高中数学 第四章 导数应用 4.2 导数在实际问题中的应用 4.2.2.2 导数在实际生活中求最值问题课件 北师大版选修11.ppt

4 2 2 2导数在实际生活中求最值问题 1 了解实际问题中利润最大 成本最低等问题 2 会用导数求解利润最大 成本最低 面积最大等最值问题 最值问题包括费用 用料最省 成本最低 利润最大 面积最大 体积最大等日常生活中常见问题 做一做2 如图 在二次函数f x 4x x2的图像与x轴所围成的图形中有一个内接矩形abcd 求这个矩形的最大面积 题型一 题型二 题型三 题型四 利润最大问题 例1 某商品每件成本9元 售价30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量可以增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x 单位 元 0 x 21 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 每星期多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 分析 根据 利润 收入 成本 来建立利润的函数关系式 然后利用导数求出最值 题型一 题型二 题型三 题型四 解 1 设商品降低x元 则多卖的商品数为kx2 若设商品在一个星期的获利为f x 则有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 又由已知条件 24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 21 2 由 1 知 f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故x 12时 f x 取得极大值 因为f 0 9072 f 12 11664 所以定价为30 12 18元能使一个星期的商品销售利润最大 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题关键是根据题意列出函数关系式 利润最大问题是生活中常见的一类问题 一般根据 利润 收入 成本 建立函数关系式 再利用导数求最大值 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练1 某工厂生产某种产品 已知该产品的月生产量x 吨 与每吨产品的价格p 元 吨 之间的关系式为p 24200 且生产x吨的成本为r 50000 200 x 元 问 该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大 最大利润是多少 题型一 题型二 题型三 题型四 成本最低问题 例2 如图 某工厂拟建一座平面图为矩形 且面积为200m2的三级污水处理池 由于地形限制 长 宽都不能超过16m 如果池外周壁建造单价为每米400元 中间两条隔墙建造单价为每米248元 池底建造单价为每平方米80元 池壁厚度忽略不计 且池无盖 1 写出总造价y 元 与污水处理池长x m 的函数关系式 并指出其定义域 2 污水处理池的长和宽各为多少时 污水处理池的总造价最低 并求出最低总造价 分析 可设长为xm 则宽为m 然后表示出外周壁造价 中间隔墙造价及池底造价 这三部分的和即为总造价 用导数可求出最小值 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 恒成立问题 例3 已知函数f x x3 ax2 bx c在与x 1时都取得极值 1 求a b的值及函数f x 的单调区间 2 若对x 1 2 不等式f x c2恒成立 求c的取值范围 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 反思本题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值 解不等式等知识 以及综合分析和解决问题的能力 题型一 题型二 题型三 题型四 变式训练2 已知函数f x x3 3ax2 b有极值 且极大值点和极小值点分别为a b 若线段ab 不含端点 与函数f x 的图像交于点 1 0 1 求函数f x 的解析式 2 设函数g x x2 3x k 已知对任意的x 1 1 都有f x g x 恒成立 求k的取值范围 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 易错辨析易错点因忽视定义域而致误 例4 某厂生产一种机器 其固定成本 即固定投入 为0 5万元 但每生产100台 需要增加可变成本 即另增加投入 0 25万元 市场对此产品的年需求量为500台 销售收入 单位 万元 函数为r x 0 x 5 其中x是产品售出的数量 单位 百台 1 把利润表示为年产量的函数 2 年产量是多少时 工厂所得利润最大 题型一 题型二 题型三 题型四 错因分析 实际问题中 该厂生产的产品数量不可能在500台之内 含500台 应有x 5的情况 忽视此种情况 就出现了错误 题型一 题型二 题型三 题型四 1 2 3 4 5 答案 c 1 2 3 4 5 解析 由f x x3 x 知f x 3x2 1大于0恒成立 f x x3 x在r上为增函数 且f x 为奇函数 又 f msin f 1 m 0 f msin f m 1 即msin m 1 答案 d 1 2 3 4 5 答案 b 1 2 3 4 5 令v x 0 得x 40 00 40 x 60时 v x 0 x 40时 v x 最大 答案 40 1 2 3 4 5 5 某厂生产某种电子元件 如果生产出一件正品 可获利200元 如果生产出一件次品则损失100元 已知该厂制造电子元件过程中 次品率p与日产量x的函数关系是 x n 1 将该厂的日盈利额t 元 表示为日产量x 件 的函数 2 为获最大