高中数学 第四章 导数应用 4.1 函数的单调性与极值 4.1.2.2 利用导数求解含参数的函数极值问题课件 北师大版选修11.ppt

4 1 2 2利用导数求解含参数的函数极值问题 1 会解含参数的函数的极值 2 会利用导数根据函数的极值求有关参数 1 判断含参数的函数y f x 在区间 m n 内是否有极值的步骤 1 求f x 的导数 2 令f x 0 求出f x 0的根 3 判断f x 0在区间 m n 内是否有根 若无根 则函数无极值 若有根 要判断根两侧导数的符号 异号有极值 同号无极值 2 求极值时应注意的事项 1 要注意运用分类讨论思想和数形结合思想 2 区间内的单调函数没有极值 3 导数为0的点不一定是极值点 做一做1 已知f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为 a 12d a6解析 f x 3x2 2ax a 6 且该函数有极大值和极小值 方程f x 3x2 2ax a 6 0有两个不相等的实数根 0 即 2a 2 4 3 a 6 0 解得a6 答案 d 做一做2 设函数f x 6x3 3 a 2 x2 2ax 若f x 的两个极值点为x1 x2 且x1x2 1 则实数a的值为 解析 f x 18x2 6 a 2 x 2a 且f x1 f x2 0 a 9 答案 9 题型一 题型二 题型三 求含参数的函数的极值 例1 1 设f x x3 3ax a 0 求函数f x 的单调区间与极值点 2 求函数f x x3 3x2 2在 a 1 a 1 内的极值 a 0 分析 1 求单调区间时 注意对参数a的讨论 以便确定f x 的符号 2 求出f x 在r上的单调区间 判断区间 a 1 a 1 与f x 单调区间的关系 分类讨论求解 题型一 题型二 题型三 2 由f x x3 3x2 2得f x 3x x 2 令f x 0 得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由表可得 当0 a 1时 f x 在 a 1 a 1 内有极大值f 0 2 无极小值 当a 1时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 当1 a 3时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当0 a 1时 f x 有极大值 2 无极小值 当1 a 3时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 1或a 3时 f x 无极值 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思1 对于可导函数而言 它的递减区间和递增区间的分界点应是其导数符号正负交替的分界点 解题时 按照求函数极值的步骤来解 要注意表格的作用 利用表格 可使极值点两边的增减性一目了然 便于求极值 2 如果含有参数 必要时要对参数的取值进行讨论 通常有三类 一类是对f x 0是否有解进行讨论 二是对f x 0的根是否在所给区间或定义域内进行讨论 三是对f x 0在所给区间或定义域内的根大小进行讨论 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 求参数的范围 题型一 题型二 题型三 反思对于可导函数 极值点的导数为0 但导数为0的点不一定是极值点 因此已知函数极值点 求某些参变量的值或范围时 应验证函数是否能取到极值 题型一 题型二 题型三 变式训练2 函数f x ax3 x2 x 5无极值点 则实数a的取值范围是 解析 f x 3ax2 2x 1 f x 无极值点 f x 无变号零点 题型一 题型二 题型三 易错辨析易错点不理解f x0 0与函数在点x0取得极值的关系而致误 例3 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1处有极值0 求常数a b的值 错因分析 根据极值定义 函数先减后增有极小值 函数先增后减有极大值 此题未验证x 1两侧函数的单调性 故求错 题型一 题型二 题型三 正解 因为f x 在x 1处有极值0 当a 1 b 3时f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 所以f x 在r上是增加的 无极值 故舍去 当a 2 b 9时 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 当x 3 1 时 f x 为减少的 当x 1 时 f x 为增加的 所以f x 在x 1处取得极小值 因此a 2 b 9 1 2 3 4 5 解析 y ex a 函数有极值点 则令ex a 0 得a ex 又x 0 则ex 1 故a 1 答案 a 1 2 3 4 5 2 对任意的x r 函数f x x3 ax2 7ax不存在极值点的充要条件是 a 0 a 21b a 0或a 7c a21d a 0或a 21解析 f x 3x2 2ax 7a 且f x 不存在极值点 4a2 84a 0 即当0 a 21时 f x 0恒成立 此时函数f x 不存在极值点 答案 a 1 2 3 4 5 答案 a 1 2 3 4 5 答案 13 1 2 3 4 5 5 已知f x x2 bx c为偶函