程是怎样从m a r k o v 过程的研究中 演化而来 从而f p k 方程也成为了研究非线性动力学的一个重要的工具 本文的第三章 考虑到时滞的影响 第一节中我们就着重对g u ill o u z i c 2 等人提出的线性近似方法做出了一个简单的介绍 并且在此基础上给出了几个 典型方程的近似平稳概率密度 但是 他们研究的s d d e 中只考虑了漂移项中含 有时滞 并没有考虑扩散项中含有时滞的情况 因此我们在第三章的第二节和 第三节中主要利用摄动展开法导出了更一般的非线性时滞随机动力系统所对应 的时滞f p k 方程 并给出了非线性时滞f p k 方程的近似平稳解 本文的第四章 对于多变量的非线性时滞随机动力系统的研究一直是非线 性动力系统的一个难点 到目前为止 理论结构比较完善的是非时滞的随机动 力系统 在这个理论框架中 非时滞的f p k 方程仍然是研究的重点 因此在第 四章中 我们主要在多变量的非时滞f p k 方程理论的基础上 通过变分原理推 导了多变量的时滞f p k 方程 然后利用这个多变量的时滞f p k 方程来研究神经 元集群同步神经发放活动 将多变量的时滞f p k 方程应用到时滞耦合神经振子 集群的随机相变模型中 得到了神经元集群的数密度随时间演化的动力学方 程 最后通过对模型的数值分析 研究了时滞对神经元集群的相同步和放电同 步活动的影响 第二章基本理论 非线性时滞系统在g a u s s 白噪声激励下的响应是扩散的m a r k o v 过程 l 引 简称扩散过程 表征和分析m a r k o v 过程的一种途径便是建立在其转移概率密度 p x flx 的演化方程的基础之上的 换句话说 转移概率密度p x fi t o 的 演化方程可以完全反映m a r k o v 过程的动力学行为 f p k 方程就是描述转移概率 密度p x fx 0t 演化过程的偏微分方程 因此 在本章内容中 我们主要向大 家介绍f p k 方程是怎样从m a r k o v 过程的研究中演化而来 从而f p k 方程也成为 了研究非线性动力学的一个重要的工具 这也是我们这篇文章的主要理论依据 2 1 c h a p m a n k o l m o g o r o v 方程的微分形式 一个连续参数连续状态的m 维矢量随机过程x f t t 对于任意的n 与 t l t t l t 2 2 时k 一 0 2 8 1 在这种情况下 2 2 和 2 4 就分别称为向前的和向后的f o k k e r p l a n c k 方程 即向前的f p k 方程为 掣o t 一昙酏忡川孙u 罢o x 矾帅川孙u 2 5 溅 一 向后的f p k 方程为 一丝掣 k 州 p ix o t o k 2 彬 1 0 2p 圳x o t o 2 6 o t n幽oo x n 对于多变量的情形可以直接推广 此时令p p x l x fx l o x 月o f 和相应 的条件均值 出 l k 确f 删l i m 詈i 2 7 k 兰 x l z f 互1 出l i m 而 t x l 而 f 而 2 8 得到多变量的向前f p k 方程为 害 一喜毒 力p 嘉去砒 删p 汜9 类似地 d z 可以得到多变量的向后f p k 方程 2 2l a n g e v i n 方程和f p k 方程 动力学系数 2 3 可以由对应的l a n g e v in 方程得到 对一个给定的变量 肖d 我们只要从l a n g e v i n 方程来决定增量出表示成衍的线性形式 因为从 上面的讨论可知 更高阶的系数是 破 2 的无穷小量 所以可以忽略不计 于是 我们就可以得到l a n g e v i n 方程和f p k 方程的联系 下面考虑如下的随机微分方程 支 f x 4 2 d g x f 孝0 2 1 0 其中 x t 为一个一维的状态变量 孝 f 是g u a s s 白噪声 即 孝 f 0 且 孝 f 善0 f a r 则对于一个小的时间增量衍 出 可以表示成 d x x f 沈 一x f x s s d t g z j s 4 2 d d r v d 2 11 其中 d 是对应的w ie n e r 过程的增量 且满足 口 z d t 依赖于时间的 函数厂和g 可以被看作一个r i e m a n 积分 由于白噪声孝 f 的不连续性和w i e n e r 过程的不可微性 增量出 依赖于时间s t t 9 t d t 1 的选择 令 s g f 衍 1 一g 弘 其中q 为 0 1 z 间的常数 将函数厂 z s s 和g s j 在时间f 泰勒展开并且只保留到一阶项可以得到 m j s z x s 一x f 芸z s t 昙z z g 箬d x g 昙 衍 2 1 2 o x t o z o x t o i 舭加 g f 邢h 毒 卜f 晏g t g t q o x o t詈蚶g 知0 帅 1 3 戗 f 将 2 1 2 和 2 1 3 代入 2 1 1 中可以得到 d x f z g 妄l d x d t g t 4 2 d a r g 妄殳d x f 4 2 d a w 2 1 4 7 一 口一 o x to x t 从上式可以看出 出 仍然依赖于随机增量a r v 将 2 14 式的右边再代入 2 1 4 式的右边 进行回代并且只保留到微分的二阶形式 d x z g f2 4 t f a r v 出 g 娶g 2 d d w a t 2 q 要g 蜀 g 祟f 2 4 历d w a t s t r a t o n o v i c h 2 9 1 曾经指出 当d t 一0 时 2 d d w n 2 收敛于2 d d t 当d t 0 时a v e r d t 0 因此上式可以近似地等价于 啦 厂 酬 2 叻翟掣g x f d 万g z f a v e r a x 2 1 5 而 2 1 5 中 2 1 6 将上式从o 专f 进行求和 就可以将 2 1 6 式写成i t o 一积分的形式 3 0 x f f x t d t 2 叻掣g x t 2 4 t 万g x f d 2 1 7 o x 由2 1 节所定义的f p k 方程的动力学系数是x t 的条件矩 因此动力学系数可 以由 2 1 7 式得到t 酏垆掣川彬 2 d g 掣黼 她归丢掣 嘲刈 2 1 8 2 1 9 同样 更高阶的系数因为w ie n e r 过程的特征都为零 2 9 1 因此 由l a n g e v in 方 程 2 1 0 所描述的对应的f p k 方程为 掣o t 一去im 2 功掣o t 叫 b 小 傲ll 6 d f 9 2 x f p x fix 0 a x 用同样的方法我们可以推广到多变量的情形 毫 z l x 岛 z l 彭 f 户l 噪声孝 f 具有零均值和相关函数 2 2 0 2 2 1 喜o 旬o f 2 d 万 f 2 2 2 对增量d r f 进行条件均值的展开 可以得到动力学系数 k 卜 均吾m 一 饥g 材j t r 七 k 多 d u g 腩g 2 2 3 2 2 4 再将 2 2 3 和 2 2 4 中的系数代入到 2 9 式就可以得到多变量的向前f p k 方 程 这种具有漂移和扩散项的演化算子最初是由f o k k e r 在研究b r o w n i a n 粒子 的运动过程中提出来的 然后由p l a n c k 补充描述的 对于单个变量的情形 r a y l e i g h 以及后来的s m o l u c h o w s k i 做出了开创性的贡献 k l e in 和k r a m e r s 推导出了b r o w n i a n 粒子在外部力的影响下的演化算子 2 8 2 9 3 1 在第三章中 我 们主要把f p k 方程推广到伴随时滞影响的情形 即着重考虑时滞对随机动力系 统的影响 在前面我们曾经提到常数q 可以在i o 1 l 之间变化 如果白噪声被看成为相 关时间趋于0 的有色噪声的极限过程 那么g 可以取l 2 此时 2 17 就称为 s t r a t o n o v i c h 随机积分 这种选择也有着当变量改变时 条件矩与l a n g e v i n 方程之间的关系不会改变的优势 3 0 3 2 最近 k 1 i m o n t o v i c h 讨论了关于g 1 的 情形 33 1 在数学文献中 一般令q 0 称为i t o 积分 3 2 3 4 在这种情况下 增量出 只依赖于在时刻f 的d 既的随机影响 在后面的讨论中 我们一般也是 讨论q 0 时的随机积分 这样可以达到简化问题的目的 第三章一类非线性时滞f o k k e r p l a n c k 方程的近似平稳解 前面我们已经提到无论是生命世界还是非生命世界 都存在着伴有时间延迟 的随机动力系统 由于随机系统的波动性 利用系统的运动轨道研究系统的动态 性质面临很大的困难 因此 利用描述随机系统状态转移概率密度演化的 f o k k e r p l a n c k 简记f p k 方程研究随机动力系统的动态性质越来越引起广大研 究工作者的极大兴趣 朱位秋教授等深入研究了非线性随机动力学 利用 f o k k e r p l a n c k 方程研究了几类非线性随机系统 并得到了g a u s s 白噪声外激与 参激下十分一般的非线性h a m i l t o n 系统的f p k 方程精确平稳解 l3 1 对于随机时 滞动力系统的研究是近几年来研究的热点问题 2 l 之3 1 由g u i l l o u z i e 等人提出的 时滞f p k 方程 2o j 成为了产生分析性结果的最有力的工具 利用对应于随机时滞 微分方程的非线性时滞f p k 方程研究随机时滞动力系统的动态行为成为近几年 的热点问题 2 0 2 3 j 但是至今还很难得到非线性时滞f p k 方程的精确解析解 k u c h l e r 和m e n s c h 首先研究了对应于线性s d d e 的时滞f p k 方程平稳解的存在性 并得到了伴随有限时滞的线性f p k 方程的平稳解 2 4 1 g u i1 1 0 u z i c 等用线性近似 s d d e 的方法 得出了相应的f p k 方程的近似平稳解 2 1 2 2 但是 他们研究的s d d e 中只考虑了漂移项中含有时滞 并没有考虑扩散项中含有时滞的情况 在本章的 第 节中 我们就着重对g u i l l o u z i e 等人提出的线性近似方法做出了一个简单 的介绍 并且在此基础上给出了几个典型方程的近似平稳概率密度 但是 g u i l l o u z i c 等人研究的s d d e 中只考虑了漂移项中含有时滞效应 并没有考虑扩 散项中含有时滞的情况 然而 对于更一般的随机时滞动力系统来说 漂移项和 扩散项中都含有时滞效应 因此 在第二和第三节中主要利用摄动展开法导出了 更一般的非线性时滞随机动力系统所对应的时滞f p k 方程 并给出了非线性时滞 f p k 方程的近似平稳解 3 1漂移项含有时滞效应的随机动力系统的f p k 方程及其平稳概率密度 在这节中我们讨论是噪声中不含有时滞效应的随机动力系统 这种随机动 力系统 可以用s d d e 描述为 d x t 厂 x f x t r d t o g x t d w t 3 1 其中 x f 是一个状态变量 f 0 是时间延迟 f x y 是漂移函数 g 曲是噪 声项 仃是其振幅 为一个常数 形 f 表示一个初始为形 0 0 的w i e n e r 过程 且满足 肜 f 0 w2 f t 表示总体均值 我们首先利用摄动展开法推导时滞随机微分方程 3 1 所对应的时滞f p k 方程 令g y 是定义在l 口 bi 上关于y 的任意连续并具有连续二阶偏导数的函数 且满 8 l i r a g 少 l i n j g y 0 3 2 y 口y 口 l i m d g y l i m 旱g y 0 3 3 7 一一a v y b 那么 由t a y l o r 公式 把g x t 出 f 在点x t t a y l o r 展开 并且只保留到d t 的一次项 则 g x f 出 f g 川 沁叭m 叫 万d 蹴 孚鳓纠等啪 卜 g x o 导g z o d 以f 3 4 a y 上式在化简过程中用到了 咖 f 2 出和面dg x f 面dg y l 产h 因此 由 3 4 式可得 榔 d 彤嘞 譬撖嘞等g 似嘞卜 g x f 导g 石 f 咖 f 3 5 d v 由 f 是w i n n e r 过程知 州f 0 对方程 3 5 两边取概率平均得 晚m 叫 万dg 似嘞 譬9 2 x t 嘉y 2g 似啪 3 6 为了计算出 3 6 中的均值 必须定义一个恰当的概率密度 令p x t x t l 是定义在x f b x 出 和x t i x 出 上的密度 对任意t f o 有 x f 矽 f 所以p x f x t i 矽 是只依赖于初始条件移 t te r o 的双变量的 概率密度 因此 3 6 式变形为 弘肚争t x t p x t x t rl 舻f 出酬lm 双 g 似嘞 譬搠啪嘉g 似嘞k 淞 叫矽 7 方程 3 7 两边同时用分部积分法可得 f d x g x k 昙尸 x t x r t r f 出g x f 出 一瓦0 f x t x t r p x t x t rl 矽 9 c r 么2 蹦0 2 9 2 咖 彬 f 叫矽 3 8 由g y 的任意性 得到 昙p x t x r t 一瓦8 f x t x t r p x t x t r 霎 铲 2 咖 刈 矽 3 9 o 了 x h g x p x 7 x r t i i 矽 j 3 9 上式两边同时对x 积分 得相应于s d d e 3 1 的非线性时滞f p k 方程 昙m 川舻 旦a xp m 砸叫 p x t x t r i 矽 d x 等嘉咖 州 3 1 0 其中 p x fi 矽 是只依赖于初始条件的单变量的概率密度 且 p x fi 矽 p x f x f r d x f 3 1 1 啦 下面我们来求f p k 方程 3 1 0 的近似平稳解 定义条件概率密度为 p x r t 删 错 3 1 2 则 3 1 0 式可以写成关于条件概率密度的f p k 方程的形式 昙p 蹦l 矽 一丢易 彬 f 厂 m 砸一砌p x t rh 删 啦 t 0 2 爵0 2 k 2 删p 圳矽 3 1 3 在上式中 令 夕 x fj 矽 o l 西s x f x f f p x t r ix z 矽 出 3 14 ox 则 3 1 3 式可以转化为 昙肼 一丢 州 训 了0 2 丽0 2 咖 椰 3 1 5 方程 3 1 5 实际上是对应于非时滞随机微分方程 d r t 夕 x f t d t o g x t d w t 3 1 6 的非时滞f p k 方程 假设当f 0 0 时系统趋于平稳 函数f ol 矽 和p 5 f 定义为厂 味tl 矽 和 p x ti 矽 的平稳极限 当边界条件为反射边界时 从方程 3 1 6 可以得到一个 所谓的势锯 2 l l o 州加嵩唧悟f 篇出 忉 其中c a6 常数n 是归一化常数 ep i 矽 出 1 从 3 1 7 中反解出f 5 l 矽 可得 八州 孚9 2 x d l np 5 川 o 2 9 x 丢出 3 1 8 因此 如果随机时滞微分方程可以转化为非时滞的 则可以求出其势解 对于 小的时滞 即f 的值很小 则厂o f x t f 可以在点x t t a y l o r 展开且这个展 开只需保留到f 的一次项 3 5 1 方程 3 1 就变形为 d x f a x d t c r g d x d w t 3 1 9 其中 无 x 厂 x x i1 一f 兰厂 x 工 i 3 2 0 似f g 口 烈功 1 f 毒厂 五功j 3 2 1 厂 f x x r l 3 2 2 锨f吼f i x 在这些方程中 写在下方的a 表示近似 令p a z tl 矽 是由方程 3 1 9 所确定的 概率密度 则方程 3 1 9 对应的f p k 方程为 昙儿 彬 一昙饥 咖口 圳矽 了0 2瓦02t k 飘嘞p 口 彬 oo x zo x 3 2 3 由上面的讨论可求出方程 3 1 9 的势解 即为方程 3 1 的近似平稳解 删舻丽ne x p 砉f 鬻出 3 2 4 3 2 漂移项和扩散项都具有时滞效应的f p k 方程 在很多情况下 伴随有时间延迟的反馈随机系统可以用s d d e 的形式来描 述 a x t 厂 石 f x t r d t g x f x t r d w t 3 2 5 上式中 x f 是一个状态变量 f 0 是时间延迟 f x y 是漂移函数 g x y 表 示噪声振幅 w t 表示一个初始为w o 0 的w ie n e r 过程 且满足 唠 0 形2 f 表示总体均值 当g x f x t f g x 时 噪声中没有时滞项 方程 3 2 5 变形为 d r t 厂 x f x t r d t g x f d 肜 f 3 2 6 征弟一币甲我俐已经碓导j0 3 1 2 6 式所对应的f p k 万栏 3 1 0 利用第一币中 同样的方法我们可以推导出 3 2 5 式所对应的f p k 方程为 昙m 川舻一昙r 似 必卜砌p x t x t r i 矽 d x 三謦鼢 拟h 帅 x t x t r k 3 2 7 其中 p x fl 矽 是只依赖于初始条件的单变量的概率密度 且 力 p x ti 矽 p x f x t fi 矽 出 3 2 8 3 3 时滞f p k 方程的近似平稳解 前面我们用摄动展开法导出了方程 3 1 对应的f p k 方程 3 1 1 为了进 一步研究随机动力系统 3 1 的性质 通常需要得到f p k 方程 3 1 1 的解 但 是由于时滞系统的复杂性 f p k 方程 3 1 1 的精确解析解很难求得 因此我们 研究f p k 方程 3 1 1 的近似平稳解 在第一节中我们得到的是所谓的势解 即 微分方程进行线性化以后得到的近似微分方程的平稳解 在这节中我们推导的 是将联合概率密度p x t fx f 进行一次近似以后得到的方程 3 2 5 的近似 平稳解 具体做法如下 令厂 x o x 厂 x 杪 x f g f o x 3 2 9 r x d x x f d x d x x 一d 0 x 3 3 0 r 工 工 其中 d x x 去9 2 工 x f 则方程 3 2 5 对应的时滞f p k 方程 3 2 7 变形为 昙p z 力 一昙 陟 0 r x x k x f f 出 謦 卅m p x t x t r d x 3 3 1 当分布趋于平稳时 由于云只 x 0 由 h 程 3 3 1 得 i f x l r x x r 只 x t flx t d x 只 x 丢d b 弘u 峨 x t l g 彬 出 k 心 3 3 2 这里 己 x t fx t 和只 x 分别表示x t 的条件平稳分布和平稳分布 对于 1 2 小的时i 司延迟 p x f 和p x t 一丁ix f 可以分解成 1 9 1 p x t 尸 o 五于 占 五 z 五f o r 2 3 3 3 p o x f p x t 一丁ix t p o x t flx f s x f t f x t o r 2 3 3 4 其中 p o x f p o x t 一丁1x f o cd 1 s x f 6 x t fix f o cd f 值得 注意的是函数z x t 是含r 的二次项 但并不是f 的二次项都在z x r 里 关 于z x t 的讨论见文献 2 2 1 当概率密度为平稳分布时 令f 哼0 譬婴 只 x 硝 z 3 3 5 躲只 x t f 矽 t t f 3 3 6 在方程 3 3 2 中用砭o f fl 石 f 替代己 f fix f 1 o 替代只o 得 i f x f r x x r 砭o f fix t d x 砭1 x 未 d c x p x 蹬 x r t t1 彬 出 k t x 3 3 7 由r x x 和r x 的定义可将 3 3 7 简化成 厂 x x 砭 x r t ix f 出 k 1 x 昙 p x x 砭 x t t vix f 出 毯 z 3 3 8 因为e f f1x f 是非时滞f p k 方程 昙o t 埘卜昙广b 眺卅笔o xd o 批棚 3 3 9 积 的条件概率密度 且m a r k o v 过程的平稳转移概率密度只依赖于时差 即f 于 是 砭 x t fix t 砭 x f rix t 3 4 0 对于小的时间延迟 用f o u r i e r 积分法可以得到方程 3 3 9 的精确解析解 2 8 1 曩o x f f lx f e x p 把 3 4 1 带入 3 3 8 式 得到 易 x 取垆丢昙k x 取x 其中 岛 x d e y x 胁加x p p e g x x e x p 一 4 d o x f 4 d o x f 4 d o x f 3 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 4 求解方程 3 4 2 得到 黝 南唧j 2 踹出 4 5 其中 z 是归一化常数 砭1 x 就是平稳分布只 x 的一次近似解 也就是方程 3 1 的一次近似平稳解 3 4 举例 在前面三节中 我们分别讨论了漂移项中含有时滞效应的随机动力系统和 漂移项与扩散项中都含有时滞效应的时滞随机动力系统的f p k 方程及其近似平 稳解 下面我们就来研究一些具体的时滞随机动力系统的经典模型 例1考虑漂移项中含有时滞效应的随机动力系统 d x t a x t r d t o d w t 3 4 6 我们用以上提到的g u i l l o u z i c 方法求出方程 3 4 6 的近似平稳解 令f x x 一a x t f g x 1 由 3 2 0 3 2 1 式可以得到 无 x 一口 1 a r x g 口 x 1 口f 3 4 7 方程 3 2 5 转化为 d x t a 1 a v x d t 1 a r o d w 3 4 8 由上面的讨论和公式 3 2 4 可以推出方程 3 4 6 的近似平稳解为 删舻 口e x p 赢 3 4 9 其中 n 为p f 矽 的归一化的常数 例2考虑漂移项中含有时滞效应的随机动力系统 d x t 口一胁 一r x t a t o x t d w t 3 5 0 仍然先把方程 3 5 0 转化成非时滞的微分方程再进行近似平稳概率密度的求 解 令f x z 口一石k x g x x 3 5 1 由 3 2 0 3 2 1 式可以得到 无 x 1 了r x a 一犀 x g 口 x 1 p r x x 3 5 2 方程 3 5 0 转化为 d x t 1 伉 a p x x d t 1 肛r x a d w 3 5 3 由上面的讨论和公式 3 2 4 可以推出方程 3 5 0 的近似平稳解为 r 一2 a h r 2 2 p a xf 2 石丙l v a x 阿 3 5 4 其中 仍然为归一化常数 例3 考虑含有非线性时滞漂移项和线性时滞扩散项的时滞随机动力系统用以下 1 4 随机微分方程采描述 d x f lx 2 一三x o 一丁 x 2o 一彳 i d t x t v d w f 令厂 x x x 2 一 1x 一x f 2 g x x x r 由 3 2 9 式和 3 3 0 式 厂 x 一三 d x 委z 2 由 3 4 3 和 3 4 4 可以求得 伽 岳肛 珈2x p f 嘉k 一 i 三一x 1 一r x 2 一 丽h 卜r 啪 压e 2 冲 割如优2 3 5 5 3 5 6 3 5 7 将 3 5 6 3 5 7 代入 3 4 5 式可得方程 3 5 5 的一次近似平稳解为 枷 去c x 杠降岳荆 去e 冲 一2 去z rl n x r 1 x 5 8 其中 z 为砭1 的归一化常数 3 5 结论 本章首先对g u i l l o u z i c 等利用线性近似方法推导的漂移项中含有时滞效应 的随机时滞动力系统所对应的f p k 方程做了一个简单的介绍 然后在此基础上 利用摄动展开法导出了漂移项和扩散项中都含有时滞效应的非线性时滞随机动 力系统所对应的时滞f p k 方程 只考虑漂移项中含有时滞效应的f p k 方程可以利 用方程的近似法得到一个所谓的势解 即概率密度的近似平稳解 但是 对于漂 移项和扩散项中都含有时滞效应的非线性随机时滞动力系统来说 这种方程的近 似方法已经不能适用1 22 所以我们利用将联合概率密度p x t t lx f 进行一次 近似的方法得到漂移项和扩散项中都含有时滞效应的时滞f p k 方程的近似平稳 解 最后 针对两种非线性随机时滞动力系统 我们分别给出了两个经典方程 并利用两种近似方法的求出了经典方程所对应的近似平稳解 第四章时滞耦合神经元集群同步神经发放模式 从自然科学 工程技术到社会科学 时间滞后的现象无处不在 考虑时滞 对神经元耦合系统的影响是近几年非线性动力系统研究的热点问题 自 g u il l o u z ic 等人提出用描述随机动力系统状态转移概率密度演化的 f o k k e r p l a n c k 方程研