考验数学必备考点：函数极限.pdf

圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 1 1 1 1 0 1 1 011 0 0 2 1 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2121 xff xff x x xf bfaf baxf xfxfxfxxxfTxf xfxfxfxf 解 则设年数一 二 例 典型例题 存在 则有界与 上连续 且在开区间有界 二是闭区间上连续函数一定方法有两个 一是利用 别的有界性的单调增加 减少 判则时当 性 周期奇偶性 单调性 用其定义判别奇偶性 周期性 点是 对应 函数是一个映射 其要 内容与方法提要 和选择题考察 有界性 一般以填空题 期性 即奇偶性 单调性 周查 函数的四个性质 按照大纲要求 主要考考点解析 函数表达式及四个性质考点 理 并会用这些性质性 最值定理 介值定 性质 有界解闭区间上连续函数的初等函数的连续性 理 了解连续函数性质和 会判断间断点类型 左连续与右连续 理解函数连续性概念 穷小求极限比较方法 会用等价无的概念 掌握无穷小的 理解无穷小 无穷大 限求极限的方法法则 利用两个重要极 掌握极限存在的两个 则运算法则 掌握极限的性质及四 限之间关系 与左 右极念 以及函数极限存在解函数左 右极限的概 理解极限的概念 理 初等函数的概念的性质及其图形 了解 掌握基本的初等函数 数及隐函数的概念函数的概念 了解反函 理解复合函数及分段 性单调性 周期性和奇偶 了解函数的有界性 关系式立简单应用问题的函数握函数的表示法 会建 理解函数的概念 掌 考试要求 连续性极限函数第一章 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 2 2 lim lim 3 2 2 1 1 0 0 1 2 1 2sin 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 4 4 3 0 1 0 1 0 1 0 1 2 01 2 00 0 2 0 2 0 0 0 0 0 A xfxf DCBA xxx xx xf Cxxfxf xfxfxf xfxfDxfxfC xfxfBxfxfA xfxfxfxfxf xf xfxf dttftftDdttftftC dttfBdttfA xf xfxFduuf xfxFduuf udufutdttfxF xFxfdttfxF ufxfyfxfy fxuufxf xf xf xe xe xf xe xe xf xx xx xx x x x x x x x x x 选 均存在与解 在哪个区间上有界例 选 故 为奇为偶 为奇函数 则解 内在则内在设例 是奇 偶 函数 是偶 奇 函数 为奇 偶 函数 则当 若当利用可导函数的奇偶性 偶函数的为连续 则下列函数必为设例 为偶函数当 为奇函数当 证明 是偶 奇 函数 则是连续的奇 偶 函数的奇偶性 若有关积分上限函数 奇偶性 有相同的与外层函数的奇偶性相同 则与为偶函数 当数 合函的奇偶性不同时 其复与当 设利用复合函数的奇偶性 为奇函数 利用定义法解 讨论下例函数的奇偶性例 xx x xx xx xx xxx x xx ex x xxx xx x xx xe xxe xe xxe xe xxe x x e e x x e e x x e e axfaxf xfa x x e x e ea xf xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x ax x x 原式解 求极限例 原式解 求极限例 有理化 原式解 求极限例 解 求极限例 原式 解 求极限例 解 求设例 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 5 5 0 lim0 lim lim 1 3 2 31 1 lim 1 1 lim 1 lim14 3ln2 2 1ln 3 1 1 3lnlim 2 3ln 13 3 lim 1 2 1ln 31ln lim 2 33 lim 1 13 2 1 1 2 1 lim 1ln lim 1 1 1ln lim12 2 31 lim 1 1 1 lim05 11 12 7sin11cos lim arcsin sin1cos lim10 000 2 3 0 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 2 1 11 2 0 2 0 2 2 2 0 0 2 32 2 0 2 32 0 xgxfA xg xf t t t x x xx x x x x n x n tt tt t x x xx x exx xe x x x x x x xx xxxxxx x x x x x x nn n t x x nn n tt x x x x x x x 或且常利用结论 设确定函数中的参数 内容方法提要 出现法则 多以选择题形式 洛比达考查极限的运算法则及定函数中的参数 主要已知某函数极限值 确考点分析 求另一函数极限已知极限 确定参数或考点 原式解 求极限例 原式 原式解 求极限求极限例 令原式解 求极限例 原式解 求极限数三 四 例 原式解 求极限例 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 6 6 内容方法提要 准则 别数列极限存在的两个数列极限的方法 及判数列极限主要考点 求考点解析 数列极限考点 则设例 答案 的值 求设例 答案 则其中设例 答案 则已知例 典型例题 极限之间的关系 找出所求极限与已知方法二 利用恒等变形 可将其代入所求极限中即 其中量与无穷小的关系方法一 利用极限的变 用两种方法 相关函数极限 主要采已知函数极限 求另一 程 从而解出参数 参数满足的多个方达法则的条件 得到比达法则 要验证洛比如果有多个参数 用洛 或则 4 36 6 lim 0 sin lim4 2 1 1 0 1 lim3 4 4 4 4 0 2 1 21ln cos1 tan lim2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 lim1 0 lim 2 0 lim0 lim 2 0 3 0 2 22 0 2 2 00 x xf x xxfbx ba babxxax D caDcaCdaBdbA ba edxc xbxa C baDbaCbaBbaA bax x x x xxAxfAxf xfxg xx x x x x x xxxx 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 7 7 0 lim 1 lim 0 lim1 5 2 3 3 lim 1 1 2 3 0 3 30023 2 2 21 10 1 lim lim 0 2 12 3 1tan lim 1 1 tan lim 1 tan lim981 4 lim 3 limlim 2 1 3 2 1 0 0 0 2 2 11 2 2 3 0 xgoxfxgoxf xg xf xgxfxgxf xg xf xgxfC xg xf AAAA Ax x x x xxxxx x x xx x a ax x xa t tt t xx x n n Az Ayx yzx xxxf xx xx xx n n n n n nnnn n n n n n nn n n x x n n n n n n n n nnn nn 是高价无穷小 记是比则若 是等价无穷小 记与则若 是同阶无穷小与则若 内容方法提要 中 是必考点之一 他综合题为主 有时也渗透到其比较定义 考试以小题主要考查无穷小量阶的考点解析 无穷小量阶的比较考点 解出 由 故可令解 极限存在 并求此极限证明设年数二 例 解 求设例 原式解 年数四 求 例 典型例题 常利用数学归纳法 有界时 界的数列 证明单调与增 减 且有上 下 单调有界准则 单调递 夹逼准则 设 放大与缩小限 关键是对数列进行利用夹逼准则求数列极 比达法则求之 即变量连续化 用洛换为中将数列 接用在求数列极限中洛比达法则外 均可直求函数极限的方法 除 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 8 8 lim1 6 1 2 02 01 0 2 0 0 0 0 0 024 6 1 1 1ln sin 0093 4sin1 1 0032 2 412 2 3 tan limlim 1 1 sinsin 1ln cos1 0 2 011 3 2 0 0 0 lim 00 2 4 1 2 0 tan 0 2 tan 0 0 2 0 点连续在称若 内容方法提要 数的连续性 判别函及连续函数的运算法则定义 连续的充要条件主要考查 会用连续性考点解析 判别函数的连续性考点 知由已知可得解 的值 高阶无穷小 试确定时是比在 若续导数 且的某邻域内具有一阶连在年数一 设 例 答案 值求 是等价无穷小 与时当年数一 二 三 例 是等价无穷小 则与时 年数二 若 例 得 可得解 小 求 的高阶无穷是比高阶的无穷小 而是比时设 是同阶无穷小 求与时 设 例 典型例题 则 若 仍是无穷小 小 有限个无穷小之和个无穷小之积仍是无穷无穷小量的性质 有限 小代替等求极限方法有时也利用到等价无穷上就是一个极限问题 无穷小量的比较 本质 或 其中阶无穷小的是则若 xxfxfxf ba ba ba bahhofhbfhaf ffxxf ba ba bxxxgaxxxfx axxaxx nn n x xx x ee n exxxxxxx nxeex o xxxxgxfkxgxfc xg xf xx n x n xx x xnn nxx k xx xF ba ax ba faF ba fafaF ba xax bfaf ba faf bf ba f ba F ba fafaF ba axF ab xfxfxF ab xfxfbaxbfafbaxf qp dqfcpf fba M qp dqfcpf m qpfqpdfqcpf babdcabaxf 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 13 13 1 1 2 lim 1 4 0 1 3 2 lim lim 1 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 sin 0 00 0 0 000000 0000 000 0 000 0 0 0 x fxf exf xxf xfxx xf xfy xxxfxfyxfxxxxfy xUxfxfxUxfxf AxfxfAxf xx xfxf x xfxxf xf n x x xxx 则设例 典型例题 导数 点处例如 分段函数在分界道时 一般用定义求导处是否可导 事先不知在点当函数 法线为 的切线方程为点可导 则过在设曲线 内存在在存在可得出内存在 但在存在不能得出 导数的定义 内容与方法提要 导是主要考查内容 分段函数的求绝对值函数的可导性 可导的充要条件以及含正确理解导数的概念 考点解析 导数的定义考点 率半径的概念 会求曲率和曲 了解曲率和曲率半径 未定式极限的方法 掌握用洛比达法则求 会描述函数的图形 铅直和斜渐近线 图形的拐点以及水平 形的凹凸性 会求函数 会用导数判断函数图 法及其简单应用数最大值和最小值的求 的方法 掌握函的单调性和求函数极值 掌握用导数判断函数 理解函数的极值概念 柯西中值定理 泰勒公式 了解并会用 拉格朗日中值定理和 理解并会用罗尔定理 反函数的导数方程所确定的函数以及 会求隐函数和由参数 二阶导数 会求分段函数的一阶 阶导数 会求简单函数的 了解高阶导数的概念 变性 会求函数的微分则和一阶微分形式的不了解微分的四则运算法 数的导数公式 法则 掌握基本初等函法则和复合函数的求导 掌握导数的四则运算 续性之间的关系理解函数的可导性与连了解导数的物理意义 线和法线方程 义 会求平面曲线的切念 理解导数的几何意 理解导数和微分的概 考试要求 一元函数微分学第二章 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 14 14 分界点一点可导 分段函数在在道 只知道处是否可导 事先不知在点 义式求导下列情形均利用导数定 内容与方法提要 要条件用导数定义及可导的充试经常出现的 主要利利用导数定义求导是考考点解析 利用导数定义求导考点 答案 处导数存在 则在设例 00 000 0 2 1 2 1 9 tan31 2 sin1 1 lim1 2 xxfxxf AxfxfAxf f x xfxfxf xxf x 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 15 15 0 1 3 1lim 05 4 2 1 80 4 0 2 4 2 021 0 2 02 1 2 4 20 04 3 0 lim 0 2 0 sin lim sin 1 0 000 3 2 0 2 2 0 2 xf xxgxfxFxxgyxxfy xf xf C DC BA xfxxf kkff xxkxxfx xxfkxf kxkfxf xxxxfxxf af af x afxaf af afafaaxxfy xax x x aF aFaaxxxaxxF xfxf n n n x x 的充要条件是 处可导在处连续但不可导 则在处可导 在设 内容与方法提要 考试多以选择题出现数的极限值等可导性的关系 可导函性与 可导数的乘积的可导性 是指 可导与不可导函可导性的几个常用结论考点解析 结论有关可导性的几个常用考点 答案 至少有三个不可导点 恰有一个不可导点 恰有一个不可导点 处处可导 内在则数一 设例 故 时 当 解 处可导在为何值时 问上表达式 在 写出 为常数其中 满足若对任意的上 内有定义 在在数二 设例 解 存在 求对称 且 关于直线设例 解 的某邻域内有界 求处有定义且在在其中设例 典型例题 具体表达式未给出 求处导数 函数 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 16 16 答案 且且 且且 处不可导的充分条件是在处可导 则在设年数三 四 例 答案 既非充分又非必要条件必要但非充分条件 充分但非必要条件充分必要条件 处可导的在是则可导 设例 典型例题 存在 且 则内可导 且上连续 在在设 阶不可导但阶可导在为正整数时 一般当 导处一阶可导但二阶不可在时 当 处不可导在时 当 设 处可导 且在时 时 且当 处不可导在时 时 但当 处可导在时 当 处可导 则在设 B afafDafafC afafBafafA axxfaxxf A DC BA xxFfxxfxFxf Axfxf xfAxfxxxxxf kkxxxxxfk xxxxxxfk xxxxfk xxxxxf yxxfyxfxf xxfyxfxf xxfyxf xxf xx xx k k xx 0 0 0 0 0 0 0 0 002 0 0 0 1ln 1 1 lim lim 0 4 1 3 12 01 3 0 0 0 3 0 0 2 0 1 2 0 0 0 0 00000 00 000 00 00 000 000 00 0 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 17 17 xyy y y dy xd ydy dx xyy dy dx xy dy xd yxxyxyyyxx eyx dx d d dy y ee yfx yfyf dx yd yfxdx dy dx yd ffexexfy dy dx dy dx dx dy yxxfy tx ty dx dt dt dy dx dy tyy tyy txx dx dy xyxF dx du du dy dx dy xfyxuufy yyf sin 1 0 sin 0 3 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 1 4 3 0 2 1 4 32 2 3 2 2 2 2 32 2 2 2 2 2 代入化简得解 满足的微分方程变换为 所满足的微分方程将的反函数 是设例 切线为 解 程是处的切线的直角坐标方 在点 对数螺线例 解 求有二阶导数 且确定 其中由方程设例 典型例题 则的反函数设 则确定参数方程 即可求导 解得两边对函数求导法 在隐函数求导是利用复合 的导数为均可导 则复合函数设复合函数的链式法则 内容与方法提要 掌握 纲要求熟练数求导是基本计算 大数方程确定函数 反函复合函数 隐函数 参考点解析 导数计算考点 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 18 18 2 1 1 6 lim 2 0 0 lim 0 1 0 0 1ln 2 1 lim 2 1 1ln 2 1ln 202 0 1ln 213 1 2 0 1 0 1 0 1 1 100 0 10 10 2 1 10 0 2 1 10 10 1 2 0 2 0 0 2 0 sin 0 tan 2 0 0 2 2 0 1 2 0 3 2 1 1 5 0 22 1010 bababaxf AAxxxx xfxxf ffxxxf xnxxxxx xx xxfxF F FF x xf xF Nkfkff fxf ff ffxf F FFxxfxF fffxf fba bfafbabaxf n n nn x n n nn k 内可导 则至少存在在上连续 在满足拉格朗日中值定理 设 内容与方法提要 是考试中的难点之一数解决函数问题的桥梁导数的关系 是利用导 数增量与一个定理 它建立了函分中值定理中最重要的拉格朗日中值定理是微考点解析 用拉格朗日中值定理的应考点 且故单增且 可证得当 由零点定理得证 使存在由 令 证 求证 令 任取 内有惟一实根在 证明方程 例 应用罗尔定理即可令 得证使 由罗尔定理 存在 令 证 使 证明至少存在 内可导 上连续 在 在设 使 证明至少存在 内可导 且 上连续 在 在设例 得证 使 由罗尔定理 存在 令辅助函数证 使 证明至少存在一点上可导 且 在设例 典型例题 见例题 用积分去求辅助函数 二是原函数法 即利出发 去寻找辅助函数 法 即由所证结论方法有两个 一是分析是设辅助函数 其主要 应用罗尔定理的关键 使 则至少存在内可导在上连续 在满足罗尔定理 设 内容与方法提要 是辅助函数大题出现 解题的关键 试中常用是高数中一个难点 考尔定理 微分中值定理大纲要求理解并会用罗考点解析 罗尔定理应用考点 L 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 19 19 0 2 1 7 1 0 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 054 0 1 1ln 1 0 1ln 1 1ln 1 03 1 1 1 2 1 2 10 ba G F aGbG aFbF xG babaxGxFxGxF Lagrangexf ggxxfxg ff f ffxf xx x x x x Lagrangexxxf xx x x x Lagrangebaexfe RollebaxfexF ffe babfafbabaxf LagrangeTHbaxxf abffaafbbf bababaxf ababafafbf f ab afbf xx x ba baba xhfhf bahhfhbfhaf ffxxf Taylorx xfx xfxfxxf a ff ax x f x f fxf xfaaax Lagrangexf faafaafaaaxf e xxxxe x x 得 展开 代入已知等式得在与将解 的值高阶无穷小 试确定时是比在若 数 且某邻域内有一阶连续导在 设例 年数一 二 公式及已知条件点应用在证 时当证明 时上有二阶导数 当在设例 再由介值定理得证 式相减得代入 将 证 使证明存在 式余项的二阶麦克劳林公带写出 上有三阶连续导数 且在设例 典型例题 的公式公式 一般要记住 的麦克劳林定理 五个常用函数泰勒公式是高阶的中值 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 22 22 3 2 0 0 1 9 3 变量 另一个视为常量 可视其中一个参数为 含两个参数的不等式 结论 符号 从而证明判别求导数设辅助函数证明 反之不一定成立 如上单调增加 减少 在可导 在区间设 内容与方法提要 多 应熟练掌握含两个参数的不等式较 等 证明经常出现 一般难度中一种常见题型 考试中用单调性证明不等式是考点解析 不等式利用函数的单调性证明考点 xFxFxgxfxFIxxgxf xy IxfxfIxf 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 23 23 0 0 0 1 10 4 lnln 4 lnln 043 1 1ln 1 2 1 ln 1 1 2 11 1ln 1 1 2ln 1 2 1 ln 1 1 1 0 2 1ln 1ln 0 1ln 1ln 1ln 1 1ln 11 011 00000 2 22 2 222 22 22 是拐点两侧变号 在 则当不存在或判别 拐点 凹凸性的分界点 称为上凹或下凸 连续曲线在则凹凸性 内容与方法提要 应力求计算准确 是基础题 是重要的考点 多数是应该熟练掌握的内容 两性 两点 的判别考点解析 极值点 拐点的判别函数的单调性 凹凸性考点 由单调性可证求 令证 证明年数一 二 设 例 利用单调性令 利用单调性可证令 证 证明设例 利用单调性可证令 即证证 证明且设例 典型例题 xfxxxfxfxf IxfxfIx xfxf ax e axxf ab e abebae xx xF xxxxf xx xxxx xxxxxf xx xxxx xx xx 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 26 26 lim3 0 2 1 0 2 0 1 12 032 1 2 1 11 轴相交以便确定曲线是否与趋势 如 注意讨论函数的变化 实根的个数 取何值时 方程从而确定参数轴的位置关系与 再讨论 的极值 最值 先求出 实根个数讨论含参数方程 从而确定实根个数性 变号的点 再讨论单调或所设区间 内使实根 先找出定义域 或讨论 内容与方法讨论 是综合题型参数方程的实根问题 类问题 不含参数和含 论 分两与微分中值定理进行讨介值定理 零点定理 方程的实根 一般利用考点解析 讨论方程的根考点 大值点三个极小值点和一个极 大值点两个极小值点和两个极 大值点两个极小值点和一个极 大值点一个极小值点和两个极 有图形如图所示 则 内连续 其导函数的 在 设年数一 二 例 的图形为 的图形如图所示 则在定义域可导 设例 典型例题 等性态 的单调性 极值点而确定的符号 为零的点 从的图形 先分析已知导函数 的图形的反映 确定据这些性态在导函数上 等性态 再根坐标轴的交点 极值点的单调性 凹凸性 与的图形 先分析已知 内容与方法提要 考查性态 常以选择题形式 的的图形 确定的图形 根据的图形确定其导函数根据考点解析 的图形的图形与考点 xkxf kxfkxkMMkmm kMMkmmkxf kxf xfxfxf D C B A xfxf xfyxfyxfy xfxfxf xf xfxf xfxfxfyxfy xfxfy x 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 27 27 有两个实根 有唯一根 无实根当 为极小值 为驻点得 令解 的交点个数与讨论曲线年数二 例 至多三个根由 内有一根 令证明 个根有且只有证明方程例 典型例题 4 4 4 41 1 0 0 4ln4ln ln4ln4032 0 0 5 4 0 5 4 0 1 0 0 12 3121 4 4 2 2 k k k k xx kxxxx xxykxy xFxF FF FFxxF x x x 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 28 28 答案 是单调函数是单调函数 是周期函数是周期函数 偶奇函数是奇函数 是奇函数是偶函数 的一个原函数 则是连续函数设年数一 二 例 典型例题 性函数之和一个周期函数与一个线数或是周期函数 或是连续的周期函数的原函 函数数的原函数不一定是奇是偶函数 连续的偶函连续的奇函数的原函数 上可积在个第一类间断点 则 上只有有限在上可积 若在上连续 则在可积的充分条件 若 上有界在上可积 则在可积的必要条件 若 可积的条件 上的一个原函数 则在是上可积 在莱布尼兹公式 设 牛顿 不一定成立就是其中一个 但反之 即连续函数必有原函数 且上的一个原函数在是上连续 则在若 积分上限函数 原函数存在的条件 的一个原函数是称原函数 若 内容与方法提要 择题型考查等概念 在考试中以选性及原函数存在的条件原函数的奇偶性 周期考点解析 原函数的概念考点 明积分等式和不等式的证 义积分 定积分的应用导 定积分的计算 广性质 积分上限函数求法 定积分的概念与 换元法和分部积分念 不定积分的计算 本章可分 原函数的概根据考试大纲的要求 值 压力 及函数的平均立体体积 功 引力 平行截面面积为已知的转体的体积及侧面积 平面曲线的弧长 旋量 平面图形的面积 计算一些几何量与物理 掌握用定积分表达和 会计算广义积分 了解广义积分的概念 莱布尼兹公式牛顿 会求它的导数 掌握 理解积分上限的函数 函数的积分函数有理式和简单无理 会求有理函数 三角 分法与分部积分法 值定理 掌握换元积定积分的性质及积分中公式 掌握不定积分和 掌握不定积分的基本 的概念理解不定积分和定积分 理解原函数的概念 考试要求 一元函数积分学第三章 A xfxFD xfxFC xfxFB xfxFA xfxF baxf baxfbaxfbaxf baxfbaxf aFbFdxxf baxfxFbaxf xF xfdttf dx d xF baxfdttfxFbaxf baxdttfxF xfxFxfxF b a x a x a x a 051 4 3 4 3 2 1 2 1 1 6 5 4 3 2 1 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 29 29 典型例题 应先换元 再求导变量外的其他变量时 当被积函数中含除积分 公式 内容与方法提要 经常出现 应熟练掌握积分变限函数在考试中作为函数的一种形式 考点解析 积分变限函数求导问题考点 答案 连续不连续可导无界 内在则设年数三 四 例 2 1 2 2 0 21 1 3 1 10 1 2 1 012 1122 0 2 2 1 xxfxxfdttf D DCBA xg xx xx xfduufxg x x x 2 1 lim lim 0 0 lim053 2 0 2 2 lim 1 1 0 2 lim 0 0 022 0 65 sin lim 0 65 sin 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 arctan arctan 0 65 cos1 0 2 0 cos1 0 65 2 2 2 xxfxf xf xxfdttfx dttf fxf dttxx dttftx f n nf xy x e f n nf dteyxfy B xx dtt DCBA xgxfx xx xgdttxf x x x x x x x n x x n x t x x x 原式解 连续且年数二 求 例 切线为 解 并求 方程 处切线相同 写出切线在与已知两曲线年数一 例 选 由解 同阶但不等价无穷小等价无穷小高阶无穷小低阶无穷小 的 是时则当设例 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 30 30 Cxedxxexdxe dxexxI dxexI CxxeI xdxeI dxxdx e x e x dx e x I dxxdxdx x x dx x xxx dxxfxf xf xfdxxf dxxfxfdxxf xf F xxx x xdtxtf xF x xf xf xxx x x x x xx x a a a a a a x tansectan2 tan21tan 1tan2 cos sin 2 1 sin1 4 4 cos 1 cos 1 cos 2 1 1 cos 2 4 144 11 4 11 cos2 1 2 0 2 2 1 1 3 0 10 11 0 0 0 2 lim 4 2222 22 22 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 2 1 0 1 0 2 2 1 1 2 2 0 0 1 0 0 解 求例 解 求例 典型例题 遇到 应熟练掌握这两种积分在考试中常后两个积分正好抵消 消项 是指分部积分 从而求出积分 项 积分后 还原 再 移所谓 移项 是指分部内容与方法提要 消项 的情形 移项 与 分部积分中有两种特殊考点解析 与 消项 分部积分法中的 移项考点 原式解 计算例 原式解 例 典型例题 计算用当非奇非偶时 可考虑 为奇函数时当 为偶函数时当 在积分区间上连续 则设 内容与方法提要 简化积分计算被积函数的奇偶性可以对称区间上积分 考虑考点分析 对称区间上的积分考点 求连续 且设例 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 31 31 1ln 11 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 7 arctan 2 1 1ln 2 1 arctan arctan 1 1 arctan arctan 1 1 6 cossinln 2 1 2 cossin cos sin sin cos 2 1 cossin cos 2 cottan cossin cossin cossin 1 1 1 5 12 1 1 11 1 3 1 0 0 1 1 1 2 0 2 0 22 2 2 2 22 22 22 2 arctan 2 3 2 arctan 2 arctan arctan 2 2 3 2 arctan e u du e du duufuxdxxf x e x x xfdxxf Cxxxx xdx x xdx xdx x x Cxx x dx xx xxxx dx xx x Cxxdx xx xx dx xx C x ex I dx x e x xe de x x I dx x xe I u x x xx x x xxxx dx I xdx xdx ndxxfndxxfxfTxfTxf dxxfdxxfxfTxfTxf dxxfdxxfxfTxfTxf xCx xCx xCx I dxxxI xx x x x x x I dxxttI TnT aTa T TTa a 求例 典型例题 用 凑微分法 化为有理函数积分 或一般可用 万能代换 理式简单分式积分 三角有有理分式部分分式化为有理分式的积分 先将考点解析 的积分有理函数与三角有理式考点 原式解 求例 典型例题 为正整数则的周期为设 则的周期为设 则的周期为设 内容与方法提要 化计算函数周期积分的性质简 可以利用周期若被积函数具有周期性考点解析 周期函数的积分考点 解 求例 可得去绝对值后 分段积分解 求例 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 33 33 0 0 0 0 0 1 11 32ln 2 4 1 2 1 2 1 lim 2 1 4 1 2 1 lim 3 2ln 11 1 1 1 1 2 2 1 1 lim1 10 cos1 4 1 cos1 cos1 ln 8 1 1 1 2 1 cos sin cos1 sin2 sin sin22sin 2 00 00 1 2 1 2 3 1 2 0 2 0 2 3 2 1 2 0 0 0 0 2 2 1 2 21 bF aFxFxFfxfaxF dxxfxdttfaxF dxxfbdxxfabaxf x xd x xd I xx dx I e dx ee xdI dx e xe I aaee adtte x x C xx x uu du ux xxx xdx I xx dx I ax ab xxx x x aa a tax x 故 单减由 令证 有证明对任何 上连续且单调减少 在设例 典型例题 之一 难点不等式与等式 是考试单调性等证明有关积分利用积分的性质 函数考点解析 明积分不等式与等式的证考点 解 计算例 解 求例 由已知可得解 则设例 典型例题 定积分的极限求之函数的积分 均是化为无穷区间上积分与无界考点解析 广义积分考点 解 求例 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 34 34 3125 6 3 2 1 2 1 1 1 2 1 lnln031 1 6 1 5 1 2 24 3 2 1 12 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 05 3 3 1 2 1 2 1 1 1 max 3 0 1 2 0 2 2 2 1 0 2 1 0 2 2 2 2 1 00 1 00 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 0 ee dyeeeV edyeyeAx e y VexD AD Dxxyxy dxxf ab ybaxxfy dxySbaxxfy dxxfxfdsxfS dxxSVxS dyygV dxxfV dxxgxfA FaF FgxgxfxF gxfdttgtfdttftgxF gafdxxgxfdxxfxga xgxffxgxf M dxx M dxxfdxxfdxxf Taylor xfM M dxxffxf y y b a b a b a b a b a d c y b a x b a x a x 切线为 解 体积旋转一周所得旋转体的绕直线 求 的面积 求 轴围成平面图形及的切线 该切线与过原点作曲线年数一 例 典型例题 的平均值为在 函数平均值 平面曲线弧长 旋转曲面面积 的立体体积 已知平行截面面积 旋转体体积 平面图形面积 内容与方法提要 应用 功等积 弧长 函数平均值面图形面积 旋转体体按大纲要求 应会求平考点解析 定积分的应用考点 故 又 令证 有对任何 证明上有连续导数 且在 年数三 四 设例 公式可得应用证 其中证明内有二阶连续导数 且在设例 侧 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 35 35 1 2 2 2 1 1 5 3 1 2 1 449 3 1322 0 1 1 3 012 1 0 4 1 064 12 37 23 1511 62 5 34 6 1 4 1 2 1 12 2 21 2 1 2 2 1 2 2 0 2 1 0 1 1 3 0 32 2 0 00 2 2 0 1 2 0 23 2 0 2 0 2 1 2 2 0 1 2 cmnn nx nxWWW xx k xdxkW xx k xdxkW k xdxkW xcmxn ncm dyyyyS xy L tdx yd xxxL yxL L t tty tx L dxydxyA Axxxxy xdxdxxS dxxdxxV xy xxxy n nn nn x x n x n n n 0 14 0 0 0 0 2 0 2 1 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 3 2 1 0 0 2 0 0 0 0 0 22 22 22 22222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222222 21 0121 222 000 000 21 22222 11111 000 z xyx yxyfy zyxf yxyyxyzz z x zyf ppyx b y a x b y a x RyzRyx zxfy zyfx yxfz z yxf L pp pppp d CBA DCzByAx d snLsnL ptzzntyymtxx L nns nDzCyBxA nDzCyBxA zzyyxxpnm 轴旋转所得绕 例如 轴绕 代入得 在 轴绕如 旋转曲面方程 抛物柱面 双曲柱面 椭圆柱面 圆柱面 常见的柱面 轴的柱面为 母线 轴的柱面为 母线 轴的柱面为 母线 准线 标轴 柱面 母线平行于坐 七 曲面方程 点到直线距离 点到平面距离 到直线距离六 点到平面距离 点 向量讨论 如直与直 线的方向转化平面的法向量与直直与直位置关系五 平与平 平与直 参数方程 写方程 找一点在 对称式 一般式 理解为或 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 38 38 tztytxt zyx pQssLL zyx L zyx L zyxzyx opnn zyx zyx zyx kji kji nsn zyx zyx ozT z yx yxz z zyxF zyxF T yxzzyxcba c z b y a x zyxpba pz b y a x c z b y a x zyx 4 33 2 43 3 2 0 112 112 234 2 2 1 2 1 1 43 3 2 3 03220 0 3 0 2 0 2 3 2 2 2 8242360002 09138 0 2 13 2 8 1 1 138 132 322 0523 2 2 3 2 2 1 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 12 2 1 1 4 2121 21 1 1 2 1 22222 2 2 2 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 求交点 故共面 混合积共面共面与解 的最短距离 线的交点 若不是求它平面内 若是 求两直 是否在同一 判断下列两直线例 即 解 则此平面方程为 垂直 且与平面 及 设平面过 例 即 解 的平面方程 且垂直于平面 求过直线例 椭球面 旋转抛物面 球面 圆锥 椭圆抛物面 柱面 旋转曲面 锥面 知道几种曲面的图形直线方程 平面方程 要求 会求满足条件的 上投影在 为 联立 柱面 消去 上投影方程在坐标面 曲线 九 投影方程 当 二次锥面 旋转抛物面 椭圆抛物面 椭球面 截痕法八 二次曲面 旋转曲面方程为 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 39 39 0124174 4 1 4 2 2 1 22 1 2 0 0 0 1 0123 012 0123 0 1 2 0 1 2 3 1 2 1 1 1 1 1 211 101 012 1 1 11 1 0 3 0 0 2 2 1 2 1 1 222 2 222 11111101 1 2 1 2 1 22 2 1 2 111111 01 0 1 1 1 11110 11 00 yzyx y yzx p y zyyxzyxLp yyzxzx czxrcypzyxp LyyYQyyp zyxpyL zyx zyx zyx zyx n nnn LnnLL L yLL zyx zyx L t zyx 即 曲面的方程为 的任意性 得所求旋转 式 并由点将它们代入 故有式满足所以因 的方程为于是 它的半径轴旋转得圆绕 于点交直线 轴于点轴的平面交垂直于 过 是旋转曲面上任一点如图 设轴的旋转曲面的方程 绕求 所求投影直线为 即 得平面 于是 法向量是其中 则的法向量为 可设 由点 的投影直线 的交线为所求与垂直投影平面 则且与平面为过解 设平面 程 轴旋转一周所成曲面方绕的方程 并求 上的投影直线 在平面 例 求直线 得交点解出代入 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 40 40 可微 按定义 只要证在判别 偏导存在连续偏导数连续 不可逆 偏导存在可微偏导数连续 称为全微分可微 且在则称其中 全微分 若 偏导数 有介值性上有界 取得最值 且在 上连续 则在有界闭区域点连续 若在称若 不存在则存在 趋于不同值 或极限不时 以不同路径趋于当二重极限 内容与方法提要 以选择题形式考查应正确理解其关系 多 念 是考试中经常涉及的概间关系 可微 偏导数连续之偏导数存在 函数存在考点解析 之间关系续 偏导数存在 可微有关二重极限 函数连考点 法线平面及曲面的切平面和 空间曲线的切线和法极值 方向导数与梯度 导数 极限和条件函数偏导数 隐函数偏重极限和连续性 复合按大纲要求本章分 二 简单的应用问题最小值 并会解决一些单多元函数的最大值和 求条件极值 会求简 会用拉格朗日乘法法 会求二元函数的极值数极值存在的充分条件 要条件 了解二元函多元函数极值存在的必条件极值的概念 掌握 理解多元函数极值和 仅数一要求 泰勒公式 了解二元函数的二阶 要求 仅数一它们的方程面和法线的概念 会求和法平面及曲面的切平 了解空间曲线的切线 导数 会求多元隐函数的偏 了解隐函数存在定理 法一阶 二阶偏导数的求 掌握多元复合函数的 仅数一要求 法的概念并掌握其计算方 理解方向导数与梯度 的不变性条件 了解全微分形式 在的必要条件和充分全微分 了解全微分存和全微分的概念 会求 理解多元函数偏导数 性质界闭区域上连续函数的与连续的概念 以及有 了解二元函数的极限 意义 理解二元函数的几何 理解多元函数的概念 考试要求 多元函数微分学第五章 不可逆不可逆 不可逆不可逆 6 5 4 lim lim 3 lim2 lim lim1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 00 00 22 0000 0000 0 00 0000 0 00 0000 00 0 0 0 0 0 0 yxyxfz dy y f dx x f dzyxyxfzyx oy y f x x f yxfyyxxfz y yxfyyxf yxf x yxfyxxf yxf Dyxf Dyxfyxyxfyxfyxf yxf yxfyxyxAyxf y y x x yy xx yy xx yy xx 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 41 41 000 00 00 0 0 3 1 lim lim 0 0 0 0 0 00 0 0 0 2 1 0 2 22 0 0 0 0 22 22 22 000000 利用可微必偏导存在 答案 则 点可微 在 若邻域内连续在点其中设例 连续故极限不存在 所以不极限为 可得取但 证 续 点偏导存在 但不连 在 证明设例 答案 件 既非充分又非必要条 充分必要条件 必要非充分条件 充分非必要条件 在该点连续的存在 是处在例 典型例题 是否趋于零 yxfyxyxyxyxf k k kxy yx xy yxf ff yxf yx yx yx xy yxf D DC BA yxfyxfyxfyxyxf y y f x x f z y x y x yx yx 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 42 42 222 2 12 22 11 2 2121 2 22 21 2 222 2 2 2 2 0 1 24 22 2 1 2 1 3 2 2 1 1 2 413143 123132 4 3 21 024 fxyefxyefeyxfxy yx z fxef y y z fyef x x z yx z y z x z feyxfz gyxf yf x v x u x v x u xyxgvxyxfugf x v x v v z x u uv z x u x v vu z x u u z x z v z u z dy y v dx x z dz y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z yxuvufz A DC BA yxyxf xyxyxy xyxy xy 解 有二阶连续偏导数 求 设例 答案 则 可微设例 典型例题 如 仍是复合函数 式中与二阶偏微分 全微分 则链式法则 内容与方法提要 是难点乘 原则 二阶偏导数按 分线相加 连线相 楚复合关系 的考点 其要点是弄清微分计算 是一个重要复合函数的偏导数与全考点解析 微分复合函数的偏导数与全考点 答案 则 两个偏导数存在可微 两个偏导数连续 连续 处四条性质 在年数一 考虑 例 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 43 43 0 0 0 1 3 1 1 1 4 51 32 32 13 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 21 1 1 1 1 013 2 2 22 3 12 2 2 2 2 21 2 1 2 2121 2 1 3 1 3 1 1 1 1 z y z x z zyzx x x F F y z F F x z F y z FF x z FFyxzzzyxF f z f z y f yz x xy u dzf z y dyf z f y x dxf y dz z u dy y u dx x u du zy u duf z y y x fu fff