江西省赣州市高二数学下学期期末试卷 理（含解析）.doc

江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）a+ibic+idi2（5分）用数学归纳法证明某命题时，左式为+cos+cos3+cos（2n1）（k，kz，nn*）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）ab+cosc+cos+cos3d+cos+cos3+cos53（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生251035女生51015合计302050根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）参考数据：临界值表：p（2k）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828a97.5%b99%c99.5%d99.9%4（5分）设随机变量服从正态分布n（3，4），若p（2a3）=p（a+2），则a的值为（）abc5d35（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02设发病的牛的头数为，则d等于（）a0.2b0.8c0.196d0.8046（5分）由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）ab4cd67（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）a40个b36个c28个d60个8（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x3围成的平面图形的面积为（）abc64d329（5分）设，那么的值为（）abcd110（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=（）aeb1c1de11（5分）将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b则使不等式a2b+100成立的事件发生的概率等于（）abcd12（5分）下列命题中若f（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；直线5x2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；若zc（c为复数集），且|z+22i|=1，则|z22i|的最小值是3；定积分dx=4正确的有（）abcd二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13（5分）复数在复平面中的第象限14（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有种（用数字作答）15（5分）如图所示，efgh是以o为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用a表示事件“豆子落在正方形efgh内”，b表示事件“豆子落在扇形ohe（阴影部分）内”，则p（b|a）=16（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x（0，2）时，f（x）=lnxax（a），当x（2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线c1： （t为参数），c2：（为参数）（）化c1，c2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若c1上的点p对应的参数为t=，q为c2上的动点，求pq中点m到直线c3：（cos2sin）=7距离的最小值18（12分）已知函数f（x）=x3+x16（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标19（12分）给出四个等式：1=1；14=（1+2）；14+9=1+2+3；14+916=（1+2+3+4）猜测第n（nn*）个等式，并用数学归纳法证明20（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123pxy（）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望e21（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排序是：72、77、80、84、88、90、93、95（）如果按性别比例分层抽样，男女同学分别抽取多少人？（）若这8位同学的数学、物理分数对应如下表：学生编号12345678数学分数x6065707580859095物理分数y7277808488909395根据上表数据用变量y与x的相关系数或散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性？如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）；如果不具有线性相关性，请说明理由参考公式：相关系数；回归直线的方程是：=bx+a其中对应的回归估计值b=，a=b；参考数据：=77.5，=85，（x1）21050，（y1）2456；（x1）（y1）688，32.4，21.4，23.522（12分）已知函数f（x）=x2alnx+（ar）（）求函数f（x）单调区间；（）若a=1，求证：当x1时，f（x）x3江西省赣州市2014-2015学年高二下学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上.1（5分）已知i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，则z的共轭复数=（）a+ibic+idi考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的除法运算法则化简求解即可解答：解：i为虚数单位，（2+i）z=1+2i，可得z=+iz的共轭复数=i故选：b点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的定义，基本知识的考查2（5分）用数学归纳法证明某命题时，左式为+cos+cos3+cos（2n1）（k，kz，nn*）在验证n=1时，左边所得的代数式为（）ab+cosc+cos+cos3d+cos+cos3+cos5考点：数学归纳法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：在验证n=1时，令左边n=1可得：所得的代数式为：解答：解：由于左式为+cos+cos3+cos（2n1）（k，kz，nn*），因此在验证n=1时，左边所得的代数式为：故选：b点评：本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力，属于基础题3（5分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生251035女生51015合计302050根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是（）参考数据：临界值表：p（2k）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828a97.5%b99%c99.5%d99.9%考点：线性回归方程 分析：根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到结论解答：解：根据所给的列联表，得到2=6.3495.024，对照临界值表可知有97.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关故选：a点评：本题考查独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个基础题4（5分）设随机变量服从正态分布n（3，4），若p（2a3）=p（a+2），则a的值为（）abc5d3考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 专题：计算题分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可解答：解：随机变量服从正态分布n（3，4），p（2a3）=p（a+2），2a3与a+2关于x=3对称，2a3+a+2=6，3a=7，a=，故选a点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题主要考查曲线关于x=3对称，考查关于直线对称的点的特点，本题是一个基础题，若出现是一个得分题目5（5分）一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02设发病的牛的头数为，则d等于（）a0.2b0.8c0.196d0.804考点：离散型随机变量的期望与方差 分析：把每个牛是否得病作为一个实验，牛发病的概率是0.02，且牛是否发病相互之间没有影响，得到发病的牛的头数为服从二项分布，根据方差的公式d=npq，得到结果解答：解：由题意知该病的发病率为0.02，且每次实验结果都是相互独立的，b（10，0.02），由二项分布的方差公式得到d=100.020.98=0.196故选c点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单得多6（5分）由曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为（）ab4cd6考点：定积分在求面积中的应用 专题：计算题分析：利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=，直线y=x2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解解答：解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x2及y轴所围成的图形的面积为：s=故选c点评：本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题7（5分）从0，1，2，3，4，5共6个数中任取三个组成的无重复数字的三位数，其中能被5整除的有（）a40个b36个c28个d60个考点：排列、组合及简单计数问题 专题：排列组合分析：由题意知能被5整除的三位数末位必为0或5当末位是0时，没有问题，但当末位是5时，注意0不能放在第一位，所以要分类解决，末位为0的三位数其首次两位从15的5个数中任取2个排列末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，再挑十位，相加得到结果解答：解：其中能被5整除的三位数末位必为0或5末位为0的三位数其首次两位从15的5个数中任取2个排列而成方法数为a52=20，末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有c41种挑法，再挑十位，还有c41种挑法，合要求的数有c41c41=16种共有20+16=36个合要求的数，故选：b点评：本题考查排列组合、计数原理，是一个综合题，本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制8（5分）由抛物线y2=4x与直线y=x3围成的平面图形的面积为（）abc64d32考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：由题设条件，需要先求出抛物线y2=2x与直线y=4x的交点坐标，积分时可以以x作为积分变量，也可以y作为积分变量，故本题法一以x为积分变量，法2以y作为积分变量分别计算出两曲线所围成的图形的面解答：解：联立方程组，得，y1=2，y2=6，抛物线y2=4x与直线y=x3所围成的平面图形的面积，s=（y2+3y）|=；故选：a点评：本题考查定积分，解答本题关键是确定积分变量与积分区间，有些类型的题积分时选择不同的积分变量，故求解时 要注意恰当地选择积分变量达到简单解题的目的9（5分）设，那么的值为（）abcd1考点：二项式定理 专题：计算题分析：令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=1可得 a0a1+a2a3+a4a5=35解得 a0+a2+a4 和 a1+a3 的值，即可求得要求式子的值解答：解：令x=1，可得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，再令x=1可得 a0a1+a2a3+a4a5=35两式相加除以2求得 a0+a2+a4=122，两式相减除以2可得 a1+a3=121，故=，故选a点评：本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题10（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+lnx，则f（1）=（）aeb1c1de考点：导数的乘法与除法法则；导数的加法与减法法则 专题：计算题分析：已知函数f（x）的导函数为f（x），利用求导公式对f（x）进行求导，再把x=1代入，即可求解；解答：解：函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=2xf（1）+ln x，（x0）f（x）=2f（1）+，把x=1代入f（x）可得f（1）=2f（1）+1，解得f（1）=1，故选b；点评：此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f（x）进行正确求导，把f（1）看成一个常数，就比较简单了；11（5分）将号码分别为1、2、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b则使不等式a2b+100成立的事件发生的概率等于（）abcd考点：等可能事件的概率 专题：计算题分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有99种结果，满足条件的事件是使不等式a2b+100成立的，即2ba10，列举出当当b=1，2，3，4，5，6，7，8，9时的所有的结果，得到概率解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是两次分别从袋中摸球，共有99=81种结果，满足条件的事件是使不等式a2b+100成立的，即2ba10当b=1，2，3，4，5时，a有9种结果，共有45种结果，当b=6时，a有7种结果当b=7时，a有5种结果当b=8时，a有3种结果当b=9时，a有1种结果共有45+7+5+3+1=61种结果所求的概率是故选d点评：本题考查等可能事件的概率，在解题的过程中注意列举出所有的满足条件的事件数时，因为包含的情况比较多，又是一个数字问题，注意做到不重不漏12（5分）下列命题中若f（x0）=0，则函数y=f（x）在x=x0取得极值；直线5x2y+1=0与函数f（x）=sin（2x+）的图象不相切；若zc（c为复数集），且|z+22i|=1，则|z22i|的最小值是3；定积分dx=4正确的有（）abcd考点：命题的真假判断与应用 专题：综合题；推理和证明分析：若f（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值判断即可；求出导数f（x），由切线的斜率等于f（x0），根据三角函数的值域加以判断即可；|z+22i|=1表示圆，|z22i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；令y=，则x2+y2=16（y0），点（x，y）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的解答：解：若f（x0）=0，且在x=x0的左右附近导数的符号改变，则函数y=f（x）在x=x0取得极值，故不正确；若直线与函数的图象相切，则f（x0）=2.5，即2cos（2x0+）=2.5，显然x0不存在，故正确；|z+22i|=1的几何意义是以a（2，2）为圆心，半径为1的圆，|z22i|的几何意义是圆上一点到点b（2，2）的距离，连接ab并延长，显然最小值为ab1=41=3，故正确；令y=，则x2+y2=16（y0），点（x，y）的轨迹表示半圆，定积分dx表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的，故定积分dx=42=4，故正确故选：d点评：本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道中档题二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分，答案填写在答题卷上.13（5分）复数在复平面中的第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：数系的扩充和复数分析：化简复数为a+bi的形式，然后判断即可解答：解：复数=即复数对应点为：（）在第四象限故答案为：四点评：本题考查复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，考查计算能力14（5分）有5名数学实习老师，现将他们分配到2014-2015学年高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有90种（用数字作答）考点：计数原理的应用 专题：计算题；排列组合分析：根据题意，先把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案解答：解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班，共有a33=90种不同的分配方案，故答案为：90点评：本题考查排列、组合的综合运用，注意此类题目一般顺序为先组合、再排列15（5分）如图所示，efgh是以o为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用a表示事件“豆子落在正方形efgh内”，b表示事件“豆子落在扇形ohe（阴影部分）内”，则p（b|a）=考点：条件概率与独立事件 专题：计算题；概率与统计分析：根据几何概型计算公式，分别算出p（ab）与p（a），再由条件概率计算公式即可算出p（b|a）的值解答：解：根据题意，得p（ab）=p（a）=p（b|a）=故答案为：点评：本题给出圆内接正方形，求条件概率p（b|a），着重考查了几何概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题16（5分）已知y=f（x）是奇函数，当x（0，2）时，f（x）=lnxax（a），当x（2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于1考点：奇偶性与单调性的综合 专题：综合题；函数的性质及应用分析：根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为1，求导函数，确定函数的单调性，求出最值，即可求得a的值解答：解：f（x）是奇函数，x（2，0）时，f（x）的最小值为1，f（x）在（0，2）上的最大值为1，当x（0，2）时，f（x）=a，令f（x）=0得x=，又a，02，令f（x）0，则x，f（x）在（0，）上递增；令f（x）0，则x，f（x）在（，2）上递减，f（x）max=f（）=lna=1，ln=0，得a=1故答案为：1点评：本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系已知曲线c1： （t为参数），c2：（为参数）（）化c1，c2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（）若c1上的点p对应的参数为t=，q为c2上的动点，求pq中点m到直线c3：（cos2sin）=7距离的最小值考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：（）曲线c1： （t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；c2：（为参数），利用cos2+sin2=1化为普通方程（）当t=时，p（4，4），q（8cos，3sin），故m，直线c3：（cos2sin）=7化为x2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出解答：解：（）曲线c1： （t为参数），化为（x+4）2+（y3）2=1，c1为圆心是（4，3），半径是1的圆c2：（为参数），化为c2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆（）当t=时，p（4，4），q（8cos，3sin），故m，直线c3：（cos2sin）=7化为x2y=7，m到c3的距离d=|5sin（+）+13|，从而当cossin=，sin=时，d取得最小值点评：本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）已知函数f（x）=x3+x16（1）求曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程；（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：（1）求出原函数的导函数，得到函数在x=2时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，则直线方程与切点坐标可求解答：解：（1）由f（x）=x3+x16，得f（x）=3x2+1，f（2）=322+1=13，曲线y=f（x）在点（2，6）处的切线方程为y6=13（x2），即13xy20=0；（2）设切点为（），切线方程为，切线经过原点，x0=2则f（2）=13，所求的切线方程为y=13x；切点为（2，26）点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是区分切线所经过的点是否为切点，是中档题19（12分）给出四个等式：1=1；14=（1+2）；14+9=1+2+3；14+916=（1+2+3+4）猜测第n（nn*）个等式，并用数学归纳法证明考点：数学归纳法；归纳推理 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：由已知猜测：第n（nn*）个等式为：122+3242+（1）n1n2=（1）n1（1+2+n）=（1）n1利用数学归纳法证明即可解答：解：1=1；14=（1+2）；14+9=1+2+3；14+916=（1+2+3+4）猜测第n（nn*）个等式为：122+3242+（1）n1n2=（1）n1（1+2+n）=（1）n1下面利用数学归纳法证明：（1）当n=1时，1=1，成立；（2）假设当n=k（kn*）时，等式122+3242+（1）k1k2=成立则当n=k+1时，左边=122+3242+（1）k1k2+（1）k（k+1）2=+（1）k（k+1）2=（1）k=（1）k=右边，当n=k+1时，等式成立综上可得：第n（nn*）个等式为：122+3242+（1）n1n2=（1）n1（1+2+n）=（1）n1成立点评：本题考查了数学归纳法应用，考查了观察分析猜想归纳能力与计算能力，属于中档题20（12分）某同学参加高校自主招生3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（pq），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123pxy（）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望e考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（）用ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3由题意得p（a1）=，p（）=，由此能求出该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率从而能够求出p，q的值（）由题设知的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能够求出数学期望e解答：解：用ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3由题意得得p（a1）=，p（）=，（）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为p=1p（）=1=p（）=（1p（a1）（1p（a2）（1p（a3）=（1p）（1q）=及p（a1a2a3）=p（a1）p（a2）p（a3）=pq=得p=，q=（）由题设知的可能取值为0，1，2，3，p（=0）=，p（=1）=+=，p（=2）=+=，0123pie（）=0+1+2+3=该生取得优秀成绩的课程门数的期望为点评：本题考查离散随机变量的概率分布列和数学期望，是历年2015届高考的必考题型之一解题时要认真审题，注意排列组合知识和概率知识的灵活运用21（12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析随机抽出8位，他们的数学分数从小到大排序是：60、65、70、