从一道竞赛题谈导数在高中数学中的应用.pdf

4 4 重庆 数学教学通讯 2 0 0 5 年3 月 上半月 总第2 2 0 期 从 一 道 竞赛 题 谈 导 数 在 高 中数 学 中的应 用 华中师范大学2 0 0 3 级教育硕士4 3 0 0 7 9 卢三国 2 0 0 4 年全国高中数学联赛一试第1 5 题 最 后一题 已知口 是方程4 z 一4 t x一1 0 R 的 两 个 不 等 实 根 ii f z 一 警 的 定义域为 口 用 1 求 g 一 m a x f x 一 mi n f x 此问关键是要明确在区间 口 上的单调 性 若用单调性定义的方法就比较繁琐 参考答 案的方法 设 口 z 1 2 x 1 z 2 所以 4 x x 1 一4 t x 1 z 2 一2 4 2 x 1 z 2 4 t z 1 z 2 一 2 所以2 x 1 X 2 一t x 1 X 2 一 t z 1 z 2 一 2 x 1 z 2 砉 0 所以 f x f x 所以厂 z 在 口 上递增 所以g 一ma x f x 一mi n f x 一f f1 f 等辱 因 为口 p t 口 p 一 一 所以 g 8 t 2 l 2 t 2 5 但若应用导数知识求解 过程就大为简化 因为 尸 z 一 令 z 一 一t x一 1一 z 2一 t x 1 一 号 又 口 p 一 口 p 一 一 专 所 以 z 一 z 一 口 p z 口 p 一 号 一 z 一 口 z p 一 号 又X 口 J9 所以 z一口 z J9 0 所 以 z 一 号 0 所以厂 z 在 a 上递 增 用导数处理这一问题 其过程很灵活 方法 很 多 又 如 尸 z 一 二 宅 因为 z 口 由已知 4 z 一 4 t x一 1 0 所 以 z 一 t x 一 寺 0 所 以 z 一 t x 一 1 号 0 所 以 z 一 t x 一 1 一 号 0 另外还可将a p具体求出 只须令尸 z 0 得 z2一 t x 一 0 z 由已知 口 p是方程 4 x 一4 t x一 1 0 两 根 口 t z t 2 t 4 p一 0 这些方法十分灵活 但均建立在导数与函 数增减性关系的基础之上 充分利用这种关系 可优化老教材中的很多问题 再如 2 0 0 0 年全国 高考理科第 1 9 题 设函数 厂 z 一 干 1 f a X 其中口 1 求 口的取值范围使函数 厂 z 在区间 O o o 上是单调函数 不用单调性定义 而用导数方法 因 为 尸 赢 X 一 口 o 十 l 令 0 即 赢 而 O 1 x 1 所以当口 1 时 尸 z o 且 口 o 当口 V T l 1 左边不等式恒不成立 当0 口 1 左边不 等式不恒成立 综上 当口 1 o o 厂 z 在 O o o 递减 由于导数与函数单调性密切联系 对函数 单调性的讨论不仅限于定义方法 实际上导数 方法更简化 更灵活 不仅如此 把这种方法归 纳为一种数字意识 可以使求导方法在高中数 学 中有着更为广泛地运用 以下主要谈四个方 面的运用 1 利用导数证明不等式 例 1 2 0 0 1 年全国高考理科 2 O 题 已知 l z 是正整数 1 l 1 z 要证此不等式 只须证明 1 1 1 z 令 厂 z 一 1 z X N 因为尸 z 一 1 z h 可 令 l n 1 z 所以尸 一 zl P 扣 一 刍 n 1 z 南 一 1 z 一 一 1 删 n 1 训 令 z 一X一 1 x l n 1 z 当X 2 时I n 1 z 1 显然 z 0 所以 尸 z 0 所以 厂 在X 2 是减函数 因为 1 l 厂 z 即证 这种导数运用 需要学生头脑中要有导数 运用意识 将不等式进行等价转化 使之形成函 数 的两处取值 然后利用导数与函数单调性的 关系求解 2 利用导数求直线方程 例 2 2 0 0 4 年高考湖北卷 理科第 1 题 与直线2 z Y 4 0 平行的抛物线y X 的 切线方程是 A 2 x Y 3 0 B 2 x Y一 3 0 C 2 x Y 1 0 D 2 x Y一 1 0 根据导数的几何意义知 抛物线上每一点 的切线斜率即为Y 一 2 x 由已知 Y 一是 2 所以X 1 即切点 1 1 故所求切线方程 Y一1 2 一 1 即 2 z Y一1 0 这样处理可简化在老教材中利用 0 解决的方法 也许正因为可以这样处理 命题者才有意识地将此题的位置放在第一题 处 3 利用导数求函数的最值 实际上这也是本文一开始笔者谈到的内 容 这里强调的是老教材中许多求最值的问题 可用导数来解决 特别是执教多年的老教师更 应多多对比 以增强导数的运用意识 比如老教 材有一道习题 求函数 Y X一 可的最大值 维普资讯 4 6 重庆 数学教学通讯 2 0 0 5 年3 月 上半月 总第2 2 0 期 因为函数的定义域 一o o 一1 U 1 o o 当z 一 1 时Y0 则只须讨论z 1 o o 因 为 一 一 高 z V 一 1 因为z z 一1 当z 1 时Y 0 所以z 1 o o 函数Y 是递减函数 带 上端点 所以Y 1一 1 一 1 1 所以 1 4 利用导数辅助作图 对 3 中函数作图 作Y z一 二 的 图形 当z 1 o o Y 0 即Y 在 一o o 一 1 递减且 Y 一 o o 一 1 过点 一 1 一 1 又 z一 二 z 所以函数Y的图像总在 z的下方 例 3 作函数Y一3 x z 的图像 如图1 y 1 7 1 0 1 一 一 l 一 1 o 1 图 1 因为 Y 3 3 令Y 0 所以z 一 1 或 1 数 当z 1 时 Y 0 Y递减 当 一1 z 0 Y递增且过点 O O 新教材没有介绍Y 的几何意义 不然作图 时更精确 5 利用导数解决函数方程综合问题 导数为研究函数性质提供了强有力的工 具 尤其是对函数单调性能进行透彻的分析 并 使其过程简化 直观 例4 2 0 0 4 年上海高考 理工第 2 O 题 已 知 厂 z 一z o 证明当n 3 时 关于z的 工 方程 厂 z 厂 n 有 3 个实数解 分析 如图 2 令 Y f a 可视为常数 则问题 转化为判断两函数图像Y一 z Y 口 的交点个 数 因为 尸 z 2 x一 由尸 z 0 得z 汀 一 一 1 0 a 图 2 则当z 一O o O z 0 厂 z 0即厂 z 在此区间上为增函 数 因为 n 3 所以 n 厂 3 一1 1 要 3 o 从式子知 z一 0 一 z 一一O o z 0 z 则Y轴为其渐近线 从图像可知 Y f a 与Y 厂 z 必有 3 个交点 6 利用导数解决实际应用问题 例 5 2 0 0 4 年福建高考 理工第1 6 题 如 图3 将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切 去一个全等四边形 再沿虚线折起 做成一个无 盖的正六棱柱容器 当这个正六棱柱容器的底 面边长为 时 其容积最大 维普资讯 数学教学通讯 2 0 0 5 年 3 月 上半月 总第 2 2 0 期 重庆 4 7 也谈一不等式赛题的形数沟通 江苏省南通师范学校 2 2 6 0 0 6 曹建全 题 1 第 1 5 届全俄数学竞赛题 若 z Y z O 1 则z 1一 1一 z 1 一 z 1 题 1曾先后以不同形式出现在欧洲一些国 家的竞赛题之中 如 题 2 1 9 8 1 年第 2 1 届全苏数学竞赛题 正数a 6 c A B C满足a A b B c C k 求证 a B b C c A k 题 3 1 9 9 0 年匈牙利数学竞赛试题 为 正数a b c 中最大的 求证 a 一6 b d c c a d 综观大量报刊杂志和有关解题 书籍 对 以上三题的解法都不外乎通过构造正三角形或 正方形给出几何证明 并由此给出相应的纯代 数证明 笔者近期对以上三赛题进行了一番研 究 觉得我们对于不等式 的认识还有待 进一步加深 比如 我们能否给出更为直观的几 何证明 既然不等式 均是严格不等式 那么它们的左边和右边到底相差多少 有没有 更为自 然的代数证明 等等 本文试图对这些问 题作出回答 由于题 1 题 2和题 3 本质完全相 同 所以本文仅以题 1 为例进行阐述 1 一个几何证明 证明 1 如图 1 设正方体 A C 的棱长为 1 在过顶点 的三条棱 A B 1 A D 上分别取点 E 2 G 记 E z 2 一 Y A G z 则 z Y z O 1 且 EB 1 一 z 1 1 一 Y G D 1 一z 再过E作 平面E F 平行于平面 A D 图1 过 作平面 C 平行于平面A C 过G作平面 G H 平行于平面A B 分析 设正六棱柱容器 的底面边长为a 财 容 器 6 竿口 z 孚 1 口 一 9 2 一 9 口 s O a 1 图3 则 V 号 口 一 令 V 0 得 口 导 或 口 o 不 合 题 意 舍 去 由0 口 0 口 0 U u 所 以 口 罢 时 V 最 大 此例涉及