江西省高安中学、丰城中学、樟树中学、宜二中联考高二数学上学期期末试卷 文（含解析）.doc

2014-2015学年江西省高 安中学、丰城中学、樟树中学、宜春二中联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列有关命题的说法正确的是（）a 命题“xr，均有x2x+10的否定是：“xr，均有x2x+10”b 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题c 线性回归方对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中的一个点d “直线与双曲线有唯一的公共点”是“直线与双曲线相切”充要条件2在等比数列an中，若a4，a8是方程x23x+2=0的两根，则a6的值是（）a b c d 23已知x与y之间的一组数据如表：则y与x的线性相关系数r是（）x0135y5420a 1b 1c 0.5d 0.84某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）a 63.6万元b 67.7万元c 65.5万元d 72.0万元5已知函数f（x）=x2+bx的图象在点a（1，f（1）处的切线斜率为3，数列的前n项和为sn，则s2014的值为（）a b c d 6椭圆+=1（ab0）离心率为，则双曲=1渐近线方程（）a x2y=0b 2xy=0c x4y=0d x2y=07已知函数y=xf（x）的图象如图所示，下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）a b c d 8已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，则f（2）的值等于（）a 2b 2c d 9平面内有一长度为2的线段ab和一动点p，若满足|pa|+|pb|=8，则|pa|的取值范围是（）a b c d 10已知f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10，则a+b=（）a 0或7b 7c 0d 711设圆锥曲线c的两个焦点分别为f1、f2，若曲线c上存在点p满足|pf1|：|f1f2|：|pf2|=4：3：2，则曲线c的离心率等于（）a 或b 或2c 或2d 或12已知函数y=f（x）对于任意的满足f（x）cosx+f（x）sinx0（其中f（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（）a b c d 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在约束条件下，目标函数z=x+y的最大值为14在100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是15意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887人们称该数列为an“斐波那契数列”，若把该数列an的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列bn，在数列bn中第2015项的值是16已知双曲线 c：=1（a0，b0）的离心率为，a b 为左、右顶点，点 p 为双曲线 c 在第一象限的任意一点，点 o 为坐标原点，若直线pa，pb，po 的斜率分别为k1，k2，k3，记m=k1k2k3，则 m 的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应在相应的答题框内写出文字明、证明过程或演算步骤.17求函数f（x）=x3x28x+1（6x6）的单调区间、极值18三角形abc中，内角a，b，c所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinb+sin（ac）=2sin2c（1）求内角b的余弦值；（2）若b=，求abc的面积19已知等差数列an的首项为a，公差为d，且不等式ax23x+20的解集为（1，d）（1）求数列an的通项公式an；（2）若bn=an（），数列bn前n项和tn，证明tn20如图所示，f1、f2分别为椭圆c：+=1（ab0）的左、右两个焦点，a、b为两个顶点，该椭圆的离心率为，abo的面积为（）求椭圆c的方程；（）作与ab平行的直线l交椭圆于p、q两点，|pq|=，求直线l的方程21已知抛物线的顶点在坐标原点o，焦点f在x轴上，抛物线上的点a到f的距离为2，且a的横坐标为l直线l：y=kx+b与抛物线交于b，c两点（1）求抛物线的方程；（2）当直线ob，oc的倾斜角之和为45时，证明直线l过定点22已知函数f（x）=lnxax+1（）若曲线y=f（x）在点a（1，f（1）处的切线l与直线4x+3y3=0垂直，求实数a的值；（）若f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（）证明：ln（n+1）+（nn*）2014-2015学年江西省高安中学、丰城中学、樟树中学、宜春二中联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列有关命题的说法正确的是（）a 命题“xr，均有x2x+10的否定是：“xr，均有x2x+10”b 命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题c 线性回归方对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中的一个点d “直线与双曲线有唯一的公共点”是“直线与双曲线相切”充要条件考点：命题的真假判断与应用专题：综合题；简易逻辑分析：a写出该命题否定形式即可判断正误；b根据命题与它的逆否命题真假性相同，判断原命题的真假性即可；c线性回归方程对应的直线过样本数据点的中心点（，），不一定过样本数据（xi，yi）中的一个点；d直线与双曲线有唯一的公共点时，直线与双曲线相切或与渐近线平行解答：解：对于a，命题“xr，均有x2x+10的否定是：“xr，x2x+10”，a错误；对于b，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，它的逆否命题也是真命题，b正确；对于c，线性回归方程对应的直线一定过样本数据点的中心点（，），但不一定过样本数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）中的一个点，c错误；对于d，“直线与双曲线有唯一的公共点”时，“直线与双曲线相切或与渐近线平行”，充分性不成立；“当直线与双曲线相切时，或直线与渐近线平行”时，“直线与双曲线有唯一的公共点”，必要性不成立；d不正确故选：b点评：本题考查了命题的否定以及四种命题之间的关系，线性回归方程的应用问题，直线与双曲线的交点的关系，是基础题目2在等比数列an中，若a4，a8是方程x23x+2=0的两根，则a6的值是（）a b c d 2考点：等比数列的通项公式；函数的零点专题：等差数列与等比数列分析：利用根与系数的关系可得a4a8，再利用等比数列的性质即可得出解答：解：a4，a8是方程x23x+2=0的两根，a4a8=2，a4+a8=30a40，a80由等比数列an，由等比数列的性质可得：a4，a6，a8同号点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质，属于基础题3已知x与y之间的一组数据如表：则y与x的线性相关系数r是（）x0135y5420a 1b 1c 0.5d 0.8考点：相关系数专题：概率与统计分析：求出x和y的平均数，代入相关系数公式r=，可求出变量x与y之间的相关系数解答：解：据此表知=，=，r=1，故选：b点评：本题考查的知识点是相关系数与相关关系，是一个基础题，解题的关键是利用公式求出相关系数，注意解题的运算过程不要出错4某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）a 63.6万元b 67.7万元c 65.5万元d 72.0万元考点：线性回归方程专题：概率与统计分析：根据表中所给的数据，广告费用x与销售额y（万元）的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出的值，写出线性回归方程将x=6代入回归直线方程，得y，可以预报广告费用为6万元时销售额解答：解：由表中数据得：=3.5，=42，又回归方程=x+中的为9.4，故=429.43.5=9.1，=9.4x+9.1将x=6代入回归直线方程，得y=9.46+9.1=65.5（万元）此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）故选：c点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性回归方程的系数的运算，是一个中档题目5已知函数f（x）=x2+bx的图象在点a（1，f（1）处的切线斜率为3，数列的前n项和为sn，则s2014的值为（）a b c d 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和专题：计算题；导数的概念及应用分析：可得f（1）=2+b=3，解得b=1，进而可得f（x），然后由裂项相消法求和可得解答：解：函数的导数f（x）=2x+b，点a（1，f（1）处的切线的斜率为3，f（1）=2+b=3，解得b=1f（x）=x2+x=x（x+1），=，s2014=（1）+（）+（）+（）=1=故选c点评：本题考查数列的求和，涉及导数和曲线某点切线的斜率以及裂项相消法求和，属中档题6椭圆+=1（ab0）离心率为，则双曲=1渐近线方程（）a x2y=0b 2xy=0c x4y=0d x2y=0考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意，=，可得=，即可求出双曲线=1渐近线方程解答：解：由题意，=，=，双曲线=1渐近线方程是y=2x，故选：b点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础7已知函数y=xf（x）的图象如图所示，下面四个图象中y=f（x）的图象大致是（）a b c d 考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：根据函数y=xf（x）的图象，依次判断f（x）在区间（，1），（1，0），（0，1），（1，+）上的单调性即可解答：解：由函数y=xf（x）的图象可知：当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增当1x0时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减当0x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）减当x1时，xf（x）0，f（x）0，此时f（x）增故选c点评：本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题本题有一定的代表性，是一道好题8已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，则f（2）的值等于（）a 2b 2c d 考点：导数的加法与减法法则专题：导数的概念及应用分析：对等式f（x）=x2+3xf（2）+lnx，求导数，然后令x=2，即可求出f（2）的值解答：解：f（x）=x2+3xf（2）+lnx，f（x）=2x+3f（2）+，令x=2，则f（2）=4+3f（2）+，即2f（2）=，f（2）=故选：d点评：本题主要考查导数的计算，要注意f（2）是个常数，通过求导构造关于f（2）的方程是解决本题的关键9平面内有一长度为2的线段ab和一动点p，若满足|pa|+|pb|=8，则|pa|的取值范围是（）a b c d 考点：椭圆的定义；椭圆的简单性质专题：计算题分析：根据|pa|+|pb|=8，利用椭圆的定义，可知动点p的轨迹是以a，b为左，右焦点，定长2a=8的椭圆，利用p为椭圆长轴端点时，|pa|分别取最大，最小值，即可求出|pa|的最大值和最小值解答：解：动点p的轨迹是以a，b为左，右焦点，定长2a=8的椭圆 2c=2，c=1，2a=8，a=4 p为椭圆长轴端点时，|pa|分别取最大，最小值 |pa|ac=41=3，|pa|a+c=4+1=5 |pa|的取值范围是：3|pa|5故选c点评：本题的考点是椭圆的定义，考查椭圆定义的运用，解题的关键是理解椭圆的定义10已知f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处的极值为10，则a+b=（）a 0或7b 7c 0d 7考点：利用导数研究函数的极值专题：导数的概念及应用分析：先求出函数f（x）的导数，根据f（1）=0，f（1）=10，联立方程组解出即可解答：解：f（x）=3x2+2ax+b，f（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b+a2=10，由得：或，a+b=0或7，故选：a点评：本题考查了导数的应用，考查解方程组问题，是一道基础题11设圆锥曲线c的两个焦点分别为f1、f2，若曲线c上存在点p满足|pf1|：|f1f2|：|pf2|=4：3：2，则曲线c的离心率等于（）a 或b 或2c 或2d 或考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据|pf1|：|f1f2|：|pf2|=4：3：2，不妨设|pf1|=4m，|f1f2|=3m，|pf2|=2m，再进行分类讨论，确定曲线的类型，从而求出曲线r的离心率解答：解：根据|pf1|：|f1f2|：|pf2|=4：3：2，不妨设|pf1|=4m，|f1f2|=3m，|pf2|=2m，|pf1|+|pf2|=6m|f1f2|=3m，此时曲线为椭圆，且曲线r的离心率等于=；|pf1|pf2|=2m|f1f2|=3m，此时曲线为双曲线，且曲线r的离心率等于=，故选：d点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征关键是利用圆锥曲线的定义来解决12已知函数y=f（x）对于任意的满足f（x）cosx+f（x）sinx0（其中f（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式不成立的是（）a b c d 考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算专题：导数的概念及应用分析：根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论解答：解：构造函数g（x）=，则g（x）=，对任意的x（，）满足f（x）cosx+f（x）sinx0，g（x）0，即函数g（x）在x（，）单调递增，则g（）g（），即，即 f（）f（），故b正确；g（0）g（），即，f（0）f（），故正确；g（0）g（），即 ，f（0）2f（），故正确；由排除法，故选：a点评：本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13在约束条件下，目标函数z=x+y的最大值为考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=x+y得y=2x+2z，平移直线y=2x+2z，由图象可知当直线y=2x+2z经过点b时，直线y=2x+2z的截距最大，此时z最大由，解得，即b（，）代入目标函数z=x+y，得z=+=故答案为：点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法14在100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是考点：条件概率与独立事件专题：计算题；概率与统计分析：根据题意，易得在第一次抽到次品后，有4件次品，95件正品，由概率计算公式，计算可得答案解答：解：根据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，95件正品；则第二次抽到正品的概率为p=故答案为：点评：本题考查概率的计算，解题时注意题干“在第一次抽到次品条件下”的限制15意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887人们称该数列为an“斐波那契数列”，若把该数列an的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列bn，在数列bn中第2015项的值是1考点：黄金分割法0.618法专题：计算题；推理和证明分析：根据数列，得到余数构成是数列是周期数列，即可得到结论解答：解：1，1，2，3，5，8，13，除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0，即新数列bn是周期为6的周期数列，所以b2015=b2356+5=b5=1，故答案为：1点评：本题主要考查数列的应用，利用条件推导数列为周期数列是解决本题的关键16已知双曲线 c：=1（a0，b0）的离心率为，a b 为左、右顶点，点 p 为双曲线 c 在第一象限的任意一点，点 o 为坐标原点，若直线pa，pb，po 的斜率分别为k1，k2，k3，记m=k1k2k3，则 m 的取值范围为（0，2）考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由已知条件推导出b=a，k1k2=2，0k3，由此能求出m=k1k2k3的取值范围解答：解：双曲线c：=1（a0，b0）的离心率为，e=，b=a，设p（x，y），点p为双曲线c在第一象限的任意一点，=1，a，b为双曲线c的左右顶点，点o为坐标原点，pa，pb，po的斜率为k1，k2，k3，k1k2=2，又双曲线渐近线为y=x，0k3，0m=k1k2k32，故答案为：（0，2）点评：本题考查斜率乘积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应在相应的答题框内写出文字明、证明过程或演算步骤.17求函数f（x）=x3x28x+1（6x6）的单调区间、极值考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的概念及应用分析：先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值解答：解：f（x）=x3x28x+1，f（x）=x22x8，令f（x）=0，得x=2或x=4当x（6，2）时，f（x）0；当x（2，4）时，f（x）0；当x（4，6）时，f（x）0f（x）的递增区间为，递减区间为当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=；当x=4时，f（x）取得极小值f（4）=点评：本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题18三角形abc中，内角a，b，c所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinb+sin（ac）=2sin2c（1）求内角b的余弦值；（2）若b=，求abc的面积考点：正弦定理；余弦定理专题：解三角形分析：（） 三角形abc中，由条件化简可得c=90，故有a=2c再由b2=ac利用正弦定理可得，sin2b=sinasinc，化简求得cosb的值（）根据b=，求得ac=b2的值，求得sinb= 的值，再根据abc的面积s=acsinb，计算求得结果解答：解：（） 三角形abc中，sinb+sin（ac）=2sin2c，sin（a+c）+sin（ac）=4sinccosc，sina=2sinc，或cosc=0a=2c，或c=90（不满足a，b，c成公比小于1的等比数列，故舍去）由边a，b，c成公比小于1的等比数列，可得b2=ac，b=c，cosb=（）b=，cosb=，ac=b2=3，sinb=，abc的面积s=acsinb=点评：本题主要考查两角和差的三角公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题19已知等差数列an的首项为a，公差为d，且不等式ax23x+20的解集为（1，d）（1）求数列an的通项公式an；（2）若bn=an（），数列bn前n项和tn，证明tn考点：数列与不等式的综合专题：等差数列与等比数列分析：（1）显然x=1为方程ax23x+2=0的一个解，进而可知a=1、d=2，从而可得结论；（2）通过an=2n1可知bn=，利用错位相减法可知tn=，进而可得结论解答：（1）解：不等式ax23x+20的解集为（1，d），a3+2=0，即a=1，x23x+20的解集为（1，2），即d=2，数列an的通项an=1+2（n1）=2n1；（2）证明：an=2n1，bn=an（）=，tn=1+3+5+（2n1），tn=1+3+（2n3）+（2n1），两式相减得：tn=+2（+）（2n1）=+2（2n1）=（2n1）=，tn=，对任意的正整数n0恒成立，tn，又tnt1=b1=，tn点评：本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题20如图所示，f1、f2分别为椭圆c：+=1（ab0）的左、右两个焦点，a、b为两个顶点，该椭圆的离心率为，abo的面积为（）求椭圆c的方程；（）作与ab平行的直线l交椭圆于p、q两点，|pq|=，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由题意可得，从而解得；（）由题意设直线pq的方程为y=x+m，与椭圆c的方程+=1联立化简可得8x2+4bx+5m220=0，从而由韦达定理及距离公式可得（10m2）=，从而解出m即可解答：解：（）由题意得，解得，a=，b=2，c=1；故椭圆c的方程为+=1；（）直线pq的斜率k=，故设直线pq的方程为y=x+m，与椭圆c的方程+=1联立化简可得，8x2+4bx+5m220=0，故x1+x2=m，x1x2=（5m220），故（1+（）2）（m）24（5m220）=（）2，即（10m2）=，即10m2=9，故m2=1，故m=；故直线l的方程为y=x+；即2x5y2=0点评：本题考查了椭圆的标准方程的应用及韦达定理与两点间距离公式的应用，属于中档题21已知抛物线的顶点在坐标原点o，焦点f在x轴上，抛物线上的点a到f的距离为2，且a的横坐标为l直线l：y=kx+b与抛物线交于b，c两点（1）求抛物线的方程；（2）当直线ob，oc的倾斜角之和为45时，证明直线l过定点考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设抛物线方程为y2=2px，由抛物线上的点a到f的距离为2，且a的横坐标为l，利用抛物线的定义，求出p，即可得到抛物线的方程；（2）直线l：y=kx+b与抛物线联立，设直线ob，oc的倾斜角分别为，斜率分别为k1，k2，则+=45，利用tan（+）=tan45=1，代入斜率，可得直线l的方程为y=kx+4k+4，即可得出直线l过定点解答：（1