2015步步高理科数学第一讲 坐标系.doc

第一讲坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称_2极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个_O，叫做极点；自极点O引一条_Ox，叫做极轴；再选定一个_单位、一个_单位(通常取_)及其正方向(通常取_方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标设M是平面内一点，极点O与点M的_叫做点M的极径，记为_；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角_叫做点M的极角，记为_有序数对_叫做点M的极坐标，记为_一般地，不作特殊说明时，我们认为_0，可取_(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与_表示同一个点特别地，极点O的坐标为_和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有_种表示如果规定0，_，那么除_外，平面内的点可用_的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是_确定的3极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为_，x轴的正半轴作为_，并在两种坐标系中取相同的_(2)互化公式：如图所示，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式x_，y_2_，tan _4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆圆心为(r,0)，半径为r的圆圆心为(r，)，半径为r的圆过极点，倾斜角为的直线(1)_或_(2)(0)和_(0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线过点(a，)，与极轴平行的直线1在极坐标系中，若点A，B的坐标分别是(3，)，(4，)，则AOB为_三角形2在极坐标系中，直线sin()2被圆4截得的弦长为_3(课本习题改编)极坐标方程sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程为_4曲线4sin 与2的交点坐标是_.题型一平面直角坐标系中的伸缩变换例1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：(1)求点A(，2)经过变换所得的点A的坐标；(2)求直线l：y6x经过变换后所得的直线l的方程；(3)求双曲线C：x21经过变换后所得到的曲线C的焦点坐标思维升华平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示在伸缩变换下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆椭圆y21经过伸缩变换后的曲线方程为_题型二极坐标与直角坐标的互化例2(2012湖南)在极坐标系中，曲线C1：(cos sin )1与曲线C2：a(a0)的一个交点在极轴上，则a_.思维升华直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验(2013北京)在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_题型三求曲线的极坐标方程例3已知P，Q分别在AOB的两边OA，OB上，AOB，POQ的面积为8，则PQ中点M的极坐标方程为_思维升华求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式，解决这类问题，关键是抓住问题的几何意义(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程(1)(2012上海)如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成f()的形式，则f()_.(2)(2012江苏改编)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为_转化与化归思想在坐标系中的应用典例：(5分)(2012安徽)在极坐标系中，圆4sin 的圆心到直线(R)的距离是_思维启迪将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解解析极坐标系中的圆4sin 转化为平面直角坐标系中的一般方程为x2y24y，即x2(y2)24，其圆心为(0,2)，直线转化为平面直角坐标系中的方程为yx，即x3y0.圆心(0,2)到直线x3y0的距离为.答案温馨提醒本题考查了极坐标方程和平面直角坐标系中一般方程的转化，考查了转化与化归思想，题目难度不大，做本题时有可能因对极坐标和平面直角坐标的关系不熟而受挫在进行坐标互化时要注意以下几点：(1)互化的三个前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴正方向重合；取相同的单位长度(2)若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限(即角的终边的位置)，以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.方法与技巧1我们在使用伸缩变换时，要分清新旧坐标：P(x，y)是变换图形后的点的坐标，P(x，y)是变换前图形的点的坐标注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式，以加深理解和记忆2曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式cos x，sin y，2x2y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以等3如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用xcos ，ysin 即可失误与防范极径是一个距离，所以0，但有时可以小于零极角规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定0,00，0,0)的交点的极坐标为_8在极坐标系中，直线sin与圆2cos 的位置关系是_9(2012陕西)直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_10在极坐标系中，射线(0)与曲线C1：4sin 的异于极点的交点为A，与曲线C2：8sin 的异于极点的交点为B，则|AB|_.B组专项能力提升1在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，则实数a的值为_2在极坐标系中，过圆6cos 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为_3在极坐标系中，曲线4cos()与直线sin()1的两个交点之间的距离为_4在极坐标系中，P是曲线12sin 上的动点，Q是曲线12cos上的动点，则|PQ|的最大值为_5圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程为_6已知曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为(R)，曲线C1，C2相交于点M，N.则线段MN的长为_7已知极坐标系中，极点为O，将点A绕极点逆时针旋转得到点B，且OAOB，则点B的直角坐标为_答案基础知识自主学习要点梳理1xy伸缩变换2(1)定点射线长度角度弧度逆时针(2)距离|OM|xOM(，)M(，)任意实数(3)(，2k)(kZ)(0，)(R)无数02极点惟一惟一3(1)极点极轴长度单位(2)cos sin x2y2(x0)4r(02)2rcos ()2rsin (0)(R)(R)(2)cos a()sin a(00)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.跟踪训练21解析极坐标系中点对应直角坐标系中坐标为(，1)，极坐标系直线sin 2对应直角坐标系中直线方程为y2，点到直线y2的距离为d1.例32(0)解析建立如图所示极坐标系，设动点M坐标为(，)(0)P、Q两点坐标分别为(1,0)，(2，)则有12sin 8，1sin 4，2sin()4，得：212sin sin()16，由得12代入得2(01.故直线与圆相离9.解析直线2cos 1可化为2x1，即x；圆2cos 两边同乘得22cos ，化为直角坐标方程是x2y22x.将x代入x2y22x得y2，y.弦长为2.102解析将射线与曲线C1的方程联立，得解得故点A的极坐标为(2，)，同理由得可得点B的极坐标为，所以|AB|422.B组18或2解析将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有1，解得a8或a2.故a的值为8或2.2cos 3解析由6cos 得，26cos ，又2x2y2，xcos ，x2y26x，即(x3)2y29，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为cos 3.32解析由极坐标系与直角坐标系的互化关系可知曲线4cos()对应的直角坐标方程为x2y22x2y0，即(x1)2(y)24，直线sin()1对应的直角坐标方程为xy20，所以两交点间的距离即为直线被圆截得的弦长的大小，由垂径定理可求得弦长为2，即两交点之间的距离为2.418解析12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.又12cos，212，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，|PQ|max6618.56cos解析如图，设圆上任一点为P(，)，则|OP|，POA，|OA|236，在RtOAP中，|OP|OA|cosPOA，6cos.圆的极坐标方程为6cos.62解析