考研数学求极限方法小结.pdf

一 求极限方法小结一 求极限方法小结 极限是整个微积分的基础 要理解微积分 首先要很好地理解极限的概念 有多种求极限的方法 究竟该用哪种方法求极限 关键是要判断极限属于哪一种类型 1 1 1 1 知识要点知识要点 1 利用极限的定义求极限 2 利用极限运算法则求极限 3 利用不等式求极限 4 利用变量代换法求极限 5 利用两个重要极限求极限 6 利用单调有界准则求极限 7 利用函数的连续性求极限 8 利用等价无穷小代换求极限 9 利用单侧极限求极限 10 利用罗必达法则求极限 11 利用导数定义求极限 12 利用定积分定义求极限 13 利用Taylor公式求极限 2 2 2 2 典型例子 典型例子 例例 1 1 1 1 设 1 2 1 2 2 1 1 21 n n x x x xx 求证 n n x lim存在 并求其值 21 答案 例例 2 2 2 2 求 求 nnnn n222 1 2 1 1 1 lim 答案 答案 1 1 1 1 例例 3 3 3 3 求 求 n n n nn n 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 lim 答案 答案 1 1 1 1 例例 4 4 4 4 求 求 n n n 2642 12 531 lim 答案 答案 0 0 0 0 例例 5 5 5 5 求 求 x xx x 1 1lnlim 2 答案 答案 2 1 例例 6 6 6 6 x x xcoslim 0 答案 答案 2 1 e 例例 7 7 7 7 求常数c 使dtte cx cx c t x x 2 lim 2 5 c 例例 8 8 8 8 已知 1 1 1 1 1 1 1 1 1 21 n n n x x x x x xx 证明数列 n x收敛 并求出 此数列的极限 2 51 例例 9 9 9 9 设 0 3 1 3 0 10 n x x xx n n n 求 n n x lim 答案 答案 3 例例 10101010 求 求 1 tan1tan1 lim 0 x x e xx 答案 答案 1 1 1 1 例例 11111111 求 求 xx xxxx x cossec 1ln 1ln lim 22 0 答案 答案 1 1 1 1 例例 12121212 x x e e x x x sin 1 2 lim 4 1 0 答案 答案 1 1 1 1 例例 13131313 设设xxxgtdtxf x 67 0 2 sin tan 2 证明 当0 x时 xf与 xg是 同阶无穷小量 例例 14141414 x x x 2 2 0 cot 1 lim 答案 答案 3 2 例例 15151515 求 求 n nn n n n n1 sin 2 1 2 sin 1 sin lim 答案 答案 2 例例 16161616 求 求 nnn n n n nn n nn n n 222 sin 2 2 sin2 1 1 sin1 lim 答案 答案 1cos1sin 例例 17171717 设 xf在 原 点 的 邻 域 内 二 次 可 导 且0 3sin lim 23 0 x xf x x x 求 0 0 0 fff及 22 0 3 lim x xf x x 答案 答案 2 9 9 0 3 例例 1 1 1 18 8 8 8 设 xf在0 x的某邻域内具有二阶导数 且 3 1 0 1lime x xf x x x 求 0 0 0 fff及 x x x xf 1 0 1lim 答 案 答 案 4 0 0 0 0 0 fff 2 1 0 1lime x xf x x 例例 19191919 设 n a n b n c均为非负数列 且0lim n n a 1lim n n b n n clim 则必有 A nn ba 对任意n成立 B nn cb 对任意n成立 C极限 nn n ca lim不存在 D极限 nn n cb lim不存在 2003 年数学一 例例 20202020 已知0 1 1 lnarctan2 lim 0 c x x x x p x 求cp 答案 答案 3 4 3 cp 例例 21212121 设函数 xf在0 x的某邻域内具有二阶连续导数 且0 0 f 0 0 f 0 0 f 证 明 存 在 惟 一 的 一 组 实 数 321 使 得 当0 时 0 3 2 321 fhfhfhf 是比 2 h高阶的无穷小 例例 22222222 求极限 1ln 1 1ln 1 lim 20 x xx x 答案 答案 2 1 例例 23232323 已知当0 x时 2 0 22 cos x dttx与 k Ax是等价无穷小 求常数A和k 答案答案 10 10 1 kA 例例 24242424 设函数 xf在 内单调有界 n x为数列 下列命题正确的是 A若 n x收敛 则 n xf收敛 B若 n x单调 则 n xf收敛 C若 n xf收敛 则 n x收敛 D n xf若单调 则 n x收敛 答案 答案 B B B B 2008 年数学一 例例 25252525 求极限 4 0 sin sin sin sin lim x xxx x 答案 答案