高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.1 椭圆的简单几何性质课件 新人教A版选修11.ppt

2 1 2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质 主题1椭圆的范围 对称性 顶点1 观察下列图形 回答以下几个问题 1 已知椭圆方程讨论椭圆性质时 首先要关注椭圆的方程要满足什么形式 提示 先看椭圆方程是否是标准形式 若不是标准形式要先化成标准形式 2 观察椭圆 1 a b 0 的形状 你能从图上看出横坐标x 纵坐标y的范围吗 提示 由得 a x a b y b 2 观察焦点分别在x轴和y轴的两椭圆 探究下列问题 明确椭圆的几何特征 1 对比焦点分别在x轴和y轴的两椭圆的图形 长轴 短轴有何不同点与相同点 提示 相同点 两图长轴长与短轴长分别相等 不同点 长轴与短轴所在位置不同 2 椭圆中心与焦点 对称轴间有哪些关系 提示 椭圆的中心是焦点连线的中点 对称轴是焦点连线所在直线及其中垂线 3 若要画一个椭圆的草图 需先确定哪些量才能画出椭圆草图 提示 首先确定椭圆的范围 可利用椭圆的四个顶点及焦点位置用弧线画出椭圆的草图 结论 椭圆的简单几何性质 a x a且 b y b b x b且 a y a a1 a 0 a2 a 0 b1 0 b b2 0 b a1 0 a a2 0 a b1 b 0 b2 b 0 2b 2a 2c 坐标轴 原点 微思考 在椭圆的上述性质中 哪些是与位置无关的 哪些是与位置有关的 提示 与位置无关的 如长轴长 短轴长 焦距 与位置有关的 如顶点坐标 焦点坐标等 主题2椭圆的离心率观察不同的椭圆 我们会发现 椭圆的扁平程度不一 对于椭圆 1 a b 0 其扁平程度取决于什么 提示 椭圆的扁平程度 在长轴长不变的前提下 取决于两焦点离开中心的程度 即离开中心越远 椭圆越扁 反之 越圆 结论 椭圆的离心率 1 定义 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的 2 性质 离心率e的范围是 当e越接近1时 椭圆 当e越接近于 时 椭圆就越接近于圆 离心率 0 1 越扁 0 微思考 能否用a和b表示椭圆的离心率e 提示 可以 由于e 又c 故e 预习自测 1 椭圆 1的长轴长为 a 81b 9c 18d 45 解析 选c 由标准方程知a 9 故长轴长2a 18 2 椭圆具有相同的 a 顶点b 离心率c 长轴d 短轴 解析 选b 椭圆 1的离心率e1 椭圆的离心率e2 3 椭圆 1 a b 0 的左 右顶点分别是a b 左 右焦点分别是f1 f2 若 af1 f1f2 f1b 成等比数列 则此椭圆的离心率为 解析 选b 因为 af1 a c f1b a c f1f2 2c 又 af1 f1f2 f1b 成等比数列 所以 f1f2 2 af1 f1b 即4c2 a c a c 从而a2 5c2 所以e2 所以e 4 已知椭圆中心在原点 一个焦点为f 2 0 且长轴长是短轴长的2倍 则该椭圆的标准方程是 解析 已知答案 类型一椭圆的简单几何性质 典例1 1 2017 温州高二检测 平面内有一长度为4的线段ab 动点p满足 pa pb 6 则 pa 的取值范围是 a 1 5 b 1 6 c 2 5 d 2 6 2 若点o和点f分别为椭圆 1的中心和左焦点 点p为椭圆上的任意一点 则的最大值为 解题指南 1 由已知可得动点p的轨迹为椭圆 根据椭圆的几何性质可求解 2 设p x0 y0 利用数量积的坐标运算 结合椭圆的范围解出 解析 1 选a 由题意知点p的轨迹是以a b为焦点的椭圆 所以当点p与a是同侧顶点时 pa 的最小值是3 2 1 当点p是与a异侧的顶点时 pa 的最大值是3 2 5 2 由题意 f 1 0 设点p x0 y0 则有解得因为 x0 1 y0 x0 y0 所以此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0 2 因为 2 x0 2 所以当x0 2时 取得最大值 2 3 6 答案 6 方法总结 椭圆几何性质的四个作用 1 椭圆的焦点决定椭圆的位置 2 椭圆的顶点决定椭圆的大小 3 椭圆的离心率决定了椭圆的扁平程度 4 对称性是椭圆的重要特征 顶点是椭圆与对称轴的交点 是椭圆重要的特殊点 若已知椭圆的标准方程 则根据a b的值可确定其性质 巩固训练 已知椭圆 1与椭圆 1有相同的长轴 椭圆 1的短轴长与椭圆 1的短轴长相等 则 a a2 25 b2 16b a2 9 b2 25c a2 25 b2 9或a2 9 b2 25d a2 25 b2 9 解析 选d 利用待定系数法 因为椭圆 1的长轴长为10 焦点在x轴上 椭圆 1的短轴长为6 所以a2 25 b2 9 补偿训练 已知椭圆c y2 1的两焦点为f1 f2 点p x0 y0 满足0 1 则 pf1 pf2 的取值范围为 解析 由于0 1 所以点p x0 y0 在椭圆 y2 1内部 且不能与原点重合 根据椭圆的定义和几何性质知 pf1 pf2 2a 2 且 pf1 pf2 的最小值为点p落在线段f1f2上 此时 pf1 pf2 2 故 pf1 pf2 的取值范围是 2 2 答案 2 2 类型二利用几何性质求椭圆的标准方程 典例2 中心在原点 焦点在x轴上 若长轴长为18 且两个焦点恰好将长轴三等分 求此椭圆的方程 解题指南 根据已知条件 确定椭圆的基本量a b c 再确定椭圆方程 解析 由已知得2a 18 2c 6 所以a 9 c 3 从而b2 a2 c2 72 又焦点在x轴上 所以所求椭圆的方程为 延伸探究 典例中去掉条件 焦点在x轴上 椭圆的方程应该是什么 解析 因为焦点位置还可能在y轴上 所以椭圆方程有两个 分别是 方法总结 利用性质求椭圆方程的方法与步骤 1 方法 利用椭圆的几何性质求标准方程 通常采用待定系数法 2 步骤 确定焦点位置 根据已知条件构造关于参数的关系式 利用方程 组 求得参数 巩固训练 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 长轴长是短轴长的2倍 且过点 2 6 2 在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直 且焦距为6 解析 1 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 或 1 a b 0 由已知a 2b 且椭圆过点 2 6 从而有由 得a2 148 b2 37或a2 52 b2 13 故所求的椭圆的标准方程为 2 由题意 得 a1fa2为等腰直角三角形 of为斜边a1a2的中线 高 且of c a1a2 2b 所以c b 3 所以a2 b2 c2 18 故所求椭圆的标准方程为 补偿训练 求适合下列条件的椭圆方程 1 经过点a 2 3 对称轴为坐标轴 焦点f1 f2在x轴上 离心率为 2 对称轴为坐标轴 经过点p 6 0 和q 0 8 解析 1 由题意 设椭圆方程为 1 a b 0 由e 得 a 2c b2 3c2 所以 1 又a 2 3 在 上 故c2 4 所以 1即为所求 2 由椭圆的几何性质可知 椭圆的长轴 短轴分别在y轴和x轴上 且a 8 b 6 所以所求标准方程为 类型三椭圆的离心率的求法及应用 典例3 1 2016 全国卷 已知o为坐标原点 f是椭圆c 1 a b 0 的左焦点 a b分别为c的左 右顶点 p为c上一点 且pf x轴 过点a的直线l与线段pf交于点m 与y轴交于点e 若直线bm经过oe的中点 则c的离心率为 2 从椭圆 1 a b 0 上一点p向x轴作垂线 垂足恰为左焦点f1 a是椭圆与x轴正半轴的交点 b是椭圆与y轴正半轴的交点 且ab op o是坐标原点 求该椭圆的离心率 解题指南 1 点m是直线ae和直线bm的交点 点m的横坐标和左焦点相同 进而找到a b c的联系 2 利用ab op建立关于a b c的齐次等式求解 解析 1 选a 由题意可知直线ae的斜率存在 设为k 直线ae的方程为y k x a 令x 0可得点e坐标为 0 ka 所以oe的中点h坐标为又右顶点b a 0 所以可得直线bm的斜率为 可设其方程为y x a 联立可得点m横坐标为 又点m的横坐标和左焦点相同 所以 c 所以e 2 由题意设p c y0 将p c y0 代入得 1 则所以y0 或y0 舍去 所以所以kop 因为a a 0 b 0 b 所以kab 又因为ab op 所以kab kop 所以所以b c 所以 方法总结 求椭圆的离心率的两种常见思路一是先求a c 再计算e 二是依据条件中的关系 结合有关知识和a b c的关系 构造关于e的方程 再求解 注意e的范围 0 e 1 拓展延伸 1 焦半径公式 设p x0 y0 为椭圆方程 1 a b 0 上任意一点 左 右两焦点分别为f1 f2 则 pf1 a ex0 pf2 a ex0 2 椭圆的第二定义 当点m与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e 0 e 1 时 这个点的轨迹是椭圆 定点是椭圆的焦点 定直线叫做椭圆的准线 常数e是椭圆的离心率 对于椭圆 a b 0 对应焦点f c 0 的准线方程是x 根据对称性 对应焦点f c 0 的准线方程是x 对于椭圆 1的准线方程是可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比 这就是离心率的几何意义 巩固训练 过椭圆 1 a b 0 的左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于点p f2为右焦点 若 f1pf2 60 则椭圆的离心率为 解析 选b 方法一 将x c代入椭圆方程可解得点p 故 pf1 又在rt f1pf2中 f1pf2 60 所以 pf2 根据椭圆定义得 2a 从而可得e 方法二 设 f1f2 2c 则在rt f1pf2中 pf1 c p