江苏省江阴市成化高级中学高中数学 1.1正弦定理教案 新人教版必修5.docVIP

1.1正弦定理 教学目标：1. 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；2. 通过对任意三角形的边长和角度关系的探索，培养学生的自主学习和自主探索能力；3. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣教学重点：正弦定理及其证明过程教学难点：正弦定理的推导和证明教学过程：一、问题情境从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算测量河流两岸两码头之间的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系探索1我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在rt中，设，那么边角之间有哪些关系？，,探索2在rt中，我们得到，对于任意三角形，这个结论还成立吗？二、学生活动把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三角形是否成立学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于测量的误差或者计算的错误造成的引出课题正弦定理图1三、建构数学探索3这个结论对于任意三角形可以证明是成立的不妨设为最大角，若为直角，我们已经证明结论成立，如何证明为锐角、钝角时结论成立？师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，进而探索证明过程经过讨论，可归纳出如下证法证法一若为锐角（图2（1），过点作于，此时有,，所以,即同理可得,所以 （1） 图2（2）若为钝角（图2（2），过点作，交的延长线于，此时有，且，同理可得综上可得，结论成立证法二利用三角形的面积转化，先作出三边上的高、，则，所以= =，每项同时除以，得探索4充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在中，有，设为最大角，过点作于，（图3），于是，设与的夹角为，则，其中，当为锐角或者直角时，；当为钝角时，故可得，即同理可得因此这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形中的一个重要定理bacbdac图3探索5这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中的哪些类型的问题？三个式子：，每个式子中都有四个量，如果已知其中三个可求出第四个正弦定理可以解决两类三角形问题：（1）已知两角与任一边，求其他两边和一角（两角夹一边需要先用三角形内角和定理求出第三角，再使用正弦定理）；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）四、数学运用 例题 在中：（1）已知，求，；（2）已知，求，；（3）已知，解这个三角形解（1）由正弦定理得，即，因此所以，或由于故也符合要求，从而本题有两个解或当时，当时，（2）由正弦定理得，即所以,或由于，故不符合要求，从而本题只有一解，（3）由正弦定理得，所以无解学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角，为什么分别会出现两解、一解和无解的情况呢？巩固练习：1.（口答）一个三角形的两角和边分别是和，若角所对边的长为8，那么角所对边的长是 .2.(板演) 在中：（1）已知，求，；（2）已知，求，3.（板演）根据下列条件解三角形：（1），（2），五、回顾小结本节课同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，其关系式和谐、对称它可以解决斜三角型中这样的几类问题：已知三角形中两边与一边的对角，可求另一边的对角，进而求出其他的边和角；已知三角形中